Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Tesi di Laurea
Processi di visualizzazione in 2D
e 3D: analisi relative ad alcuni
studenti del campione del
MathPro Test
Relatore:
Prof.ssa Anna Baccaglini-Frank
Candidato:
Giulia Bruni
Indice
Introduzione 1
1 Il MathPro test 3
1.1 Le difficolt`a in Matematica . . . 3
1.1.1 Definizioni e quadro normativo . . . 3
1.1.2 Categorizzazione . . . 6
1.2 Introduzione al MathPro Test . . . 9
1.2.1 Il modello su quattro domini . . . 9
1.2.2 Uno studio preliminare . . . 11
1.3 Il test . . . 14
1.3.1 Attivit`a 2-D: quadrati . . . 15
1.3.2 Attivit`a 3-D: mattoncini . . . 17
1.4 Il mio contributo al MathPro Test . . . 19
2 Definizione del quadro teorico di riferimento 23 2.1 Le abilit`a visuo-spaziali nell’ambito della geometria euclidea . . . 23
2.1.1 Natura e classificazione delle abilit`a visuo-spaziali . . . . 24
2.1.2 Interpretazione di alcune abilit`a visuo-spaziali nell’ambito della geometria euclidea . . . 25
2.2 Visione e Visualizzazione . . . 29
2.2.1 La visualizzazione nell’apprendimento della matematica . 30 2.3 Il pensiero spaziale e il perspective taking . . . 31
2.3.1 Il perspective taking . . . 31
2.3.2 La visualizzazione nel pensiero spaziale . . . 34
2.4 L’utilizzo di materiale didattico e lo sviluppo delle abilit`a visuo-spaziali . . . 35
3 Analisi del pensiero matematico in situazioni bidimensionali e tridimensionali 37 3.1 Domande di ricerca . . . 37
3.2 L’intervento . . . 38
3.2.1 Popolazione . . . 38
3.2.2 Metodologia . . . 38
3.2.3 Attivit`a 2D: quadretti su griglia . . . 38 iii
3.2.4 Attivit`a 3D: mattoncini . . . 39
3.2.5 L’analisi . . . 39
3.3 Strategie individuate . . . 40
3.3.1 Analisi di figure 2D senza artefatti . . . 40
3.3.2 Analisi di figure 2D con artefatti . . . 46
3.3.3 Analisi di figure 3D senza artefatti . . . 53
3.3.4 Analisi di figure 3D con artefatti . . . 53
3.4 Analisi delle strategie individuate . . . 58
3.4.1 Figure 2D (quadretti su griglia) . . . 58
3.4.2 Figure 3D (mattoncini) . . . 60
3.5 Conclusioni e implicazioni didattiche . . . 62
Appendice 67
Bibliografia 69
Elenco delle tabelle
1.1 Modello su quattro domini; insiemi di abilit`a matematiche as-sociate con ciascun dominio (Karagiannakis, Baccaglini-Frank, Papadatos 2014). . . 10 1.2 Analisi a priori dei domini di appartenenza per le tredici consegne
di Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos (2017). . . 12 1.3 Analisi in componenti principali (varimax) delle task della
bat-teria sperimentale (Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos 2017). . . 13 1.4 Popolazione del campione di standardizzazione italiano. . . 19 3.1 Estratto di intervista relativo all’individuazione della Strategia 1 41 3.2 Estratto di intervista relativo all’individuazione della Strategia 2 43 3.3 Primo estratto di intervista relativo all’individuazione della
Stra-tegia 3 . . . 44 3.4 Secondo estratto di intervista relativo all’individuazione della
Stra-tegia 3 . . . 44 3.5 Terzo estratto di intervista relativo all’individuazione della
Stra-tegia 3 . . . 45 3.6 Estratto di intervista relativo all’individuazione della Strategia 4 46 3.7 Primo estratto di intervista relativo all’individuazione della
Stra-tegia 1A . . . 47 3.8 Secondo estratto di intervista relativo all’individuazione della
Stra-tegia 1A . . . 48 3.9 Estratto di intervista relativo all’individuazione della Strategia 2A 50 3.10 Primo estratto di intervista relativo all’individuazione della
Stra-tegia 3A . . . 51 3.11 Secondo estratto di intervista relativo all’individuazione della
Stra-tegia 3A . . . 52 3.12 Estratto di intervista relativo all’individuazione della Strategia 1A 54 3.13 Estratto di intervista relativo all’individuazione della Strategia 2A 55 3.14 Estratto di intervista relativo all’individuazione della Strategia 3A 56 3.15 Estratto di intervista relativo all’individuazione della Strategia 4A 57 3.16 Tabella riassuntiva riguardante gli esiti delle strategie utilizzate
nell’analisi di figure bidimensionali . . . 58 v
3.17 Tabella riassuntiva riguardante gli esiti delle strategie utilizzate nell’analisi di figure tridimensionali . . . 61
Introduzione
Il presente studio si propone di esaminare le linee di ragionamento seguite dagli studenti nella visualizzazione di forme bidimensionali e tridimensionali. Par-tendo dalla somministrazione in alcune scuole della Toscana del MathPro Test, un sistema di profilazione per competenze e difficolt`a nell’apprendimento della matematica, ci si `e soffermati particolarmente sulle abilit`a visuo-spaziali mo-strate dagli studenti nella risoluzione di alcuni quesiti. Tali consegne sono state riproposte in maniera simile ad alcuni studenti sotto forma di interviste in cui `
e stata aggiunta la possibilit`a di utilizzare artefatti per argomentare il ragio-namento svolto. Scopo ultimo, dunque fulcro dell’elaborato, `e stato quello di individuare le strategie adoperate dagli studenti intervistati nei processi di visua-lizzazione di figure bidimensionali e tridimensionali e gli errori che emergono dalle strategie non vincenti.
Nel primo capitolo viene presentato dettagliatamente il MathPro Test (ab-breviazione di Mathematical Profile and Dyscalculia Test ) ideato da Giannis Karagiannakis, Anna Baccaglini-Frank e loro collaboratori, inserendolo in un quadro di definizione delle difficolt`a in matematica e degli studi esistenti volti alla loro individuazione. Ci si addentra nell’ambito specifico del ragionamento visuo-spaziale delineando, nel capitolo 2, il contesto di principale interesse in seguito a una attenta analisi della letteratura; vengono esposti i concetti teorici necessari all’indagine dei processi attivati dalle consegne del MathPro Test e gli elementi che si `e cercato di mettere in evidenza nelle interviste. Il capitolo 3, infine, `e dedicato allo studio qualitativo condotto su alcuni studenti di classe quinta primaria. Dopo aver spiegato le attivit`a proposte e le loro modalit`a, si espongono le strategie individuate. Esse vengono successivamente confrontate e discusse sulla base della letteratura analizzata.
Si conclude con alcune possibili implicazioni didattiche emerse dal lavoro svolto.
Capitolo 1
Il MathPro test
1.1
Le difficolt`
a in Matematica
Uno dei problemi centrali per l’istruzione della matematica `e rappresentato dalle difficolt`a nell’apprendimento; nonostante i risultati della ricerca nel campo del-l’educazione e le varie innovazioni tecnologiche, esso resta un tema largamente trattato nell’ambito di ricerca internazionale. Si distinguono due principali linee di ricerca: una riguarda il versante diagnostico, di categorizzazione e profilazio-ne delle debolezza concettuali degli studenti, l’altra `e rappresentata da studi di intervento didattico. Prima di entrare nei dettagli, `e doveroso introdurre le definizioni di base e disporle all’interno del contesto legislativo nazionale.
1.1.1
Definizioni e quadro normativo
Le difficolt`a relative all’insegnamento-apprendimento della matematica vengono descritte (Zan 2006) in termini di: allievo con difficolt`a in matematica, difficolt`a della matematica stessa, difficolt`a di un allievo in matematica; in questa sezione si far`a particolare riferimento alla prima di queste categorie.
A livello legislativo, in Italia il Ministero dell’Istruzione, dell’Universist`a e della Ricerca parla di Bisogni Educativi Speciali (BES) e Disturbi Specifici dell’Apprendimento (DSA).
Ogni alunno, con continuit`a o per determinati periodi, pu´o mani-festare Bisogni Educativi Speciali: o per motivi fisici, biologici, fi-siologici o anche per motivi psicologici, sociali, rispetto ai quali ´e necessario che le scuole offrano adeguata e personalizzata risposta.
(MIUR 2012b) I BES sono ripartiti in tre macroaree:
1. Svantaggi socio-economici, linguistici e culturali;
2. Disabilit`a visiva, uditiva, motoria, intellettiva o di altro tipo (certificata ai sensi della legge 104/92);
3. Disturbi specifici dell’apprendimento, deficit di linguaggio, deficit delle abilit`a non verbali, deficit della coordinazione motoria, deficit di attenzio-ne e di iperattivit`a (diagnosticati ai sensi della legge 107/2010).
