L’influenza delle abilit`a visuo-spaziali nel pensiero matematico, insieme ai fat- tori emersi da una lettura critica della letteratura e descritti nel capitolo 2, permettono di esaminare le strategie individuate e di rispondere alle domande di ricerca. Nel seguito verranno discusse separatamente le attivit`a svolte in 2 e in 3 dimensioni, definendo vincenti le strategie che hanno condotto lo studente a rispondere correttamente alla domanda posta dall’intervistatore, non vincenti le altre.
3.4.1
Figure 2D (quadretti su griglia)
La tabella seguente sintetizza il contenuto relativo all’analisi delle figure bidi- mensionali del paragrafo precedente.
Strategia Vincente Non vincente
1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 1A X X 2A X 3A X
Tabella 3.16: Tabella riassuntiva riguardante gli esiti delle strategie utilizzate nell’analisi di figure bidimensionali
Corrispondenza fra oggetti
Due delle strategie utilizzate si basano sul creare una corrispondenza fra oggetti presenti in figura, ma solo in un caso l’azione `e svolta correttamente e conduce lo studente a fornire la risposta esatta. Nella strategia vincente viene creata una corrispondenza biunivoca fra i quadrati azzurri che compongono la figura e quelli bianchi della griglia. L’abilit`a visiva ricostruttiva gli permette di utilizzare i quadrati bianchi, esterni alla figura, per delimitare quelli azzurri da costruire come richiesto dall’attivit`a. Lo studente mostra la sua abilit`a di organizzazio- ne visiva esponendo il proprio ragionamento in modo preciso e ci`o `e coerente con il livello di accuratezza ottenuto dai risultati del MathPro Test relativi alla consegna delle forme 2-D: eccellente. Un altro tipo di corrispondenza (strategia 1) `e creato da uno studente che cerca di individuare il numero di quadrati az- zurri presenti in figura mettendo in relazione i segmenti che la delimitano con i quadrati bianchi che la circondano. La totale mancanza di considerazione verso
3.4. ANALISI DELLE STRATEGIE INDIVIDUATE 59 le porzioni di quadrato triangolari permette di supporre che la griglia che fa da sfondo alla figura influenzi molto il ragionamento dello studente. L’assenza di segmenti obliqui non gli consente di identificare la base del triangolo con la dia- gonale di un quadrato, quindi di visualizzare la porzione che rappresenta met`a dell’intero. In generale, non si esclude l’ipotesi della mancata identificazione dei quadrati all’interno della figura; ci`o risulterebbe coerente con le prestazioni in matematica dello studente valutate dall’insegnante come molto scarse. Il fatto, inoltre, che lo studente adotti ripetutamente tale strategia potrebbe essere spie- gato in termini di uno scarso sviluppo di abilit`a visuo-spaziali ritenute basilari nello sviluppo del pensiero matematico, quali la Scansione visiva, l’Abilit`a di manipolare immagini, l’Organizzazione visiva.
Conteggio
Risulta interessante osservare come gli effetti di una pi`u o meno buona visualiz- zazione si riversino anche nell’operazione di conteggio dei quadrati. Le strategie 4, 5 e 6 nell’analisi di figure bidimensionali riguardano il contare i quadrati az- zurri presenti in figura e, come si evince dalla tabella riassuntiva posta all’inizio del paragrafo, solo due di esse si rivelano vincenti. La strategia che conduce lo studente a dare una risposta sbagliata consiste nel contare tutte le celle co- lorate di azzurro, sia interamente che parzialmente; ci`o farebbe ipotizzare una mancata comprensione della consegna prevista dall’attivit`a oppure importanti difficolt`a nel visualizzare le porzioni di quadrato.
Le due strategie vincenti sembrano accomunate da una spiccata abilit`a di generare immagini; in entrambi i casi pare che gli studenti siano in grado di produrre istantaneamente le immagini dei quadrati e dei triangoli nella propria mente. L’unica differenza consiste nell’ordine con cui le porzioni di quadrato identificate vengono prese in considerazione. Anche se le prestazioni in mate- matica degli studenti che hanno adoperato tali strategie sono state valutate allo stesso modo dall’insegnante (buone), si potrebbe supporre una differenza nella padronanza del ragionamento con le frazioni. In ognuno dei casi viene svolta una buona scansione visiva della figura, coerentemente con i risultati ottenuti dagli studenti nel MathPro Test in cui il livello di accuratezza nelle risposte risulta nella media.
