Criterio di Routh

Si tratta di una importante generalizzazione del noto criterio di Descartes, per il quale le radici di un polinomio di secondo ordine a0+ a1s + a2s2 sono

tutte a parte reale negativa se e solo se i coefficienti hanno tutti lo stesso segno.

La condizione che tutti i coefficienti di un polinomio di ordine n

π(s) = ansn+ an−1sn−1+ . . . a1s + a0

siano dello stesso segno rimane ovviamente necessaria, ma non sufficiente. Esempi:

π(s) = s3_{+ s}2_{+ 7.25s + 18.5 = (s + 2)(s}2_{− s + 9.25);}

π(s) = s3_{+ s + 10 = (s + 2)(s}2_{− 2s + 5);}

π(s) = s3_{+ s}2_{+ s + 1 = (s + 1)(s}2_{+ 1).}

•Una condizione necessaria e sufficiente `e invece fornita dal criterio di Routh-Hurwitz1_{. Data l’equazione caratteristica}

π(s) = ansn+ an₋₁sn−1+ · · · + a1s + a0 = 0

poniamo per comodit`a di notazione b0 = an 6= 0, b1 = an<sub>−1</sub>, etc. (cio`e

bi = an−i). Si noti incidentalmente che nei polinomi caratteritici di matrici

si ha b0 = an = 1. Riscriveremo quindi

π(s) = b0sn+ b1sn−1+ · · · + bn₋₁s + bn= 0.

1

La pi`u frequente pronuncia del nome di Edward Routh, che ha dimostrato il criterio

nel 1874, `e simile a quella per “South”. Adolf Hurwitz ha dimostrato indipendentemente lo stesso risultato nel 1895

72 CAPITOLO 4. STABILIT `A DEI SISTEMI LINEARI

Si costruisca la tabella di Routh come segue

b0 b2 b4 · · · b1 b3 b5 · · · ... ... ... ... h1 h2 h3 · · · k1 k2 k3 · · · l1 l2 l3 · · · ... ... ... ...

La tabella di Routh `e costituita da n+1 righe, e la sua struttura determinata (a partire dalle prime due righe note) secondo la seguente regola: gli elementi della generica riga l sono determinati a partire da quelli delle due righe precedenti (h e k) con l’algoritmo

li = − 1 k1 det h1 hi+1 k1 ki+1  = hi+1− h1 k1 ki+1

Quindi nel calcolo di li si richiedono i valori della prima e della i + 1-esima

colonna delle due righe precedenti. Se la i + 1 colonna non `e stata definita, si considerano zero i suoi elementi. Pertanto, sulla destra delle righe si avr`a un numero crescente di zeri nel progredire dell’algoritmo verso la n + 1 riga: questi zeri tipicamente vengono omessi dalla tabella. Se a qualche livello risulta k1 = 0, l’algoritmo non pu`o essere applicato, si interrompe e la tabella

si dice non ben definita.

Diciamo che una tabella di Routh `e ben definita se tutti gli elementi della prima colonna sono diversi da zero. Vale il seguente

Criterio di Routh Un polinomio ha tutte le radici a parte reale stretta- mente negativa se e solo se la sua tabella di Routh `e ben definita e tutti gli elementi della prima colonna della tabella hanno lo stesso segno.

Le conseguenze del Criterio di Routh sulla stabilit`a dei sistemi LTITC sono immediate: un sistema la cui matrice dinamica A ha polinomio carat- teristico π(s) `e asintoticamente stabile se e solo se il polinomio soddisfa il criterio di Routh.

Si pu`o inoltre affermare che se la tabella di Routh di π(s) `e ben definita, e ci sono m cambiamenti di segno nella prima colonna, allora il polinomio ha m radici positive (e di ilsistema lineare associato `e instabile con modi esponenzialmente divergenti)

4.2. CRITERI ALGEBRICI DI STABILIT `A. 73 Esempio: π(s) = s3_{+ s}2 _{+ 7.25s + 18.5} 1 7.25 1 18.5 −11.25 18.5

Due cambiamenti di segno nella prima colonna indicano la presenza di due radici a parte reale positiva (π(s) = (s + 2)(s2_{− s + 9.25)).}

Esempio: π(s) = s4_{+ 3s}3_{+ 12.25s}2_{+ 19.5s + 9.25} 1 12.25 9.25 3 19.5 5.75 9.25 14.67 9.25

Nessun cambiamento di segno nella prima colonna, quindi tutte radici a parte reale negativa (π(s) = (s + 1)2_(s2_{+ s + 9.25)).}

Se la tabella di Routh di π(s) non `e ben definita, si pu`o escludere la asintotica stabilit`a, ma `e necessario uno studio ulteriore per fare altre affer- mazioni.