In quest’ultima categoria rientrano i DSA, che nei documenti ministeriali ven-gono descritti come deficit neuropsicologici, pertanto non attribuibili a fattori ambientali o relativi alla pratica didattica. La normativa italiana riconosce quattro DSA: discalculia, disgrafia, dislessia e disortografia. Un altro disturbo, tuttora non riconosciuto dal MIUR, ma che sembra avere un impatto negativo sull’apprendimento della matematica, e in particolare della geometria, `e noto come Disturbo dell’Apprendimento Non-Verbale (DANV). Sar`a rivolta maggio-re attenzione alla discalculia, l’unico DSA legato dimaggio-rettamente alla matemati-ca1. A livello diagnostico, l’Organizzazione Mondiale della Sanit`a elenca cos`ı le
caratteristiche del disturbo di calcolo:
[...] un’incapacit`a a comprendere i concetti alla base di particolari operazioni aritmetiche; una mancanza di comprensione dei termini o dei segni matematici; il mancato riconoscimento dei simboli numeri-ci; la difficolt`a di operare le manipolazioni aritmetiche standard; la difficolt`a nel comprendere quali numeri sono pertinenti al problema aritmetico che si sta considerando; la difficolt`a ad allineare corret-tamente i numeri o a inserire decimali o simboli durante i calcoli; la difettosa organizzazione spaziale dei calcoli aritmetici; l’incapacit`a ad apprendere in modo soddisfacente le tabelle della moltiplicazione. (OMS 1992)2,3
In Italia, gli studenti DSA sono stimati tra il 3% e il 5% della popolazione (MIUR 2011a), ma sembra essersi sviluppata una tendenza all’aumento del-le certificazioni (MIUR 2011b), specialmente in alcune regioni. D’altro canto l’international Academy for Research on Learning Disabilities (IARLD) stima intorno al 2,5% la porzione discalculica, e l’1% quella con discalculia pura del-la popodel-lazione studentesca (Cornoldi e Lucangeli 2004); per di pi`u (Lucangeli 2005) oltre il 20% degli studenti al termine del ciclo della primaria risulterebbe positivo ai test diagnostici per la discalculia usati a livello nazionale. Quello che emerge `e pertanto un quadro di alta incidenza nazionale di falsi positivi.
Per Baccaglini-Frank, Di Martino et al. (2017)
[...] in Italia il fenomeno di etichettamento di tutti gli studenti che presentano basse prestazioni in matematica ha creato e continua a
1Anche gli altri disturbi possono incidere negativamente, seppur in maniera indiretta,
sul-l’apprendimento della matematica. Un dislessico pu`o avere, ad esempio, difficolt`a nell’af-frontare un problema matematico presentato in via verbale scritta, oppure un disgrafico pu`o trovare complicata la produzione di rappresentazioni grafiche dei concetti matematici. Sono piuttosto frequenti, inoltre, casi di comorbidit`a tra i vari DSA.
2Questa definizione non `e esente da critiche (ad esempio da parte di Butterworth, in
Verschaffel et al. 2018).
1.1. LE DIFFICOLT `A IN MATEMATICA 5 creare molta tensione e confusione rispetto a che cosa sia la discal-culia. Queste incertezze producono per lo pi`u disagio tra insegnanti, studenti e famiglie, anche perch´e per legge gli studenti certificati DSA hanno diritto a particolari strumenti compensativi e misure di-spensative (L. n. 170/2010). Nell’adattare tali strumenti e misure ai singoli studenti poco o nessun supporto `e offerto agli insegnanti che, secondo il sistema inclusivo italiano, si trovano in classe contempo-raneamente studenti con bisogni educativi spesso molto diversi tra loro.
(Baccaglini-Frank, Di Martino et al. 2017 p.88.)
Esiste un’ampia letteratura italiana (ad esempio Mariotti e Maffei 2011; Baccaglini-Frank e Bartolini Bussi 2015) che indica come sia possibile limitare il fenomeno dei falsi positivi nelle diagnosi di discalculia con una didattica pi´u attenta.
Nell’investigare le difficolt`a in matematica, la maggior parte della ricerca nel campo della psicologia cognitiva si `e concentrata sulle problematiche che intervengono nello sviluppo della cognizione numerica di base. Per descrivere i vari quadri di problematicit`a nel corso degli anni una molteplicit`a di termi-ni, come “difficolt`a nell’apprendimento della matematica” (MLD, Mathematical Learning Difficulties; Passolunghi e Siegel 2004), ”disabilit`a dell’apprendimen-to della matematica” (MLD, Mathematical Learning Disabilities; Rousselle e N¨oel 2007, “discalculia evolutiva” (DD, Developmental Dyscalculia; Piazza et al. 2010). Tuttavia la terminologia risulta inconsistente4 e queste definizioni
restano argomento di dibattito (Mazzocco e R¨as¨anen 2013). Per Sz¨ucs (2016; vedi anche Fletcher et al. 2011) questo `e dovuto all’assenza di una classificazione generalmente accettata delle debolezze matematiche nell’apprendimento5.
Lewis e Fischer (2016) hanno analizzato sistematicamente 710 studi sulle MLD trovando una eccessiva variabilit`a nei test prestazionali usati come di-scrimine: ad esempio, i cut-off variano dal terzo al trentaduesimo percentile, mentre la prevalenza si muove dall’1,3% al 13,8%. Inoltre le diagnosi non sem-brano generalmente in grado di separare difficolt`a cognitive e non cognitive; spesso non si tiene conto dei fattori socio-economici, linguistici, di etnia e di genere, e la quasi totalit`a delle pubblicazioni considerate non tiene presente contenuti matematici importanti come frazioni, espressioni o equazioni. Il qua-dro `e ulteriormente complicato dai frequenti casi di comorbidit`a e dalla vasta eterogeneit`a (Kaufmann et al. 2013).
Per Baccaglini-Frank e Bartolini Bussi (2015), inoltre, un tema fondamentale a cui non viene data sufficiente importanza nelle pratiche diagnostiche `e quello di competenza matematica. Tale concetto nasce dalla ricerca di Niss (2003) e fa
4Addirittura, come si `e appena visto, la stessa sigla (MLD) indica di volta in volta un
oggetto diverso - le difficolt`a o le disabilit`a nell’apprendimento della matematica.
5Ci sono comunque anche altri motivi che entrano in gioco. Un’altra delle difficolt`a nel
ri-conoscere le varie forme di MLD risiede nel distinguere tra i disturbi e tra le competenze, come provato dal fatto che persino individui con discalculia pura possano essere assai competenti in matematica: ad esempio Butterworth, Varma e Laurillard, “Dyscalculia: From Brain to Education” (2011) hanno riscontrato casi di discalculia fra soggetti con quoziente intellettivo molto elevato.
parte dei quadri teorici delle rilevazioni pi`u importanti a livello internazionale (OCSE 2012) e nazionale (INVALSI 2017). Si riporta la definizione dell’OCSE.
La competenza matematica (mathematical literacy) `e l’abilit`a indiciduale di identificare il ruolo che la matematica gioca nel mon-do, di operare valutazioni fondate, di utilizzare la matematica e con-frontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenzee della vita di quell’individuo in quanto cittadino che esercita un ruolo costruttivo, impegnato e basato sulla riflessione.
(OCSE 2012 p.24)6
1.1.2
Categorizzazione
[...] in ambito didattico sembra che possa essere pi`u fruttuoso smet-tere di cercare di scoprire chi siano i discalculici, per etichettarli e concentrare invece l’attenzione sul perch´e alcuni studenti fallisca-no in certi ambiti (quali?) della matemtica e ricercare che cosa `e possibile fare per evitare tale fallimento.
(Baccaglini-Frank e Bartolini Bussi 2015)7 I tentativi di classificare e spiegare le difficolt`a nell’apprendimento della mate-matica (L. S. Fuchs e D. Fuchs 2002) costituiscono una linea di ricerca pluri-decennale; alla base vi `e la volont`a di rivelare i fattori cognitivi che generano gli insuccessi nel rendimento in matematica. Esempi dei suddetti tentativi so-no l’analisi del ruolo della memoria di lavoro e dell’inibizione cognitiva svolta da Geary (2004), e l’indagine circa le conseguenze dei deficit visuo-spaziali sul rendimento in matematica condotta da Mammarella e Cornoldi (2005).
La classificazione condotta da Geary (1994, ma si veda anche Geary e Hoard 2004) mette in relazione “disordini matematici” e deficit neurologici, risultando nell’individuazione di tre sottotipi principali:
procedurale (emisfero destro) ritardo nell’acquisizione delle strategie aritmeti-che di base, aritmeti-che pu`o derivare da mancanze della memoria di lavoro verbale o di conoscenza concettuale;
memoria semantica (emisfero sinistro) deficit nel recupero di fatti causato da problemi di memoria a lungo termine;
spaziale (emisfero destro) deficit nella rappresentazione spaziale dei numeri. Lo stesso Geary, a sedici anni di distanza (2010), ha parzialmente rivisto il suo modello alla luce della ricerca successiva in campo cognitivo, neuropsicologico e genetico.
6Grassetto e traduzione da Baccaglini-Frank, Di Martino et al. 2017 p.99). 7Corsivi dall’originale.