Ricoprimento
La strategia 1A, basata sul ricoprimento delle celle per mezzo dell’artefatto, `e adoperata in due modi diversi e solo in un caso conduce lo studente a rispon- dere correttamente alla richiesta dell’intervistatore. Si osserva che la differenza sostanziale fra i due casi `e l’individuazione delle porzioni di quadrato all’interno della figura, quindi l’utilizzo delle frazioni nell’argomentazione del ragionamento svolto. La strategia non si rivela vincente quando lo studente adopera esclusi- vamente artefatti di forma quadrata; egli sovrappone quadratini di plastica su figure triangolari, ovvero ricopre totalmente anche le celle colorate solo in parte. La strategia corrispondente a questa nell’attivit`a di analisi delle forme senza ar-
tefatto `e quella denominata Conteggio celle colorate, e ci`o suggerirebbe coerenza rispetto al ragionamento svolto dallo studente. Si avvalorerebbe, cos`ı, l’ipotesi di una mancata comprensione della consegna, formulata precedentemente, e in linea con la valutazione in matematica molto scarsa data dall’insegnante. In questo caso si rivela assente o inattiva l’abilit`a di scansione visiva che al contra- rio rappresenta uno dei punti di forza dello studente che adotta tale strategia nella maniera corretta. Egli, infatti, utilizza gli artefatti per accertarsi del- l’esatta grandezza delle porzioni di quadrato presenti in figura e argomenta il ragionamento trattando le frazioni con disinvoltura. Il processo vero e proprio di costruzione del quadrato avviene mentalmente; le varie componenti minori non vengono avvicinate e/o unite.
Riempimento e Completamento dell’intero con le porzioni presenti Le strategie 3, 2A e 3A, denominate rispettivamente Spostamento porzioni, Riempimento e Composizione riguardano, pur non conducendo lo studente a fornire sempre la risposta corretta, la maninpolazione delle porzioni di quadra- to. Le strategie 3 e 3A sono adoperate da studenti dall’alto profilo matematico la cui valutazione delle prestazioni da parte dell’insegnante `e buona o molto buona, e il cui livello di accuratezza delle risposte date nel MathPro Test risulta essere alto o eccellente. Questo `e in linea con la coerenza dell’utilizzo delle stra- tegie nell’analisi delle figure bidimensionali con artefatto e senza. L’elemento che le caratterizza e che unisce diverse abilit`a visuo-spaziali fra quelle elencate nel capitolo 2 `e il movimento delle componenti individuate. Il ragionamento del- lo studente verte sullo spostamento (rotazione e traslazione) delle componenti che lo conduce all’obiettivo finale di costruzione di un quadrato intero. In assen- za di artefatti tale processo `e puramente mentale e l’argomentazione esaustiva fornita dallo studente rispecchia il suo profilo. Nella categoria 2A, invece, la nozione di movimento `e totalmente assente. Le porzioni di quadrato raffigurate vengono completate utilizzando l’artefatto; non si parla di frazioni, di triangoli e di composizione dell’intero. Tale prestazione potrebbe essere dovuta a carenti abilit`a visuo-spaziali basilari per la formazione del pensiero matematico. L’a- dattamento di tale strategia appare in linea con il basso profilo dello studente, la cui valutazione da parte dell’insegnante `e molto scarsa.
3.4.2
Figure 3D (mattoncini)
Come per il caso bidimensionale, `e riportata una tabella riassuntiva delle stra- tegie utilizzate durante lo svolgimento dell’attivit`a riguardante le figure 3-D; segue una breve discussione su aspetti ritenuti rilevanti nello studio svolto. Rotazione modellino
Due delle strategie adoperate nell’analisi di figure tridimensionali utilizzando gli artefatti riguardano la rotazione del modellino costruito dallo stesso studente. E’ interessante osservare che, sebbbene si possano sollevare diverse ipotesi riguardo
3.4. ANALISI DELLE STRATEGIE INDIVIDUATE 61
Strategia Vincente Non vincente
1 X 2 X X 3 X X 4 X X 1A X 2A X 3A X 4A X
Tabella 3.17: Tabella riassuntiva riguardante gli esiti delle strategie utilizzate nell’analisi di figure tridimensionali
allo scopo della suddetta azione e al modo in cui esso cambi a seconda del momento in cui viene svolta, si pu`o individuare un fattore che accomuna le strategie.
