7.2
Effetti della Retroazione
Lo schema di asservimento riportato sopra `e utile per spiegare alcuni dei mo- tivi che rendono spesso indispensabile l’adozione di meccanismi di controllo in retroazione.
7.2.1
Robustezza alle Variazioni Parametriche
•Consideriamo dapprima la sensibilit`a della risposta del sistema alle diffor- mit`a di comportamento delle componenti rispetto a quello nominale (proble- ma della robustezza del sistema rispetto ad errori di modello). Per semplicit`a, modelliamo tali difformit`a come variazioni di un parametro α significativo del modello (una massa, una lunghezza, etc.) rispetto ad un valore nominale
ˆ
α. Sia dunque ˆY (s) = P (ˆα, s)U (s) la risposta dell’impianto in anello aperto ad un particolare ingresso U (s) in condizioni nominali, e Y (s) = P (α, s)U (s) la risposta in condizioni perturbate. La differenza relativa tra le uscite vale
∆Y (s) ˆ Y (s) = Y (s) − ˆY (s) ˆ Y (s) = P (α, s) − P (ˆα, s) P (ˆα, s) = ∆P (s) P (s) .
Supponiamo che tale variazione sia piccola, ed esprimiamo la variazione risentita sulla uscita in termini relativi approssimandola al primo ordine. Si avr`a dunque ∆P (s) P (s) ≈ " ∂P (s, α) ∂α ˆ α ˆ α ˆ P (s) # ∆α ˆ α = Sα,o(s) ∆α ˆ α
dove Sα,o(s) ha il significato di una sensibilit`a dell’impianto (in anello aperto)
alle variazioni del parametro in questione.
•Nel nostro esempio di azionamento, nel caso di variazioni sulla costante di coppia Km del motore, si ha
SKm, o(s) = 1
quindi la sensibilit`a `e totale (∆Y (s)Y(s) = ∆Km
Km ). Tale forte dipendenza dai valori
effettivi dei parametri del modello `e inaccettabile nelle maggioranza delle applicazioni.
•Supponendo invece che la costante elettrica τ sia soggetta a picole va- riazioni, si ottiene
Sτ, o(s) = −τs
164 CAPITOLO 7. RETROAZIONE
Questo significa che, per variazioni lente del segnale di ingresso, si ha scarsa sensibilit`a della risposta agli errori in τ , mentre per segnali ad alta frequenza, cio`e per s = ω, ω >> 1/τ , l’effetto sulla uscita `e della stessa entit`a dell’errore parametrico (in termini relativi): infatti,
|Sτ,o(ω)| ≈ 1, per ω >> 1/τ.
Studiamo adesso l’effetto di variazioni di tal genere quando avvengono in un sistema chiuso in retroazione. A tal fine, scriviamo utilizzando le regole di composizione dei blocchi la f.d.t. in anello chiuso tra il riferimento esterno v e l’uscita y:
Y (s)
V (s) = Gc(s) = F (s)
C(s)P (s) 1 + C(s)P (s)R(s) Si verifica facilmente che in questo caso si ottiene
∆Y (s) Y (s) = ∆Gc(s) Gc(s) ≈ 1 Gc(s) ∂Gc(s) ∂P (s)∆P (s) = 1 1 + C(s)P (s)R(s) ∆P(s) P (s) , cio`e ∆Y (s) Y (s) = S(s)Sα, o(s) ∆α α dove il fattore S(s) = 1 1 + C(s)P (s)R(s) viene detto funzione di sensibilit`a dell’anello.
•Si osserva che, per riferimenti contenenti pulsazioni ¯ω tali che |S(¯ω)| ≪ 1, l’effetto delle variazioni parametriche `e quasi completamente annullato nelle uscite.
•Nell’esempio dell’asservimento elettromeccanico precedentemente consi- derato, nel quale si ponga per semplicit`a R(s) = 1 (sensore ideale), l’effetto della variazione di costante di coppia Km per un ingresso a gradino viene
ridotto dalla presenza anche di una semplice retroazione costante C(s) = a a lim s→0 ∆Gc(s) Gc(s) = lim s→0 1 1 + aP (s) ∆Km Km = 0
grazie al fatto che P (s) possiede un polo nell’origine.
•Gli effetti positivi di una bassa sensibilit`a d’anello sono ottenuti ogni- qualvolta |1 + C(¯ω)P (¯ω)R(¯ω)| > 1: ci`o pu`o essere preso ad indicazione del fatto che valori elevati della autorit`a del controllore (cio`e di |C(ω)|) han- no effetto positivo sulla robustezza alle variazioni parametriche nel modello dell’impianto e sulla accuratezza di inseguimento dei riferimenti.
7.2. EFFETTI DELLA RETROAZIONE 165
•Se si traccia il diagramma di Nyquist della f.d.t. C(s)P (s)R(s), si os- serva facilmente che la sensibilit`a di anello del sistema `e minore di uno per tutte le frequenze per le quali il diagramma stesso rimane fuori dal cerchio di raggio unitario centrato in −1.
`
E da osservare che, per qualsiasi sistema strettamente proprio (quali sono prevalentemente i sistemi fisici), il diagramma di Nyquist tende all’origine per ω tendente a infinito: pertanto, la sensibilit`a di anello tende ad essere unitaria, o ancor maggiore, per alte frequenze.