1.1. LE DIFFICOLT `A IN MATEMATICA 7 Nonostante la memoria di lavoro contribuisca ad alcuni deficit as-sociati con le MLD, come proposto originariamente, questo non `e tutto; le relazioni tra memoria di lavoro e carenze matematiche dei bambini con MLD sono persino pi`u sfumate di quanto pensassi. [...] Non avevo anticipato il contributo dei deficit nel nucleo numerico all’MLD [...] ma le prove supportano con decisione la sua esistenza. La relazione tra sviluppo tardivo o deficit nei sistemi del senso del numero, e i tre deficit originariamente proposti deve ancora essere determinato.
(Geary, 2010) Un esempio di costrutto teorico elaborato per la profilazione di abilit`a e de-bolezze in matematica `e costituito dalla Consapevolezza degli Schemi e delle Strutture Matematiche (AMPS, Awarness of Mathematical Pattern and Struc-ture; Mulligan 2011). Esso si concentra fondamentalmente sulla capacit`a di riconoscimento dei pattern, rivolgendo parzialmente l’attenzione anche alle as-sociazioni visuo-spaziali e al senso del numero. Il modello si basa su quattro stadi, descritti brevemente nel seguito.
Stadio pre-strutturale (PRS, Pre-Structural Stage) Le rappresentazioni non danno segni di alcuna struttura numerica o spaziale. La maggior parte degli esempi mostrano caratteristiche idiosincratiche.
Stadio emergente (ES, Emergent Stage) Le rappresentazioni mostrano qual-che elemento rivelante della struttura data, ma la struttura numerica o spaziale non `e rappresentata.
Stadio strutturale parziale (PS, Partial Structural Stage) Le rappresenta-zioni mostrano la maggior parte degli aspetti rilevanti della struttura numerica o spaziale, ma la rappresentazione `e incompleta.
Stadio dello sviluppo strutturale (Stage of Structural Development) Le rap-presentazioni integrano correttamente le caratteristiche strutturali nume-riche e spaziali.
Si attribuisce a Mulligan, Mitchelmore e Stephanou (2015) la batteria che va sot-to l’acronimo PASA (Pattern And Structure Assessment, valutazione di pattern e strutture) per la valutazione dello sviluppo della AMPS. Basata sull’utilizzo di domande chiuse, domande aperte e intervista clinica, essa restituisce come risul-tato non solo uno dei quattro livelli, ma anche una profilazione pi`u approfondita su cinque strutture individuali:
Sequenze Riconoscere una serie (lineare) di oggetti o simboli disposti in un ordine definito usando ripetizioni, cio`e ripetendo e facendo crescere schemi e sequenze numeriche.
Forma e allineamento Costruire unit`a di misura, riconoscere le caratteristi-che strutturali di forme e rappresentazioni graficaratteristi-che bi- e tri- dimensionali
(2D e 3D), come collinearit`a, somiglianza e congruenza, propriet`a di lati corrispondenti, opposti e adiacenti, angoli retti, linee orizzontali e verticali parallele e perpendicolari.
Equispaziatura Partizionare lunghezze, altri spazi e oggetti 2D e 3D in parti uguali, cos`ı come costruire unit`a di misura. ´E fondamentale per rappre-sentare frazioni, scale e intervalli.
Conteggio strutturato Subitizing, contare in gruppi, come contare di 2 in 2 o di 5 in 5 in una sequenza numerica con strutture di gruppo riconoscibili come moltiplicative.
Partizionamento Divisione di lunghezze e di altri spazi, oggetti e quantit`a 2D e 3D in parti uguali o ineguali, incluse frazioni e unit`a di misura.
Nel revisionare i tentativi di definire i tipi di MLD, Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos (2016) analizzano analogie e differenze per questi studi.
I modelli derivanti da questa linea di ricerca sono costruiti sull’as-sunzione che sia possibile collegare le abilit`a cognitive degli studenti con le loro prestazioni in prove di valutazione appropriatamente co-struite. A livello metodologico questa assunzione porta a un’altra molto comune in questi studi, cio´e che prestazioni alte o basse in una prova o una serie di esse corrisponda alla presenza o assenza di una particolare abilit`a cognitiva ”nello” studente. Vediamo questo come una limitazione, ma in questo tipo di studi non abbiamo an-cora trovato una via alternativa. Tuttavia, sono anan-cora significative le differenze soggiacenti agli approcci usati per lo sviluppo di tali modelli, e soggiacenti alla metodologia usata per validare ciascun modello. Queste differenze contribuiscono a rendere molto difficile confrontare i risultati fra gli studenti.
(Karagiannakis e Baccaglini-Frank 2014) Per Mulligan, Verschaffel et al. (2018), inoltre, solo recentemente ha cominciato ad accompagnarsi a una dovuta attenzione alle abilit`a numeriche di base dei bambini (es. contare, confrontare numerosit`a), un’altrettanto dovuta attenzio-ne alle abilit`a di ragionamento quantitativo (es. comprensione della composi-zione additiva dei numeri, abilit`a di ragionamento moltiplicativo), soprattutto dopo uno studio sulla consapevolezza di pattern e strutture (AMPS; Mulligan e Mitchelmore 2009). Similmente, parte della ricerca degli ultimi anni si sta orientando sui fenomeni di attenzione spontanea per i numeri (SFON, Spon-taneous Focusing On Numbers; Hannula-Sormunen e Lehtinen 2005) e per le relazioni quantitative (SFOR, Spontaneous Focusing On Quantitative Relations; Hannula-Sormunen e Lehtinen 2014).
1.2. INTRODUZIONE AL MATHPRO TEST 9
1.2
Introduzione al MathPro Test
1.2.1
Il modello su quattro domini
Il modello su quattro domini elaborato da Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Papadatos (2014) nasce con lo scopo di superare alcuni dei limiti dei modelli esposti nella sezione 1.1.2. Si `e tentato, ad esempio, di evitare le ambiguit`a nel collegamento tra debolezze concettuali e insuccessi nelle prestazioni, o di concentrarsi esclusivamente su di un unico dominio.
Il modello di Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Papadatos (2014) ipotizza delle associazioni tra insiemi di abilit`a matematiche. Il metodo proposto non prevede l’introduzione di nuovi costrutti teorici, ma si appoggia su una revisio-ne critica della letteratura esistente per identidicare quattro categorie (a priori, non organizzate secondo alcuna gerarchia) distinte di abilit`a cognitive matema-tiche fondamentali. Le abilit`a considerate all’interno della tabella 1.1 non sono, pertanto, tutte le abilit`a, ma solo quelle che dallo studio della letteratura risul-tano essere particolarmente importanti per ciascuno dei domini. Alcune abilit`a complesse, inoltre, come la struttura in base dieci, il contare, il ragionamento moltiplicativo, il riconoscimento di pattern, ecc. non sono incluse, dal momento che coinvolgono pi`u di un dominio.
Il modello risulta multidimensionale, proponendo una transizione da una categoria monodimensionale (discalculia) ad una multidimensionale (difficolt`a cognitive nell’apprendimento della matematica).
Figura 1.1: I quattro domini del modello di Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Papadatos (2014).
Sottotipo Sistemi specifici coinvolti Difficolt`a matematiche a 1. Nucleo numerico Rappresentazione interna delle
quantit`a: • ANSb; • OTSc;
• codifica della numerosit`a; • deficit di accesso.
Dominio aritmetico:
1. Senso base della numerosit`a e stima accu-rata di un piccolo numero di oggetti, es. 4-5 (subitizing);
2. Stimare approssimativamente diverse quan-tit`a;
3. Posizionare numeri su una linea dei numeri, effetto SNARC;
4. Gestire i simboli arabi;
5. Tradurre un numero da una rappresentazione a un’altra (analogica-araba-verbale); 6. Comprendere i principi base del contare; 7. Comprendere il valore posizionale (anche nella notazione decimale);
8. Comprendere i simboli delle operazioni aritmetiche di base (+, −, x, ÷).
2. Memoria (recupero ed elaborazione)
• WMd;
• inibizione dell’ingresso di in-formazioni irrilevanti nella WM;
• memoria semantica.
Tutti i domini matematici: 1. Recuperare fatti numerici;
2. Decodificare-confondere la terminologia (nu-meratore, denominatore, isoscele, equilatero, ... );
3. Tradurre regole verbali o compiti presentati oralmente;
4. Eseguire calcoli mentali con precisione; 5. Ricordare le procedure di riporto, cos`ı come formule e regole;
6. Problem solving aritmetico (tenere traccia dei passi).
3. Ragionamento Vari meccanismi esecutivi: • implicazioni;
• inibizione (non connessa alla WM);
• aggiornamento di informa-zioni rilevanti, passaggio da una operazione-strategia a un’altra; • aggiornamento e pianificazione strategica;
• decision-making.