Il criterio di Routh pu`o essere esteso al caso di tabelle non ben definite nei seguenti modi:

1. quando il primo termine di una riga `e nullo. In questo caso si pu`o applicare il criterio di Routh all’equazione in questione moltiplicata per (s + a), essendo a un numero positivo;

Esempio: π(s) = s3_{+ s + 10} 1 1 0 10 Introducendo ad esempio π′_{(s) = (s}3_{+ s + 10)(s + 1) = s}4_{+ s}3_{+ s}2₊ 11s + 10 si ha 1 1 10 1 11 −10 10 12 10

quindi due radici a parte reale positiva (infatti, π(s) = (s + 2)(s2_−2s+

74 CAPITOLO 4. STABILIT `A DEI SISTEMI LINEARI

2. quando tutti i termini di una riga sono nulli. In questo caso il sistema possiede radici immaginarie pure, radici reali di segno opposto o un numero pari di radici simmetriche rispetto all’origine. Si considera in questo caso il cosiddetto polinomio ausiliario, che ha per coefficienti i termini della riga precedente a quella che si annulla. Le radici imma- ginarie pure, reali di segno opposto o simmetriche rispetto all’origine sono le radici di tale polinomio.

Per proseguire nell’applicazione del criterio di Routh occorre scrivere, al posto della riga che si `e annullata, i coefficienti della derivata del po- linomio ausiliario. Si noti che `e conveniente in questi casi giustapporre sulla sinistra una colonna con le potenze decrescenti della variabile s, che indica il grado massimo del polinomio corrispondente ad ogni riga.

Esempio: π(s) = s3_{+ s}2_{+ s + 1} s3 _{1 1} s2 _{1 1} s 0 0 s 2 0 s0 ₁

Le radici del polinomio ausiliare s2_{+1 sono immaginarie pure. Non essendoci}

cambiamenti di segno nella prima colonna, tutte le altre radici hanno parte reale negativa, ed il sistema risulta marginalmente stabile (π(s) = (s+1)(s2₊

1) = 0). Esempio: π(s) = s4_{+ s}3_{+ 5s}2_{+ 4s + 4 = 0} s4 _{1 5 4} s3 _{1 4} s2 _{1 4} s 0 0 s 2 0 s0 ₄

In questo caso la quarta riga risulta nulla. Il polinomio ausiliario `e s2 _{+ 4}

e d ds(s

2_{+ 4) = 2s. Le radici del polinomio ausiliario sono immaginarie pure}

(s = ±2). Non essendovi cambiamenti di segno nella prima colonna, le altre radici hanno tutte parte reale negativa. Un sistema avente tale polinomio come polinomio caratteristico risulta marginalmente stabile.

4.2. CRITERI ALGEBRICI DI STABILIT `A. 75 Esempio: π = s6_{+ s}5_{+ 2s}4_{+ 12s}3_{+ 11s}2_{+ 11s + 10} s6 _{1 2 11 10} s5 _{1 12 11} s4 _{−10 0 10} s3 _{12 12} s2 _{10 10} s 0 0 s 20 0 s0 ₁₀

Il polinomio ausiliario `e 10s2 <sub>+ 10 e la sua derivata `e 20s. Le radici del</sub>

polinomio ausiliario sono s = ±. La prima colonna presenta due variazioni di segno quindi esistono due radici a parte reale positiva ( π(s) = (s + 1)(s + 2)(s2 _{+ 1)(s}2 _{− 2s + 5)). Il sistema avente tale polinomio come polinomio}

caratteristico risulta instabile.

Esempio: π(s) = s6 _{+ s}5 _{− 2s}4 _{− 3s}3 _{− 7s}2 _{− 4s − 4 Questo polinomio}

caratteristico ha ovviamente radici a parte reale positiva, in quanto i coef- ficienti non hanno segno costante. Procedendo comunque con la tabella di Routh si ottiene s6 _{1 −2 −7 −4} s5 _{1 −3 −4} s4 _{1 −3 −4} s3 _{0 0} s3 _{4 −6} s2 _{−1.5 −4} s _−16.67 0 s0 ₋₄ Il polinomio ausiliario `e s4_{− 3s}2_{− 4 e} d ds(s 4_{− 3s}2_{− 4) = 4s}3_{− 6s. Le radici}

del polinomio ausiliario sono s = ± e s = ±2. La prima colonna presenta una variazione di segno quindi esiste una radice positiva ( +2 ). Il sistema avente tale polinomio come polinomio caratteristico risulta instabile.

Criterio di Routh e variazioni parametriche

•Il criterio di Routh-Hurwitz pu`o essere applicato per determinare la regione in cui alcuni parametri possono variare. Ad esempio, per un sistema con polinomio caratteristico

76 CAPITOLO 4. STABILIT `A DEI SISTEMI LINEARI

la tabella di Routh risulta

1 1 + α

α β

−β−α(1+α)α

β

per cui il sistema `e asintoticamente stabile se e solo se vale α > 0, β > 0, e α2_{+α−β > 0. Queste relazioni definiscono una porzione del primo quadrante}

nel piano α, β dei parametri delimitata superiormente da una parabola.