Diagramma di Nichols

•I diagrammi di Nyquist presentano l’informazione sull’andamento della cur- va G(ω) in modo pi`u compatto dei (due) diagrammi di Bode, ma hanno due grandi limitazioni legate al fatto di non usare scale logaritmiche: non permettono una visualizzazione dettagliata degli andamenti alle basse fre- quenze e non consentono la derivazione dell’andamento di f.d.t. combinate per prodotto mediante somma dei contributi.

•A tali inconvenienti risponde il diagramma di Nichols, che riporta sulle ascisse la fase di G(ω) (in radianti o gradi) e sulle ordinate il modulo di G(ω) in decibel. I diagrammi di Nichols sono graduati nelle pulsazioni.

•I diagrammi di Nichols possono quindi essere ottenuti per somma di contributi elementari, quali:

6.4. ALTRE RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE 157

• G(s) = K: il diagramma si riduce ad un punto, di modulo pari a 20Log|K|, e di fase pari a 0 se K > 0, −π se K < 0;

• G(s) = s−h_{: il diagramma `e una retta parallela alle ordinate, di ascissa}

−hπ2;

• G(s) = 1

τ s+1: il diagramma inizia con fase 0 e modulo 0db, e tende

asintoticamente alla retta di fase −π

2 sign(τ ), con ampiezze sempre

decrescenti e tendenti a 0 (−∞ in db.);

• G(s) = τs + 1: il diagramma `e analogo al precedente, ma ribaltato rispetto all’origine;

• G(s) = s2 1 ω2_n+2

δ ωns+1

: Il diagramma inizia con fase 0 e ampiezza 0db, e tende asintoticamente alla retta di fase −π sign (τ), con ampiezze tendenti a 0 (−∞ in db.). Le ampiezze sono sempre decrescenti per δ >√2/2, altrimenti si ha un massimo (per ω = ωR) di ampiezza MR.

• G(s) = s2 ω2

n + 2

δ

ωns + 1: il diagramma `e analogo al precedente, ma

ribaltato rispetto all’origine.

•La somma dei contributi ai diagrammi di Nyquist deve essere ottenuta vettorialmente, sommando, pulsazione per pulsazione, i vettori che uniscono l’origine al punto (φ1(ω), M1(ω)) col punto (φ2(ω), M2(ω)) etc. Tale som-

ma `e meno agevole di quella fatta sul diagramma di Bode (in cui si sommano semplicemente le ordinate corrispondenti alle stesse ascisse). Inoltre, l’assen- za di una significativa approssimazione asintotica al diagramma di Nichols ne rende l’uso meno immediato rispetto a quello di Bode.

Capitolo 7

Retroazione

7.1

Generalit`a

Lo scopo del controllo dei sistemi dinamici `e molto spesso quello di otte- nere caratteristiche di funzionamento desiderate a fronte di condizioni di funzionamento non perfettamente predicibili.

La configurazione di un sistema dinamico con gli ingressi di controllo u e di disturbo d, e le uscite di riferimento yre misurate ym, `e riportata in figura.

Nel caso lineare, il sistema P sar`a caratterizzato nello spazio di stato dalla matrice dinamica A, dalla matrice degli ingressi di controllo Bu e da quella

dei disturbi Bd, dalla matrice delle uscite di misura Cm e di riferimento Cr,

e dalle quattro matrici di accoppiamento ingresso-uscita Du,m, Du,r, Dd,m,

Dd,r.

Alternativamente, un sistema lineare pu`o essere caratterizzato mediante le funzioni di trasferimento tra i diversi ingressi e le diverse uscite. In forma compatta, indicando le trasformate di Laplace di una variabile con la lettera maiuscola corrispondente, si avr`a

 Yr(s) Ym(s)  =  Gru(s) Grd(s) Gmu(s) Gmd(s)   U (s) D(s)  159

160 CAPITOLO 7. RETROAZIONE

dove naturalmente vale Gru = Cr(sI − A)−1Bu, etc..

Ad esempio, si consideri il semplice modello di un asservimento di as- se meccanico, costituito da un motore in corrente continua comandato da un amplificatore di transconduttanza (che regola cio`e la corrente di uscita sulla base della tensione di entrata), e connesso ad un asse meccanico con proprie caratteristiche inerziali e di smorzamento. Il segnale di tensione a bassa potenza u viene dunque amplificato in una corrente c dall’azionamento elettrico, il quale possiede una dinamica descritta da

τ ˙c(t) + c(t) = Ku(t).