Tutti i domini matematici:
1. Comprendere concetti, idee e relazioni matematici;
2. Capire pi`u passi in procedure-algoritmi complessi;
3. Comprendere principi logici base (con-dizionalit`a enunciati ”se... allora... ” -commutativit`a, inversione, ...);
4. Problem solving (decision making).
4. Visuo-spaziale • VSWM e;
• ragionamento-percezione VS. Domini dell’aritmetica scritta, geometria, alge-bra, geometria analitica, analisi matematica: 1. Interpretare e usare l’organizzazione spa-ziale di rappresentazioni di oggetti matemati-ci (per esempio numeri in notazione posizionale decimale, esponenti o figure geometriche); 2. Posizionare numeri su una linea dei numeri; 3. Riconoscere i numerali arabi e altri simboli matematici (confusione in simboli simili); 4. Calcoli scritti, specialmente dove la posizione `
e importante (es. riporto);
5. Controllare informazioni VS irrilevanti; 6. Visualizzare e analizzare figure geometri-che (o parti di esse), in particolare visualizzare movimenti rigidi come le rotazioni;
7. Interpretare grafici, capire e inter-pretare quando l’informazione matematica `e organizzata in modo VS (tabelle).
Tabella 1.1: Modello su quattro domini; insiemi di abilit`a matema-tiche associate con ciascun dominio (Karagiannakis, Baccaglini-Frank, Papadatos 2014).
aQueste possono anche essere viste come “abilit`a matematiche”, qualora il modello
sia utilizzato per individuare i punti di forza anzich´e le debolezze
bSistema numerico approssimato (Approximate Number System) cSistema di riconoscimento degli oggetti (Object Tracking System) dMemoria di lavoro (Working Memory)
eMemoria di lavoro visuo-spaziale (Visuo-Spatial Working Memory). In generale,
1.2. INTRODUZIONE AL MATHPRO TEST 11
1.2.2
Uno studio preliminare
Il modello su quattro domini `e stato testato preliminarmente da Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos (2017) in un test che ha coinvolto 165 studenti greci di et`a compresa fra i 10 e i 12 anni. Ai soggetti `e stata sottoposta una batteria di esercizi matematici da affrontare al computer8,9. In un’analisi a priori, ciascun
esercizio `e stato caratterizzato come appartenente a uno specifico dominio fra i quattro previsti dal modello (tabella 1.2). Gli autori riassumono cos`ı lo scopo dello studio: Il modello su quattro domini `e stato testato preliminarmente da Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos (2017) in un test che ha coinvolto 165 studenti greci di et`a compresa fra i 10 e i 12 anni. Ai soggetti `e stata sottoposta una batteria di esercizi matematici da affrontare al computer 10,11. In un’analisi a priori, ciascun esercizio `e stato caratterizzato come appartenente a uno specifico dominio fra i quattro previsti dal modello (tabella 1.2). Gli autori riassumono cos`ı lo scopo dello studio:
1. Come sono correlate tra loro le consegne della batteria speri-mentale?
2. Ci sono prove a supporto del modello teorico su quattro domini? 3. Come si collocano le prestazioni degli studenti nei gruppi MLD e LS12 rispetto alle consegne matematiche della batteria spe-rimentale?
4. Quali tipi di profili matematici emergono in generale, e in parti-colare dagli studenti con basse prestazioni costituiscono gruppi separati?
(Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos 2017)
Si nota una parziale somiglianza con la batteria di esercizi sviluppata da Baccaglini-Frank e Bartolini-Bussi (2015) per valutare l’efficacia del progetto PerContare13:
8L’uso del computer `e coerente con la tesi di van den Heuvel-Panhuizen (Verschaffel et al.,
“Special Needs in Research and Instruction in Whole Number Arithmetic” 2018), il quale sostiene che la tecnologia interattiva possa aiutare a svelare cosa gli studenti con MLD sanno, piuttosto che ci`o che non sanno. Ad esempio, in (2010) studenti con MLD hanno avuto prestazioni migliori all’interno di un ambiente digitale (che prevedeva, tra gli altri strumenti, anche una linea dei numeri interattiva) rispetto a quelle conseguite in un tradizionale test standardizzato.
9Si tratta della batteria DeDiMa (Karagiannakis e Baccaglini-Frank 2014).
10L’uso del computer `e coerente con la tesi di van den Heuvel-Panhuizen (Verschaffel et al.,
“Special Needs in Research and Instruction in Whole Number Arithmetic” 2018), il quale sostiene che la tecnologia interattiva possa aiutare a svelare cosa gli studenti con MLD sanno, piuttosto che ci`o che non sanno. Ad esempio, in Peltenburg, Heuvel-Panhuizen e Robitzsch, “ICT-based dynamic assessment to reveal special education students’ potential in mathema-tics” (2010) studenti con MLD hanno avuto prestazioni migliori all’interno di un ambiente digitale (che prevedeva, tra gli altri strumenti, anche una linea dei numeri interattiva) rispetto a quelle conseguite in un tradizionale test standardizzato.
11Si tratta della batteria DeDiMa (Karagiannakis e Baccaglini-Frank 2014). 12Low Achievement, con basse prestazioni, NdR.
13PerContare `e un progetto triennale (2011-2014) che ha coinvolto studenti di terza
Consegna Dominio
1. Subitizing-Enumerazione Nucleo numerico
2. Confronto tra quantit`a numeriche Nucleo numerico 3. Confronto fra quantit`a di punti Nucleo numerico 4. Recupero di fatti sulle addizioni Memoria
5. Recupero di fatti sulle moltiplicazioni Memoria
6. Linee di numeri 0-100 Linee dei numeri
7. Ordinalit`a Linee dei numeri
8. Linee dei numeri 0-1000 Linee dei numeri
9. Terminologia matematica Memoria
10. Principi del calcolo Ragionamento
11. Calcolo mentale Memoria
12. Equazioni Ragionamento
13. Problemi verbali Ragionamento
Tabella 1.2: Analisi a priori dei domini di appartenenza per le tredici consegne di Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos (2017).
• scrittura dei numeri (entro il 1000, dettati non in ordine); • subitizing (con numerosit`a da 2 a 7);
• stima (paragone di due numerosit`a);
• enumerazione (conteggio di pallini e scrittura in posizione simbolica); • giudizio di grandezza (scegliere il simbolo che indica la quantit`a maggiore); • giudizio di quantit`a )decidere se due scritture, una in formato analogico e
l’altra in formato simbolico, rappresentano o meno lo stesso numero); • inserzioni sulla linea dei numeri (posizionare un numero su una linea dei
numeri da 0 a 20 con tacche);
• conteggio all’indietro (scrittura di numeri in ordine inverso sulle tacche di una linea dei numeri, a partire da un numero dato);
• addizioni (operazioni scritte di cui tre necessitano di composizione di una decina);
• sottrazioni (operazioni scritte in cui il numero maggiore `e entro il 10). Un’analisi statistica dei risultati ha prodotto i coefficienti di correlazione di Pearson per la batteria sperimentale, un’analisi in componenti principali (PCA, Principal Components Analysys), e un’analisi fattoriale confermativa come scopo contrastare il fenomeno dei falsi positivi nella diagnosi della discalculia in Italia. (Baccaglini-Frank e Bartolini Bussi 2016).
1.2. INTRODUZIONE AL MATHPRO TEST 13
Tabella 1.3: Analisi in componenti principali (varimax) delle task della batteria sperimentale (Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos 2017).
(CFA, Confirmatory Factor Analysis). La PCA ha prodotto quattro componen-ti principali, come illustrato nella tabella 1.3; la CFA ha testato la bont`a del fit su tre possibili modelli:
Modello I tutte le tredici consegne caricano su di un unico fattore: Modello II le consegne sono raggruppate come nell’analisi a priori;
Modello III le consegne sono raggruppate secondo le componenti ottenute dalla PCA.
Solo il modello III ha fornito un fit accettabile; conseguentemente l’analisi a posteriori `e risultata in una modifica del raggruppamento basato sulla PCA.
Un’analisi per k-means clustering ha mostrato una forte correlazione inter-na a ciascun gruppo e uinter-na sostanziale indipendenza tra i quattro gruppi. Ne consegue che uno studente debole su una specifica componente non lo sia ne-cessariamente anche sulle altre, e vista la distribuzione non omogenea delle prestazioni di studenti MLD e LA questo risultato `e valido anche per questi sottogruppi. Sono emersi, inoltre, sei cluster corrispondenti a sei diversi profili di rendimento:
Primo cluster Prestazioni basse in tutte le consegne.
Secondo cluster Prestazioni globalmente alte, eccellenti nel dominio Ragio-namento.
Terzo cluster Prestazioni globalmente alte, eccellenti nel dominio Nucleo nu-merico.
Quarto cluster Prestazioni molto basse nelle consegne basate sui domini Re-cupero di fatti e Nucleo numerico. Prestazioni medie o medio-basse nelle consegne sulle Linee dei numeri o sul Ragionamento.
Quinto cluster Prestazioni molto basse del dominio Ragionamento, ma medie o alte negli altri domini.
Sesto cluster Prestazioni molto basse del dominio Nucleo numerico, ma medie o alte negli altri domini.
La profilazione ottenuta risulta coerente con quanto proposto da Dowker (2004), che suggerisce un continuum nelle abilit`a matematiche degli studenti, da basso (in questo caso, primo cluster) a medio (quarto, quinto e sesto) a eccellente (secondo e terzo).