•Si consideri adesso la sensibilit`a della risposta del sistema in retroazione alle variazioni parametriche che possono occorrere in altri blocchi del sistema in retroazione. Si ottiene facilmente che
∆Gc(s) Gc(s) ≈ 1 1+C(s)P (s)R(s) ∆P (s) P(s) + 1+C(s)P (s)R(s)1 ∆C(s) C(s) + ∆F(s) F(s) − 1+C(s)P (s)R(s)C(s)P (s)R(s) ∆R(s) R(s) Se ne deduce:
• l’effetto delle variazioni nei parametri del controllore `e identico a quello dei parametri dell’impianto;
• l’effetto delle variazioni di parametri del precompensatore non sono mitigati dalla retroazione (in quanto l’anello non `e chiuso attorno alla fonte della incertezza). I precompensatori sono quindi elementi critici,
166 CAPITOLO 7. RETROAZIONE
da usarsi con cautela: vengono usati prevalentemente per traslare i riferimenti esterni v a livelli compatibili con i riferimenti interni r. • l’effetto delle variazioni di parametri del sensore o del compensatore
in retroazione `e legato alla funzione di sensitivit`a complementare ¯
S(s) = 1+C(s)P (s)R(s)C(s)P (s)R(s) = 1 − S(s). Tale effetto `e quindi elevato laddove `e piccola la sensitivit`a, e viceversa.
Il terzo punto `e cruciale nel progetto dei sistemi di controllo. Esso esprime in sostanza il fatto che i vantaggi offerti dalla retroazione sono indissolubil- mente legati alla disponibilit`a di sensori, la cui accuratezza `e indispensabi- le. Laddove il sensore disponibile fosse pi`u inaccurato dell’impianto stesso, sarebbe addirittura preferibile usare il sistema in anello aperto.
•Il compromesso tra le due funzioni di sensitivit`a si trova spesso nel campo delle frequenze. La maggioranza dei sensori in uso negli asservimenti sono sufficientemente accurati nella misura di grandezze variabili lentamente, e perdono accuratezza quando le variazioni diventano pi`u veloci.
Come gi`a osservato in precedenza, per impianti strettamente causali si ha P (s) → 0 quando |s| → ∞. Per segnali di frequenza sufficientemente alta, quindi, si ottiene tipicamente S(s) ≈ 1, e ¯S(s) ≈ 0.
Il progetto accurato di C(s) pu`o fare in modo che le due opposte esigenze si incontrino nella zona di frequenze pi`u opportuna.
7.2.2
Reiezione dei Disturbi
Si consideri adesso la sensibilit`a della risposta del sistema ai disturbi. Nel caso di anello aperto, si ha
Y (s) = P (s)u(s) + D(s)d(s) mentre in anello chiuso si ottiene
Y (s) = F (s)C(s)P (s)
1 + C(s)P (s)R(s)v(s) +
D(s)
1 + C(s)P (s)R(s)d(s)
•Si osserva che la sensibilit`a al disturbo `e ridotta di un fattore pari alla funzio- ne di sensitivit`a dell’anello S(s): i disturbi a pulsazioni in cui S(s) `e piccola vengono efficacemente attenuati dalla retroazione. Conoscendo una stima del tipo di segnali di disturbo da attendersi in un sistema, `e quindi possibile progettare il controllore C(s) (ed eventualmente la parte di compensazione in R(s)) in modo da avere adeguata immunit`a.
7.2. EFFETTI DELLA RETROAZIONE 167
•`E utile osservare l’effetto dei disturbi sui sistemi in retroazione in mag- gior dettaglio, in relazione alle possibili localizzazioni del punto di ingresso del disturbo. Si consideri quindi
Si ha facilmente che Y (s) = 1+C(s)P (s)R(s)F(s)C(s)P (s) v(s) +1+C(s)P (s)R(s)D(s) d(s) + D1(s)P (s) 1+C(s)P (s)R(s)d1(s) + D2(s)C(s)P (s) 1+C(s)P (s)R(s)d2 +−D3(s)C(s)P (s) 1+C(s)P (s)R(s)d3 +−D4(s)R(s)C(s)P (s) 1+C(s)P (s)R(s) d4
da cui `e facile vedere come la immunit`a al disturbo `e via via diminuita, muovendosi a ritroso nell’anello, rispetto alla funzione di sensitivit`a per un fattore pari alla f.d.t. in anello diretto tra il punto di inserimento del disturbo e l’uscita. La f.d.t. tra il disturbo di misura d4 e l’uscita y `e pari alla funzione
di sensitivit`a complementare: `e nulla nel caso di anello aperto, ed `e massima (sensibilit`a totale) quando il guadagno di anello `e elevato. Questo conferma il principio sopra delineato per cui la retroazione `e valida solo in quanto i sensori sono affidabili.
•Un caso particolarmente interessante `e quello in cui i disturbi considerati siano costanti, ad esempio di ampiezza unitaria Di(s)di(s) = 1/s. Affinch`e
168 CAPITOLO 7. RETROAZIONE
compensato completamente dalla retroazione, `e necessario (per il teorema del valore finale) che la f.d.t. che lega il disturbo alla uscita si annulli per s = 0. `E quindi facile osservare dalle espressioni precedenti che ci`o `e possibile solo quando una delle f.d.t. a monte del punto d’ingresso del disturbo (con- siderando di percorrere l’anello in senso orario) contiene un polo nell’origine.