La corrente immessa nell’armatura del motore in CC genera una coppia Kmc,

che agisce sul carico meccanico secondo la legge J ¨θ(t) + f ˙θ(t) = Kmc(t) + d(t)

dove J, f sono l’inerzia e lo smorzamento meccanico all’asse del motore, e d(t) `e una coppia di disturbo (generata ad esempio dagli sforzi di taglio di un utensile). Se lo scopo del sistema `e quello di ottenere un certo profilo temporale dalla posizione dell’asse, si dovr`a considerare la posizione angolare dell’asse θ come uscita di riferimento. Per quanto riguarda le misure, si potranno avere casi diversi, nei quali siano misurabili la sola θ, o anche la velocit`a ˙θ e/o la corrente di armatura c.

Il modello nello spazio di stato di questo sistema si pu`o dunque ottenere dal sistema delle due equazioni differenziali (di ordine uno e due, rispetti- vamente). Ponendo ad esempio come stati x1 = θ, x2 = ˙θ, e x3 = c, si

avr`a ˙x = Ax + Buu + Bdd yr = Crx ym = Cmx dove A =   0 1 0 0 −b J Km J 0 0 ₋1_τ  ; Bu =   0 0 K τ  ; Bd   0 1 J 0   Cr =  1 0 0  ; Cm=   1 0 0 0 1 0 0 0 1  

Naturalmente, la matrice Cm sopra scritta vale nel caso in cui tutte le

grandezze sopra elencate fossero disponibili per la misura. La seconda e terza riga devono essere rimosse se si hanno solo misure di posizione dell’asse,

7.1. GENERALIT `A 161

cosa che assumiamo: pertanto, d’ora in poi, considereremo semplicemente Cm= Cr.

In termini di funzioni di trasferimento, considerando che l’uscita di posi- zione `e allo stesso tempo uscita di riferimento e di misura, si pu`o scrivere

Gru(s) = Gmu(s) = _{s(τ s+1)(Js+f )}KKm ;

Grd(s) = Gmd(s) = _{s(Js+f )}1 .

In generale, il comportamento dinamico del sistema cos`ı come viene da- to non soddisfer`a ai requisiti. Il problema del controllo sar`a dunque quello di progettare un altro sistema, che diremo genericamente controllore, capa- ce di usare le informazioni contenute nelle uscite misurate per determina- re un ingresso di controllo opportuno, e tale che il sistema risultante dalla interconnessione verifichi le specifiche.

Nella figura, viene evidenziato anche il ruolo di un eventuale nuovo ingresso r al controllore, che pu`o servire per far seguire al sistema desiderate traiettorie. Il controllore `e in generale esso stesso un sistema dinamico, con un numero di stati nc la cui scelta `e uno degli obiettivi del progetto, il cui ingresso sono

le uscite di misura del sistema, e la cui uscita viene usata come ingresso di controllo del sistema. Nel caso di un controllore lineare, questo pu`o venire caratterizzato dalle matrici Ac, Bc, Cc, Dc, ovvero da una f.d.t. C(s).

Nel caso frequente di sistemi SISO in cui l’uscita di misura e di riferimento coincidono, lo schema del sistema controllato pu`o essere tracciato in qualche maggior dettaglio come riportato in figura

162 CAPITOLO 7. RETROAZIONE

Figura 7.1: Schema a blocchi di un sistema controllato

Il significato dei blocchi in figura `e il seguente:

P(s) indica la f.d.t. dell’impianto da controllare tra l’ingresso u e l’uscita y; D(s) indica la f.d.t. tra il disturbo d e l’uscita y;

R(s) `e la f.d.t. della catena di reazione. Con questa f.d.t si pu`o modellare la dinamica di trasduttori non istantanei (come ad esempio accelerometri, inclinometri, giroscopi, etc.). In alcuni casi, R(s) pu`o anche rappresen- tare un sistema dinamico per la compensazione che il progettista pu`o intenzionalmente inserire in questo tratto dell’anello;

C(s) indica la f.d.t. del controllore, o compensatore, in catena diretta, il cui progetto `e oggetto del nostro studio;

F(s) indica una f.d.t. di precompensazione, o di “azione in avanti” (feedfor- ward), talvolta usata per adattare il riferimento esterno v al riferimento diretto r.

Nel caso dell’azionamento elettrico di un asse meccanico si ha ad esempio:

P (s) = KKm

s(τ s + 1)(Js + f ); D(s) = 1