1.3
Il test
Il Mathematical Profile and Dyscalculia Test (abbreviato come MathPro Test ) nasce dagli studi preliminari di Karagiannakis, Baccaglini-Frank e loro collabo-ratori, esposti nella sezione precedente. Basato sul modello su quattro domini, esso `e un test informatizzato, rivolto a studenti dalla classe I primaria alla classe I secondaria di primo grado (comprese). Si notano alcuni nuovi elementi rispetto alla batteria precedente:
• l’inserimento di due nuove consegne (Quadrati e Blocchi da costruzione) nell’ambito delle abilit`a visuo-spaziali 2-D e 3-D;
• l’inserimento di una prova di digitazione di numeri allo scopo di misurare i tempi di reazione sia del soggetto che della macchina;
• modifiche rilevanti alle consegne di confronto tra quantit`a di punti, di recupero di fatti aritmetici e di problemi verbali;
• l’inserimento di due nuove consegne (Numero precedente e Numero suc-cessivo) per le valutazioni relative all’ordinalit`a;
• l’inserimento di una nuova consegna (Dettato di numeri) per valutare le abilit`a di codifica dal codice verbale al codice simbolico arabo.
La somministrazione computerizzata (online) non richiede l’assistenza dello spe-rimentatore; le istruzioni sono date direttamente dal computer (tramite audio, immagini, video e in formato testuale) e contengono una presentazione esplicita per ciascuna tipologia di consegna. Dopo un video che mostra le indicazioni ne-cessarie allo svolgimento della consegna, vengono dati allo studente tre tentativi di prova, ciascuno dei quali `e seguito da un feedback; nel caso in cui esso risulti negativo, le istruzioni vengono ripetute ed approfondite. Prima di svolgere gli esercizi in cui `e rilevato il tempo di reazione, lo studente riceve il seguente mes-saggio: “Ricorda: in questo esercizio il tempo `e importante. Rispondi pi`u veloce
1.3. IL TEST 15 che puoi, ma senza fare errori ”. Altri vantaggi di un approccio informatizzato sono costituiti dalla possibilit`a di misurare con precisione i tempi di reazione, di generare automaticamente i profili individuali e le analisi statistiche, di modifi-care la struttura delle consegne a seconda del grado scolastico, di tradurre con facilit`a la batteria in altri linguaggi (cos`ı da permettere confronti internazionali) e dalla capacit`a di essere continuamente aggiornato e compatibile con le nuove tecnologie14.
I risultati di ciascuna delle consegne vengono analizzati dettagliatamente; sono considerati, per ogni consegna, i seguenti aspetti:
• Una breve descrizione della consegna, insieme a un’immagine esemplifica-tiva.
• La definizione di accuratezza (AC) o di tempo di reazione (RT), a seconda di quale variabile viene presa in considerazione.
• Una classificazione della prestazione individuale, a seconda del percentile relativo:
scarsa (poor) fino al 15° percentile;
limitata (limited) dal 16° al 30° percentile; media (typical) dal 31° al 70° percentile; elevata (high) dal 71° all’85° percentile; eccellente (excellent) dall’86° percentile in su. • La definizione e l’elenco degli errori.
Per ogni studente viene restituito il MathPro Test Index, ovvero una classifi-cazione per percentili (sulla stessa scala precedentemente esposta) relativa alla prestazione globale nelle consegne relative al dominio Ragionamento.
Il MathPro Test misura, per ogni studente, tanto le debolezze quanto i poten-ziali punti di forza, concentrandosi su di una vasta area di abilit`a matematiche. Esso `e, dunque, pi`u che un semplice test diagnostico e pu`o essere usato come punto di partenza per pianificare interventi didattici informati, studiati in modo che le migliori capacit`a di ciascuno vengano utilizzate per colmare le lacune del soggetto stesso.
Una prima fase di standardizzazione dei risultati `e andata svolgendosi in Grecia, in Belgio e in Italia. I test si sono tenuti all’interno delle aule computer degli istituti scolastici. Ai partecipanti `e stato permesso di fermarsi ogni volta che lo desideravano.
1.3.1
Attivit`
a 2-D: quadrati
L’attivit`a riguardante l’analisi di figure 2-D si compone di diversi item; ognu-no di essi `e un’immagine costruita su una griglia quadrata bianca. La figura
1.3. IL TEST 17
Figura 1.3: Esempio semplice di figura 2D.
da analizzare `e ottenuta dalla combinazione di quadrati e triangoli blu, questi ultimi dati dal frazionamento dei quadrati in 2 o 4 parti. Agli studenti viene chiesto di individuare, cliccando sui tasti della calcolatrice che compare sullo schermo, il numero di quadrati interi che possono essere costruiti da ciascuna forma geometrica (“Quanti quadrati blu possono essere costruiti? ”). Gli item si differenziano sia in termini di combinazione delle parti componenti (quadrati, mezzi quadrati e quarti di quadrati), sia per il rapporto tra lati visibili e lati totali dei quadrati, e vengono proposti secondo un grado di difficolt`a crescente (vedi Figure 1.3 e 1.4). I prime tre contengono solo quadrati interi, mentre gli altri contengono una combinazione di quadrati interi e di triangoli dati da mezzi quadrati; poi sono inclusi anche triangoli corrispondenti a quarti di quadrato. All’inizio di ogni prova viene mostrata per 250 ms l’immagine fissa di un occhio al centro dello schermo; dopo 1000 ms secondi di pausa compare l’item e resta sullo schermo fin quando lo studente non risponde cliccando, quindi sul tasto verde. L’attivit`a `e proposta solo a studenti a partire dalla classe terza e ne viene esaminato lo svolgimento in base all’accuratezza della risposta fornita.
1.3.2
Attivit`
a 3-D: mattoncini
Gli item caratterizzanti l’analisi di figure 3-D sono strutture astratte composte da blocchi da costruzione. Viene chiesto allo studente di individuare, cliccando sulla calcolatrice mostrata sullo schermo, il numero totale di blocchi cubici che contiene ognuna delle figure tridimensionali (“Quanti cubi ci sono? ). Le strut-ture sono composte da un minimo di 5 a un massimo di 10 blocchi cubici e alcuni di essi (fino a 3) sono nascosti dietro gli altri (vedi Figura 1.5). Anche in questa attivit`a all’inizio di ogni prova viene mostrata per 250 ms l’immagine fissa di un occhio al centro dello schermo; dopo 1000 ms secondi di pausa compare l’item e resta sullo schermo fin quando lo studente non risponde e conferma cliccando,
Figura 1.4: Esempio complesso di figura 2D.
1.4. IL MIO CONTRIBUTO AL MATHPRO TEST 19
Tabella 1.4: Popolazione del campione di standardizzazione italiano.
quindi, sul tasto verde. Dopo due item di prova, si passa al test vero e proprio in cui `e l’accuratezza delle risposte ad essere calcolata.
1.4
Il mio contributo al MathPro Test
Come anticipato nel aragrafo 1.3, il MathPro Test `e stato somministrato in Grecia, in Belgio e in Italia, dove la standardizzazione ha coinvolto un campione di 1728 studenti suddivisi all’incirca equamente tra i due sessi e tra i gradi scolastici (tabella 1.4). La Professoressa Baccaglini-Frank, relatrice di questa tesi, ha curato la standardizzazione relativa alle scuole del Centro e del Sud Italia; io ho partecipato come collaboratrice durante la somministrazione delle prove in tre scuole della Toscana. Questo mio contributo ha rappresentato la parte iniziale del lavoro di tesi, che mi ha visto a fianco di studenti di classi prima, quarta e quinta primaria.
L’inserimento all’interno del MathPro test di due nuove consegne (Quadrati e Blocchi da costruzione) nell’ambito delle abilit`a visuo-spaziali `e stato per me suggerimento di un interessante approfondimento riguardante il ruolo che tali abilit`a hanno nell’apprendimento della matematica, la cui rilevanza `e conferma-ta da risulconferma-tati di studi precedenti in didattica della matematica e, ancor di pi`u, nell’ambito delle neuroscienze e della psicologia cognitiva. La stretta relazione fra le carenze matematiche dei bambini con MLD e la memoria di lavoro (Geary 2010), insieme allo spazio che le abilit`a visuo-spaziali occupano all’interno di quest’ultima, hanno fatto da input all’approfondimento oggetto del mio lavoro di tesi. Volendo indagare pi`u a fondo i processi di ragionamento visuo-spaziale attivati in alcune consegne del test, ho sottoposto alcuni studenti di quinta a interviste che mi hanno permesso di esaminare le difficolt`a che insorgono nel passaggio dalla bidimensionalit`a alla tridimensionalit`a.
Il capitolo che segue `e interamente dedicato all’esposizione degli elementi teorici a cui ho voluto volgere maggiore attenzione nelle suddette interviste, presentate dettagliatamente nel Capitolo 3.
1.4. IL MIO CONTRIBUTO AL MATHPRO TEST 21
Capitolo 2
Definizione del quadro
teorico di riferimento
Come accennato nel Capitolo 1, durante le interviste svolte per il presente studio ci si `e concentrati sull’osservazione di elementi legati alla capacit`a di visualizza-zione degli studenti, esaminandone il ragionamento condotto nel corso delle atti-vit`a in due e tre dimensioni proposte. Questo capitolo `e dedicato all’esposizione formale di tali fattori.