Nella strategia 1A il modellino viene ruotato durante la fase di costruzio- ne. Posizionati i cubi di base, prima di procedere con il collocamento dei cubi al secondo livello di altezza, lo studente ruota la struttura da lui costruita di- sponendola nella stessa angolazione della figura tridimensionale dell’item. Si potrebbe supporre che cos`ı facendo egli voglia assicurarsi di procedere nella ma- niera corretta, prima che l’attivit`a diventi pi`u complicata. Nella strategia 4A la rotazione del modellino avviene dopo la costruzione; lo studente compie l’a- zione mentre spiega all’intervistatore il ragionamento che ha svolto e dispone la struttura da lui realizzata in modo da far avere al suo interlocutore lo stesso punto di vista che lui ha avuto durante la costruzione. Il fattore che sembrereb- be legare le due strategie `e l’abilit`a di perspective taking, descritta nel capitolo 2. La differenza del momento in cui viene svolta la rotazione pare rispecchiare quanto tale abilit`a sia sviluppata nello studente. Considerato tale fattore, il diverso modo di agire degli intervistati nelle strategie 2A e 4A risulta coerente con i loro profili matematici; le prestazioni in matematica dello studente che ha ruotato il modellino dopo la costruzione sono state valutate dall’insegnante come molto buone e ci`o `e in linea con la capacit`a di cambiare la prospettiva di un oggetto in base alla situazione in corso. Al contrario, lo studente che ruota il modellino mentre lo costruisce potrebbe essere sintomatico di una insicurezza nel gestire variazioni del punto di vista.
Rotazione foglio
Osservazioni simili a quelle fatte riguardo alla rotazione del modellino possono essere fatte riguardo alla rotazione del foglio su cui `e rappresentata la figura tridimensionale da analizzare. Come prima, il fattore che sembrerebbe marcare una grossa differenza nelle strategie in questione, 2A e 3A, `e il momento in cui viene svolta l’azione. Risulta particolarmente interessante il caso in cui il foglio
viene ruotato dallo studente durante l’operazione di conteggio dei blocchi; l’a- zione `e accompagnata, inoltre, dall’inclinazione della testa come mostrato nei fotogrammi riportati nella tabella che segue la descrizione nella strategia nel paragrafo 3.4.4. Si potrebbe supporre che lo studente abbia compiuto tale ge- sto per cercare di “vedere meglio” la figura; ci`o potrebbe essere sintomatico di una scarsa abilit`a di scansione visiva, quindi una debole capacit`a di ricostruire immagini sulla base di propriet`a individuate tramite una buona visualizzazione. Le osservazioni fatte sarebbero in linea con la valutazione (molto scarso) del- le prestazioni in matematica dello studente fornita dall’insegnante prima dello svolgimento del MathPro Test.
Rapidit`a di risposta
Uno dei fattori che caratterizzano la strategia 1 denominata No gestualit`a `e il tempo impiegato dallo studente per fornire la risposta al quesito postogli. La suddetta strategia, inoltre, `e adoperata esclusivamente in presenza di item in cui compaiono figure tridimensionali che si sviluppano fino a un massimo di 2 livelli di altezza. La combinazione di questi due fatti si rivela coerente con i risultati di uno studio condotto da Chen, Hale e Myerson (2003) sull’azione della memoria di lavoro visuo-spaziale nell’analisi dei tempi di reazione in particolari situazioni, secondo cui si `e sensibili alla variazione di complessit`a dell’item. Altre osservazioni
Tre delle quattro strategie adottate dagli studenti nell’analisi di figure tridi- mensionali senza artefatti sono inerenti al conteggio dei blocchi presenti. Risul- ta interessante osservare che una di esse, la strategia 2, sia comune a tutti gli intervistati; in ognuno dei casi esaminati, infatti, l’analisi dell’item inizia con l’individuazine dei blocchi totalmente visibili. Le strategie 3 e 4 possono essere considerate “sottostrategie” dei quella sopracitata, riguardante appunto l’ordine secondo cui gli studenti si soffermano sugli oggetti presenti in figura.
Un altro aspetto comune a tutti gli studenti coinvolti nello studio `e l’utilizzo di parole che rimandano alla fisicit`a degli oggetti. Questa caratteristica del lin- guaggio adoperato emerge particolarmente dall’analisi delle figure tridimensio- nali con artefatti; nell’argomentare il ragionamento svolto i soggetti intervistati utilizzano parole come fluttuare, volare, reggersi. Uno di loro, all’incalzare del- le domande poste dall’intervistatore, risponde dicendo esplicitamente che “c’`e bisogno un po’ della Fisica”.