la f.d.t. P (s) = (s+1)(s−10)−100 , il cui diagramma di Bode potrebbe erroneamente suggerire un margine di fase di 135o, mentre l’anello chiuso `e instabile.
•Per sistemi instabili in anello aperto sar`a necessario costruire un primo controllore C1(s) che renda il sistema in anello chiuso G1(s) = 1+CC1(s)P (s)1(s)P (s)
asintoticamente stabile. Il controllore C1(s), in grado di stabilizzare il sistema
di partenza P (s), pu`o essere progettato ad esempio con l’impiego della tecnica del luogo delle radici, che sar`a studiata pi`u avanti. Il controllore C1(s) pu`o
venir progettato senza altro scopo se non quello di rendere asintoticamente stabile il sistema G1(s). A questo punto, il sistema G1(s) ottenuto pu`o
venir a sua volta chiuso in retroazione e nella catena diretta viene inserito un controllore C2(s), in grado di soddisfare le altre specifiche richieste; il progetto
di questo controllore viene effettuato sulla base dei diagrammi di Bode della funzione di trasferimento di anello C2(s)G1(s). La tecnica appena descritta,
nota come tecnica del doppio anello di retroazione o della retroazione in cascata, `e schematizzata in figura 8.2.
Figura 8.2: Tecnica del doppio anello di retroazione
8.3
Approssimazioni della f.d.t. in anello chiu-
so
In questa sezione, si intende mostrare come alcune della principali caratte- ristiche della f.d.t. in anello chiuso Gc(s) siano deducibili, in prima appros-
simazione, dalla analisi della funzione di anello C(s)P (s). Le considerazioni che seguono si devono intendere non come valide in assoluto, ma come in- dicazioni di massima applicabili al progetto di controllori per sistemi con caratteristiche e specifiche di tipo comune.
192 CAPITOLO 8. PROGETTO DEL CONTROLLORE
In particolare, `e da tenersi in conto il fatto che, nonostante le tipologie di impianti da controllare siano piuttosto ampie, il tipo di comportamento che ci si attende come risultato del controllo dei sistemi meccanici `e invece piuttosto omogeneo.
•`E infatti spesso il caso che un sistema, anche di ordine elevato, quando controllato opportunamente in modo da rispettare le specifiche comunemente richieste, venga ad avere comportamenti dinamici simili a quelli di sistemi del primo o del secondo ordine. Conseguentemente, la funzione di trasferi- mento Gc(s) che lo rappresenta pu`o essere approssimata da una funzione di
trasferimento con un solo polo o con due poli complessi coniugati.
•Una funzione di trasferimento Gc(s) si dice avere un polo dominante se
`e stabile e se possiede un polo reale molto pi`u lento (cio`e con costante di tempo pi`u alta) di ogni altro. Gc(s) si dice avere due poli dominanti se `e
stabile e se possiede una coppia di poli complessi coniugati molto pi`u lenti (cio`e con parte reale molto minore in modulo) di ogni altro polo. Per “molto pi`u lento” si intende avere una parte reale circa dieci volte minore, in valore assoluto, di ogni altro polo, e quindi una costante di tempo della risposta circa dieci volte maggiore.
•Si consideri lo schema di retroazione rappresentato in fig. 8.1; ci pro- poniamo di analizzare le relazioni che esistono tra i diagrammi di Bode del modulo della funzione di trasferimento di anello C(s)P (s) e della funzione di trasferimento di anello chiuso Gc(s) = 1+C(s)P (s)C(s)P (s) .
•Si consideri una funzione di trasferimento di anello C(s)P (s) stabile in anello aperto e (per semplicit`a di trattazione) si assuma che il relativo diagramma di Bode delle ampiezze abbia un solo attraversamento dell’asse a 0 dB (cf. fig. 8.3). Sia ωT la pulsazione di taglio. Osservando che, per
ω ≪ ωT, |1 + C( ω)P ( ω)| ≃ |C( ω)P ( ω)| e che, per ω ≫ ωT, |1 +
C( ω)P ( ω)| ≃ 1, `e possibile adottare la seguente approssimazione: |Gc( ω)| = |1+C( ω)P ( ω)||C( ω)P ( ω)| ≃ 1, ω < ωT
|Gc( ω)| = |1+C( ω)P ( ω)||C( ω)P ( ω)| ≃ |C( ω)P ( ω)|, ω > ωT.