Nel primo paragrafo verranno definite e contestualizzate nell’ambito della geometria euclidea le abilit`a visuo-spaziali, origine del processo di visualizza-zione. Esso verr`a approfondito nel secondo paragrafo, facendone emergere la differenza con la mera visione degli oggetti. Si osserver`a, nel terzo paragrafo, come la visualizzazione influisca nel ragionamento spaziale, in particolare nel-l’abilit`a di perspective taking, rivelatasi determinante nella parte delle interviste dedicata allo svolgimento di attivit`a in tre dimensioni.
Si concluder`a discutendo la possibilit`a di sviluppare le abilit`a visuo-spaziali esposte, argomentando particolarmente il modo in cui l’utilizzo di materiale didattico possa incidere nell’andamento.
2.1
Le abilit`
a visuo-spaziali nell’ambito della
geo-metria euclidea
I temi della visualizzazione e del pensiero spaziale hanno iniziato ad essere ogget-to della ricerca in didattica della matematica a partire dagli anni ’80 del secolo scorso. Sebbene la psicologia abbia iniziato molto prima ad occuparsi del tema dell’immaginazione mentale, nel campo di nostro interesse risalgono agli anni ’90 studi che hanno coinvolto le abilit`a visuo-spaziali per comprendere come gli studenti percepiscono le figure geometriche e progrediscono nell’apprendimento della geometria. Fatta eccezione della teoria di van Hiele, pubblicata nel 1959,
risultati a cui si far`a spesso riferimento appartengono a Fischbein e Nachlieli (1993) e M. Mariotti (1996).
Uno studio recente sulle abilit`a visuo-spaziali (Miragliotta 2015) conferma il parallelismo fra le ricerche condotte in psicologia cognitiva e in didattica della matematica; ne consegue una non banale difficolt`a nel definire e classificare tali abilit`a, come mostrato di seguito.
2.1.1
Natura e classificazione delle abilit`
a visuo-spaziali
Le abilit`a visuo-spaziali costituiscono un eterogeneo complesso di abilit`a attinen-ti all’area non verbale. Ad oggi non `e possibile fornirne una definizione rigorosa a causa dell’eterogeneit`a delle ricerche; la loro individuazione `e il risultato di studi pi`u o meno correlati riguardo a processi spaziali e visivi, immaginario mentale, memoria di lavoro. La ricerca sulla cognizione spaziale, ad esempio, si `
e concentrata sia sullo spazio peripersonale del soggetto, che sulla conoscenza dell’ambiente in un contesto pi`u ampio. In generale, quest’ultima ha rinforzato l’idea di una stretta connessione fra il moto e i processi spaziali, mentre quel-la sulquel-la ricerca mentale di immagini ha sottolineato le requel-lazioni fra memoria e visualizzazione, o percezione e rappresentazione mentale.
Nonostante le difficolt`a sopracitate portino alla mancanza di un sistema con-solidato di classificazione delle abilit`a visuo-spaziali, Cornoldi e Vecchi (2003) hanno stilato un elenco che riassume quelle maggiormente studiate in letteratu-ra.
• Organizzazione visiva: abilit`a a organizzare pattern frammentari, in-completi o non completamente visibili.
• Scansione visiva pianificata: abilit`a a eseguire la scansione di una configurazione visiva rapidamente e in maniera efficiente per raggiungere un obiettivo specifico.
• Orientamento spaziale: abilit`a a percepire e richiamare un particola-re orientamento spaziale; esseparticola-re capaci di orientarsi genericamente nello spazio.
• Abilit`a visiva ricostruttiva: capacit`a di ricostruire un modello dato disegnandolo o utilizzando elementi di cui si dispone.
• Abilit`a di generare immagini: abilit`a a generare velocemente immagini mentali visuo-spaziali.
• Abilit`a a manipolare immagini: abilit`a a manipolare una immagine visuo-spaziale per trasformarla o analizzarla.
• Memoria sequenziale spaziale a breve termine: capacit`a di ricordare sequenze di posizioni diverse.
• Memoria simultanea a breve termine visuo-spaziale: abilit`a a ricordare posizioni diverse presentate simultaneamente.
2.1. LE ABILIT `A VISUO-SPAZIALI 25 • Memoria visiva: abilit`a a ricordare informazioni visive.
• Memoria spaziale a lungo termine: abilit`a a mantenere un’informa-zione spaziale per lunghi periodi di tempo.
Ogni processo di recupero della memoria a lungo termine, generazione, man-tenimento, manipolazione, scansione di immagini `e molto complesso e coinvolge pi`u di un’abilit`a.
2.1.2
Interpretazione di alcune abilit`
a visuo-spaziali
nel-l’ambito della geometria euclidea
Da un’analisi della letteratura si evince come la competenza geometrica sia il risultato di diverse abilit`a definite e studiate sia nell’ambito della didattica della matematica, come l’astrazione, la visualizzazione, il controllo concettuale su figure, sia nell’ambito della psicologia cognitiva, come la memoria e le abilit`a visuo-spaziali. Ricercatori in didattica della matematica, inoltre, suggeriscono che le abilit`a spaziali e l’immaginazione giochino un ruolo cruciale nel pensiero matematico e sono essenziali nel pensiero scientifico. Elisa Miragliotta (2015) nel suo studio dedicato alle abilit`a visuo-spaziali coinvolte nell’apprendimento della geometria, ne suggerisce un’interpretazione molto valida nell’ambito appunto, della geometria euclidea. Le seguenti si sono rilevate particolarmente importanti per il presente studio:
• Organizzazione visiva; • Scansione visiva pianificata; • Abilit`a visiva ricostruttiva; • Abilit`a di generare immagini; • Abilit`a di manipolare immagini;
• Memoria a breve termine spaziale sequenziale; • Memoria spaziale a lungo termine.
Organizzazione visiva
L’organizzazione visiva `e la capacit`a di riconoscere modelli incompleti o non perfettamente visibili. Essa sembra intervenire in compiti che prevedono il rico-noscimento di figure all’interno di altre. Ne sono due esempi il ricorico-noscimento dei due triangoli in cui resta diviso un parallelogramma dalle sue diagonali o dei quattro triangoli in cui resta diviso un parallelogramma dalle sue diagonali, e il riconoscimento di una una figura semplice in una figura complessa, come l’esagono in figura 2.2.
Figura 2.1: Parallelogrammi in cui sono evidenziati i triangoli generati dalle diagonali.
Figura 2.2: Esempio di un compito di visualizzazione in cui interviene l’organizzazione visiva.
Scansione visiva
La scansione visiva `e la capacit`a di riconoscere le propriet`a di una figura e le propriet`a invarianti di una classe di figure, sia statiche che in movimento e sembra intervenire nei compiti in cui `e necessario osservare o muovere una figura dinamica per riconoscerne le propriet`a. Sono riportati due esempi di questo compito; il primo richiede esclusivamente un’attenta osservazione della figura fornita, a differenza del secondo che, costruito in un ambiente di geometria dinamica, richiede esplicitamente il movimento della figura. In quest’ultimo (Baccaglini-Frank et al. 2017) per scansione visiva si intende la descrizione delle propriet`a di una figura ottenuta seguendo una “costruzione passo a passo”. Muovendone i vertici l’osservatore pu`o scoprire le propriet`a della figura che si mantengono durante la manipolazione.
Esempio 1 . Quanti triangoli ci sono in questa figura?
Figura 2.3: Figura da analizzare utilizzando la scansione visiva Esempio 2 - Esegui la seguente costruzione passo a passo:
2.1. LE ABILIT `A VISUO-SPAZIALI 27 • segmento DC;
• retta perpendicolare al segmento DC nel punto D; • punto A sulla retta perpendicolare;
• retta parallela a DC passante per il punto A; • punto B su tale parallela;
• segmento BC.
Descrivi il quadrilatero ABCD che hai ottenuto
Figura 2.4: Figura geometrica ottenuta dalla costruzione passo a passo
Abilit`a visiva ricostruttiva
L’abilit`a visiva ricostruttiva `e la capacit`a di giungere al modello richiesto auto-nomamente oppure a partire da indicazioni scritte o verbali o da figure parziali. Essa sembra intervenire nei compiti in cui `e richiesto di: progettare i passi della costruzione di una figura geometrica nota; completare i passi di una sequenza di istruzioni incompleta; seguire i passi di una costruzione gi`a scritta. L’abilit`a vi-siva ricostruttiva coinvolge la capacit`a di visualizzare correttamente le relazioni tra gli enti geometrici (ad esempio punti appartenenti a rette, rette perpendico-lari) seguendo i passi di una costruzione o elaborandone una autonomamente, attingendo al proprio bagaglio concettuale.
Abilit`a di generare immagini
L’abilit`a di generare immagini `e la capacit`a di produrre istantaneamente in men-te un’immagine e le sue propriet`a, recuperandola dalla memoria o elaborandola ex novo. Essa `e coinvolta, insieme alla memoria a lungo termine, nel recupero dei prototipi delle figure geometriche e delle propriet`a che possiedono, e inter-viene nei compiti in cui si richiede di visualizzare enti geometrici, ad esempio mentre si legge una costruzione passo a passo. Sembra intervenire, inoltre, in-sieme alla memoria a breve termine spaziale sequenziale nel riconoscimento di
particolari luoghi geometrici non visibili. Un esempio di tale compito pu`o esse-re il riconoscimento della circonfeesse-renza in cui `e sempre possibile inscrivere un quadrato.
Abilit`a di manipolare immagini
L’abilit`a di manipolare immagini `e la capacit`a di utilizzare le propriet`a di una figura o di una classe di figure, ovvero di controllare una figura tenendo conto delle relazioni tra gli enti geometrici che la compongono e delle propriet`a di cui gode. Essa `e coinvolta in compiti in cui si richiede di manipolare mentalmente una figura al fine di trasformarla in un’altra, come mostrato nell’esempio che segue.
Le seguenti immagini rappresentano tre sviluppi di una stessa figura geome-trica; quale?
Figura 2.5: Esempio di manipolazione di immagini
Memoria a breve termine spaziale sequenziale
La memoria a breve termine spaziale sequenziale `e coinvolta nella capacit`a di ricordare diverse configurazioni assunte da una figura o una sua parte durante una manipolazione osservata o immaginata. Inoltre essa `e richiamata, insieme all’abilit`a di generare immagini, in compiti in cui si richiede di riconoscere un particolare luogo geometrico. Come l’abilit`a di manipolare immagini, sembra coinvolta in compiti in cui si chiede di ricordare configurazioni assunte da una figura durante una manipolazione immaginata, ad esempio nel riconoscimento dei possibili sviluppi piani del cubo.
Memoria spaziale a lungo termine
La memoria spaziale a lungo termine `e coinvolta nella capacit`a di recuperare dalla memoria a lungo termine il prototipo di un ente geometrico o di una figura con le sue propriet`a.
2.2. VISIONE E VISUALIZZAZIONE 29
2.2
Visione e Visualizzazione
In matematica il concetto di visualizzazione si discosta da quello della mera vi-sione. Per comprendere tale differenza si cercheranno di definire separatamente i due processi inserendoli, successivamente nel contesto dell’apprendimento della matematica.
Come si `e detto all’inizio del paragrafo precedente, l’ambito di ricerca ri-guardante il pensiero visivo si `e rivelato molto dinamico fra gli anni Settan-ta e OtSettan-tanSettan-ta; ci`o ha avuto come conseguenza una inevitabile variabilit`a nella definizione di visualizzazione.
Arcavi nel 2003 band`ı ogni definizione data da autori a lui precedenti (Her-shkowitz 1989, Zimmermann and Cunningham 1991) e riassunse come segue:
La visualizzazione `e l’abilit`a, il processo e il prodotto di creazione, in-terpretazione, uso e riflessione su immagini, diagrammi, nelle nostre menti, su carta o con strumenti tecnologici, allo scopo di raffigurare e comunicare informazioni, pensare e sviluppare idee precedentemente sconosciute e comprensione avanzata.
(Arcavi 2003) Da un punto di vista psicologico, con il termine visione si fa riferimento alla percezione visiva. Essa fornisce accesso diretto ad ogni oggetto fisico; per-mette di cogliere contemporaneamente e in maniera immediata diversi oggetti o un intero insieme. In altre parole, essa permette di cogliere immediatamente ogni oggetto o situazione nella loro interezza. In questo senso, la visione `e l’op-posto della deduzione, che richiede una successione di azioni in cui `e necessario concentrarsi su singole affermazioni.
Raymond Duval (1999) ha delineato i motivi per cui la percezione visiva non soddisfa perfettamente la definizione di visualizzazione. La principale ragione ri-siede nel fatto che ci si trova in un mondo tridimensionale: solo un lato delle cose pu`o essere visto e l’apprendimento completo richiede il movimento del soggetto che sta osservando o dell’oggetto osservato. In ogni caso, questo movimento `e una trasformazione del contenuto percepito poich´e si ha una giustapposizione di visioni successive (frontale, profilo, dall’alto). In secondo luogo, poich´e la percezione visiva si concentra sempre su una parte specifica di un insieme di oggetti e pu`o spostarsi da una parte ad un’altra.
A differenza della visione, che fornisce accesso diretto all’oggetto, la visua-lizzazione si basa sulla produzione di una rappresentazione semiotica; ci`o rappresenta il punto di rottura tra la percezione visiva e la visualizzazione. Una rappresentazione semiotica non mostra le cose come sono nell’ambiente 3D o come possono essere fisicamente proiettate su un supporto materiale 2D di picco-le dimensioni. Essa mostra picco-le relazioni o, meglio, l’organizzazione delpicco-le relazioni tra le unit`a rappresentative (forme 1D o 2D, coordinate, proposizioni) e que-ste unit`a devono essere collegate bidimensionalmente affinch´e l’organizzazione risulti ovvia.
La visualizzazione, dunque, consente di ottenere immediatamente un’ac-quisizione completa di qualsiasi organizzazione di relazioni, al contrario della percezione visiva che ha bisogno di esplorazione attraverso i movimenti fisici.
Concludendo, la visualizzazione rende visibile tutto ci`o che non `e accessibile alla visione e per questo motivo i due processi non possono essere eguagliati.
2.2.1
La visualizzazione nell’apprendimento della
mate-matica
Come sostenuto da Duval e condiviso da ricercatori a lui successivi, compren-dere significa cogliere l’intera struttura di un ragionamento, per cui non pu`o esserci comprensione senza visualizzazione. Questo fa s`ı che l’importanza della visualizzazione sia trasversale ai diversi settori di studio.
Nell’apprendimento della matematica, in particolare, il ruolo della visualiz-zazione si rivela cruciale. Sulla base di quanto esposto nel paragrafo precedente `
e possibile affermare che la visualizzazione `e rappresentazione; da questa ca-ratterizzazione, unita al fatto che la matematica sia una disciplina che non consente di interagire direttamente con i suoi oggetti, bens`ı soltanto attraverso rappresentazioni, discende la suddetta importanza.
La visualizzazione in matematica mostra l’organizzazione delle relazioni, il legame fra un disegno e il sistema di propriet`a ed assiomi che lo riguardano. Avere accesso a tale sistema non `e immediato; come suggerito da Duval (1992), le figure geometriche e i grafici cartesiani, ad esempio, non sono accessibili in maniera diretta al pari di una rappresentazione iconica (ad es. un albero, una macchina). Ed `e qui che si riflette il gap fra le ricerche in psicologia e in didattica della matematica riguardanti le abilit`a visuo-spaziali. Questa non immediatezza dell’accesso agli oggetti geometrici (della geometria euclidea, specificatamente al livello scolastico) mostra che non `e sufficiente applicare le abilit`a visuo-spaziali definite dalla psicologia. L’ostacolo `e rappresentato dal controllo teorico sulle figure, ovvero dal mettersi in relazione con la geometria euclidea in maniera corretta.
Il risultato finale della visualizzazione in matematica `e “vedere le relazio-ni” che intercorrono fra oggetti geometrici. Si pu`o affermare, dunque, che la suddetta capacit`a consiste nell’afferrare direttamente l’intera configurazione di relazioni e nel distinguere ci`o che `e maggiormente rilevante in essa. Per questo `e necessario conoscere le propriet`a degli oggetti e le relazioni che intercorrono fra loro. Lo studio della disciplina, quindi, non si limita all’allenarsi a disegnarli; in contesto matematico si parla di costruzione e questo `e un processo che pone l’attenzione sequenzialmente sulle singole propriet`a delle unit`a in esame.
La linea di pensiero generale riguardo il ruolo della visualizzazione nell’ap-prendimento della matematica pone tale abilit`a al di sopra di tutte le altre, considerandola la modalit`a cognitiva di maggiore rilievo. Questa posizione `e mantenuta anche nell’ambito dell’insegnamento. Dreyfus (1991), ad esempio, sostiene che il ruolo della visualizzazione nell’insegnamento della disciplina pu`o e deve passare da utile sostegno all’apprendimento a strumento pienamente ri-conosciuto per l’acquisizione di conoscenze e la dimostrazione. Tuttavia, le
2.3. IL PENSIERO SPAZIALE E IL PERSPECTIVE TAKING 31 difficolt`a che si celano dietro il processo di visualizzazione non la rendono un supporto immediato e ovvio per la comprensione. Come suggerito ancora da Dreyfus, l’utilizzo di un ragionamento visivo genera un carico cognitivo mag-giore rispetto ad altri metodi di ragionamento, e ci`o spiegherebbe la riluttanza degli studenti nell’uso della visualizzazione in matematica.
2.3
Il pensiero spaziale e il perspective taking
La capacit`a di visualizzazione ha influenzato tanto le attivit`a bidimensionali quanto quelle tridimensionali proposte agli studenti durante le interviste svolte. Per comprendere come questo sia stato possibile, `e necessario analizzare pi`u da vicino il rapporto fra abilit`a spaziali e prestazioni in matematica.