•Ovviamente, l’approssimazione appena ricavata risulta molto buona per pulsazioni ω ≪ ωT e ω ≫ ωT, mentre pu`o essere meno buona per pulsazioni
prossime a quella di taglio.
•Dall’esame della figura 8.3, si osserva che il modulo della funzione di trasferimento Gc( ω) presenta un cambiamento di pendenza proprio per ω =
ωT, quindi `e lecito aspettarsi che nelle vicinanze di questa pulsazione Gc(s)
possieda uno o pi`u poli. Inoltre, poich´e il diagramma del modulo di Gc( ω)
8.3. APPROSSIMAZIONI DELLA F.D.T. IN ANELLO CHIUSO 193 10−2 10−1 100 101 102 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 Magnitude (dB) Bode Diagram Frequency (rad/sec) |C(jω)G(jω)| |Gc(jω)| ω T
Figura 8.3: Approssimazione della funzione di trasferimento di anello chiuso Gc( ω)
pulsazione inferiore di ωT. Se inoltre G(s) non ha ulteriori poli o zeri a
pulsazioni superiori in vicinanza di ωT, i poli in corrispondenza di ωT saranno
quindi i poli dominanti del sistema in anello chiuso. •Nella pulsazione di taglio si ha
|C( ωT)P ( ωT)| = 1
∠C( ωT)P ( ωT) = φT = −π + Mf,
dove Mf `e il margine di fase del sistema in anello aperto. Possiamo quindi
scrivere, posto C( ωT)P ( ωT) = e φT,
Gc( ωT) =
e φT
1 + e φT
da cui (ricordando che sin(α/2) = ±p(1 − cos α)/2)) |Gc( ωT)| = 1 |1 + e φT| = 1 p2(1 − cos Mf) = 1 2 sin(Mf/2) (8.2) e ∠Gc( ωT) = φT − arctan sin(φT) 1 + cos(φT) (8.3) •Per sistemi con φT = −π/2 (quindi con margine di fase Mf = π + φT =
π/2), si ottiene quindi
|Gc( ωT)| = √12 = −3dB,
194 CAPITOLO 8. PROGETTO DEL CONTROLLORE
In questo caso, il sistema in anello chiuso `e quindi ben approssimabile con un sistema ad un polo dominante, ovvero
Gc(s) ≈
1 τ s + 1,
con τ = 1/ωT. La pulsazione di taglio dell’anello aperto coincide in questo
caso con la banda passante a -3dB del sistema in anello chiuso. Si ricorda che, per sistemi a fase minima, la condizione φT = −π/2 coincide (per il
terorema di Bode) con la condizione che la pendenza del diagramma delle ampiezze in prossimit`a della pulsazione di taglio ωT sia di −20 dB/decade.
•Per sistemi con margine di fase sostanzialmente inferiore a π/2, `e pi`u opportuna una approssimazione con un sistema a due poli dominanti, ovvero
Gc(s) ≈ 1 s2 ω2 n + 2δ ωns + 1
con pulsazione naturale ωn = ωT. La pulsazione di taglio dell’anello aperto
in questo caso `e solo una approssimazione della banda passante a -3dB del sistema in anello chiuso.
•Per determinare lo smorzamento dei poli dominanti dal diagramma di Bode della G(s), dal confronto di questa espressione con la (8.2) si ottiene
|Gc( ωT)| = 1 2δ = 1 2 sin(Mf/2) da cui δ = sin Mf 2
•La relazione appena trovata `e molto importante poich´e esprime un le- game tra lo smorzamento dei poli dominanti del sistema in anello chiuso e il margine di fase della funzione di trasferimento di anello, il quale pu`o es- sere facilmente calcolato dai diagrammi di Bode di C(s)P (s). D’altra parte, questa relazione si basa su tutta una serie di ipotesi semplificative che, nella pratica, possono non essere esattamente verificate; dunque, il valore dello smorzamento δ cos`ı ottenuto `e approssimato e fornisce solamente un’indica- zione di primo tentativo del vero smorzamento dei poli dominanti del sistema in anello chiuso.
•Per valori di Mf inferiori a circa 1.3 radianti (75 gradi), `e possibile
sostituire alla funzione seno il suo argomento. Si ha quindi la relazione approssimata (dove il margine di fase si intende espresso in gradi):
δ = Mf 2 π 180 ≃ Mf 100. (8.4)