Un noto ricercatore nell’ambito della didattica della matematica per l’infan-zia, Douglas H. Clements (1992), si `e dedicato con particolare attenzione allo studio delle abilit`a spaziali. L’analisi dei fattori da lui considerati gli ha per-messo di concludere che le persone dalle capacit`a spaziali ben sviluppate sono in grado di gestire meglio la posizione di oggetti nello spazio da diversi punti di vista e di manipolare immagini visive con maggiore dimestichezza (1979).
La caratterizzazione e la misura di questo tipo di abilit`a sono state molto dibattute nel corso degli anni. Bishop (1980), Harris (1981), McGee (1979) e Eliot (1987), ad esempio, riconoscono all’interno di attivit`a spaziali due fattori: l’orientazione spaziale e la visualizzazione spaziale.
• L’orientazione spaziale consiste nel capire e operare sulle relazioni che intercorrono fra le posizioni degli oggetti nello spazio rispetto alla propria posizione.
• La visualizzazione spaziale fa riferimento al comprendere e attuare movimenti immaginari di oggetti bidimensionali e tridimensionali nello spazio.
2.3.1
Il perspective taking
A caratterizzare fortemente l’orientazione spaziale `e il cosiddetto perspective taking, ovvero l’atto di percepire una situazione o di comprendere un concetto da un punto di vista diverso dal proprio. Uno dei pi`u interessanti studi volti ad analizzare il ragionamento dei bambini durante il cambiamento del punto di vista `e stato quello condotto da Jean Piaget. Particolarmente impegnato nell’ambito della psicologia dello sviluppo, Piaget ha studiato la capacit`a che si possiede in et`a infantile di tenere conto del punto di vista di qualcun altro. Quello che in psicologia `e noto come “esperimento delle tre montagne” , `e stato ideato dallo psicologo francese ma modificato e riproposto da diversi ricercatori dopo di lui.
Di seguito, oltre alla prova originale di Piaget, `e descritta la versione ideata da Martin Hughes, psicologo infantile ed educatore. Seguono considerazioni
sulle conclusioni che sono state tratte dalla somministrazione di entrambe le prove.
L’idea di Piaget
Per condurre questo studio Piaget ha utilizzato un plastico con 3 montagne, distinte l’una dall’altra per il colore e per alcuni particolari (la neve sulla prima, una casa in cima alla seconda, una croce rossa sulla sommit`a della terza). Il bambino viene fatto sedere a un lato del tavolo su cui si trova il plastico, quindi lo sperimentatore prende una bambina e la mette in un’altra posizione attorno al tavolo. La domanda a cui il bambino `e chiamato a rispondere `e: cosa vede la bambola? Poich´e fornire una descrizione verbale della situazione risulterebbe relativamente difficile per il bambino, a seconda della sua et`a, in una versione di questo esperimento gli viene fornita una serie di dieci fotografie del plastico scat-tate da angolazioni differenti e gli viene chiesto di scegliere quella che mostra ci`o che vede la bambola. In una seconda versione, invece, al bambino vengono date tre ”montagne” di cartone e gli viene chiesto di sistemarle in maniera che rap-presentino quello che si vedrebbe in un’istantanea scattata dalla posizione della bambola. Si `e osservato che i bambini di otto e nove anni non sono generalmente in grado di svolgere correttamente il compito, e vi `e una evidente tendenza tra i bambini al di sotto dei sei o sette anni a scegliere l’immagine (o a ricostruire il plastico) che rappresenta il proprio punto di vista, vale a dire esattamente ci`o che vedono con i propri occhi. I risultati ottenuti da Piaget gli hanno permesso di concludere che i bambini sono incapaci di “decentrare” con l’immaginazione. In particolare egli osserva che i bambini sono perfettamente a conoscenza del fatto che l’aspetto di un oggetto cambia quando ci camminiamo intorno, eppure essi sembrano essere bloccati da quello che egli chiama l’“illusione egocentrica” non appena sono chiamati a formare una rappresentazione mentale di una ve-duta che in realt`a non hanno mai visto. Ci`o che mancherebbe al bambino `e la capacit`a di pensare al proprio punto di vista momentaneo come uno fra tanti possibili punti di vista e di coordinare queste diverse possibilit`a in un unico sistema coerente, in maniera da comprendere i possibili modi in cui le diverse prospettive sono collegate fra loro.
L’idea di Hughes
Nella versione pi`u semplice di questo compito, vi sono due “muri” che si inter-secano a formare una croce e due pupazzetti che rappresentano rispettivamente un poliziotto e un ragazzo. Il poliziotto veniva inizialmente sistemato come in figura 2.6, in maniera che potesse vedere le aree indicate con B e D, mentre la vista delle aree A e C era impedita dal muro. La prova prevedeva una fase preliminare in cui il pupazzo raffigurante il ragazzo veniva sistemato nella se-zione A e veniva chiesto al bambino se il poliziotto potesse vedere il ragazzo dalla sua posizione. La stessa domanda veniva poi ripetuta per le sezioni B, C e D. Successivamente il poliziotto veniva sistemato sul lato opposto, di fronte al muro che divide A da c, e al bambino si chiedeva di nascondere il pupazzo in
2.3. IL PENSIERO SPAZIALE E IL PERSPECTIVE TAKING 33
Figura 2.6: Rappresentazione schematica dell’esperimento di Hughes vista dall’alto corrispondente al momento precedente all’introduzione del pupazzo raffigurante il ragazzo.
maniera che il poliziotto non potesse vederlo. Se il bambino compiva qualche errore in queste fasi preliminari, gli veniva fatto notare lo sbaglio e la domanda veniva ripetuta finch´e non arrivava alla risposta giusta. Il test vero e proprio iniziava al momento dell’introduzione di un altro poliziotto; i due presenti sulla scena venivano collocati come mostrato in figura 2.7. Al bambino veniva chiesto di nascondere il ragazzo alla vista di entrambi i poliziotti, risultato che si sareb-be potuto ottenere solo prendendo in considerazione e coordinando due diversi punti di vista. Versioni pi`u difficili della prova ideata da Hughes prevedevano l’utilizzo di tre poliziotti e la disposizione dei muri in maniera pi`u complessa.
Considerazioni finali
Al fine di trarre conclusioni considerevoli riguardo la capacit`a di perspective ta-king le due prove sono state sottoposte a bambini e adulti, dunque soggetti di fasce d’et`a completamente diverse. Risultati contrastanti hanno sollevato accesi dibattiti riguardo la capacit`a dell’individuo di “decentrare” un oggetto; in mo-tivazione al fatto che il compito di Hughes `e risultato in molti casi pi`u semplice da svolgere per i bambini, `e stata sollevata un’ipotesi relativa alla presenza di un aspetto “umano” poich´e la richiesta si baserebbe sulla comprensione di due intenzioni complementari di tipo molto elementare (fuggire e inseguire). Mar-garet Donaldson, impegnata nell’ambito della psicologia dello sviluppo, ha de-dicato diversi studi alla probabile evoluzione della capacit`a di perspective taking e conclude che la capacit`a di “decentrare” non si acquisisce mai totalmente.
Figura 2.7: Rappresentazione schematica dell’esperimento di Hughes relativa al momento dell’inserimento del secondo poliziotto.
In altre parole, l’“egogentrismo” si ritiene impossibile da superare completa-mente, dunque; non `e possibile porre limitazioni temporali che prevederebbero l’abbattimento di tale limite.
2.3.2
La visualizzazione nel pensiero spaziale
Il ragionamento spaziale `e posto in stretta connessione con la visualizzazione perch´e fortemente legato alla creazione di rappresentazioni semiotiche che la caratterizzano. Numerosi matematici ed educatori hanno suggerito, infatti, che l’abilit`a spaziale e l’immaginazione mentale (la cosiddetta mental imagery) svol-gono ruoli vitali nel pensiero matematico (Leonardo e Clements 1991, Wheatley 1990). Alla base di questa posizione c’`e il riconoscimento di due diversi modi di pensare in matematica: uno verbale-logico e un altro visivo-pittorico. La misura dell’equilibrio fra questi due diversi modi di pensare consentirebbe di individua-re il modo in cui un individuo opera su idee matematiche (Krutetskii 1976). In base al suddetto equilibrio si classificherebbero come “analitici” gli studenti che nelle attivit`a di problem solving prediliggono una linea di pensiero logico-verbale, “geometrici” coloro che preferiscono utilizzare schemi visivo-pittorici e ”armonici” quelli che non manifestano particolari preferenze fra le due moda-lit`a di ragionamento. E’ ampiamente datata (Yakimanskaya 1971) l’assunzione secondo cui il ramo della matematica svolta a livello scolastico che risente mag-giormente dell’influenza del pensiero spaziale `e la geometria; alla base dell’assi-milazione di concetti geometrici astratti vi `e, infatti, la visualizzazione, quindi quindi la creazione di rappresentazioni semiotiche dei diversi oggetti. Sempre Yakimanskaya fornisce un esempio di tale assunzione:
