Il presente studio ha fornito informazioni utili alla ricostruzione del ragionamen- to svolto dagli studenti durante le attivit`a di analisi di figure 2D e figure 3D presenti nel MathPro Test. Proponendo attivit`a simili a quelle del test svolto al computer, sono state individuate strategie di risoluzione molto diverse fra loro. Quelle che non hanno condotto alla risposta corretta sono state adoperate da
3.5. CONCLUSIONI E IMPLICAZIONI DIDATTICHE 63 studenti particolarmente deboli, e ci`o `e risultato in linea con la valutazione in matematica fornita a priori dall’insegnante.
Riguardo all’analisi di figure bidimensionali, si osserva preliminarmente che tutte le strategie non vincenti sono state adoperate da uno stesso studente le cui prestazioni in matematica sono state valutate come molto scarse; il fatto che egli abbia svolto ragionamenti diversi in risposta ad una stessa richiesta confermerebbe il giudizio espresso dall’insegnante. Le strategie in questione sono:
• Corrispondenza fra quadrati bianchi e lati di quadrati azzurri (Strategia 2)
• Conteggio celle colorate (Strategia 4) • Ricoprimento (Strategia 1A)
• Riempimento (Strategia 2A)
La corrispondenza creata dallo studente nella strategia 2 sembrerebbe basarsi sul considerare segmenti della griglia che rappresentano anche lati di quadrati azzurri; questo lo ha portato a contare i quadrati bianchi che circondano la figu- ra e a trascurare le porzioni di quadrato, dal momento che esse non riempiono una cella intera. Alla base di questo errore potrebbe esserci una insufficiente visualizzazione delle forme geometriche presenti nell’item. L’intervistato non `
e stato in grado di acquisire le informazioni che avrebbero consentito di visua- lizzare e gestire correttamente la figura rappresentata; sembrerebbe mancare totalmente l’attivazione del processo di decomposizione dimensionale che avreb- be permesso di individuare i singoli segmenti che compongono la figura, dunque di prendere consapevolezza del fatto che un segmento obliquo rappresenti la base del triangolo che compone per met`a un quadrato azzurro.
La strategia 4 confermerebbe l’ipotesi sollevata; contando indistintamente tutte le celle della griglia colorate in risposta alla domanda “Quanti quadratini azzurri possono essere costruiti in questa figura? ”, lo studente ha mostrato di non aver colto pienamente il significato della richiesta. La parola “costruire” non sembra essere stata interpretata nella maniera corretta e ci`o risulterebbe in linea con la non visualizzazione ipotizzata precedentemente: lo studente `e sembrato essere ben lontano dall’uso dell’idea di comporre fra loro figure geo- metriche che gli avrebbero consentito di ottenere un quadrato. Anche in questo caso, dunque, sono venute a mancare l’uso della scansione visiva della figura proposta e, conseguentemente, l’individuazione dei triangoli, quindi la loro pos- sibile unione.
Quanto detto non si riflette totalmente nella discussione degli errori che carat- terizzano la strategia 2A, in cui il soggetto riempie, per mezzo dell’artefatto, le celle della griglia colorate parzialmente. In questo caso sembra esserci coscienza del fatto che un quadrato sia formato da pi`u componenti, ma l’incertezza mostra- ta dallo studente durante l’intervista non gli ha consentito di trarre conclusioni esatte.
La strategia 1A, infine, `e la corrispondente della 4, adoperata nell’analisi del- lo stesso item al momento dell’introduzione dell’artefatto; l’azione del ricoprire qualsiasi cella colorata con pezzetti di plastica dalla forma quadrata `e coeren- te con la strategia utilizzata dallo studente nella prima parte dell’attivit`a. Gli errori che emergono dalle strategie adoperate durante l’analisi di figure tridimen- sionali sono legati esclusivamente all’individuazione del numero di blocchi cubici che compongono la figura; in ognuno dei casi lo studente comunica un numero di cubi minore di quello che realmente compone la figura. Indipendentemente dal modo in cui l’azione di conteggio sia svolta (strategie 2,3 e 4) l’esito risulta essere variabile, come si evince dalla tabella riassuntiva posta all’inizio del pa- ragrafo 3.4.2. A differenza del caso bidimensionale, per`o, `e lo studente stesso a rendersi conto dell’errore commesso; al momento della riproduzione della figura per mezzo dei cubetti di carta, considerazioni di carattere fisico gli permettono di concludere che il numero di cubi che gli occorrono `e maggiore di quello sup- posto all’inizio. Episodi di questo tipo permettono di affermare che l’utilizzo dell’artefatto pu`o far emergere il cosiddetto conflitto cognitivo Piagetiano, che induce lo studente a fornire due riposte diverse ad una stessa domanda.
Il presente studio ha permesso, inoltre, di esaminare il ragionamento condot- to dagli studenti durante l’elaborazione di richieste con e senza artefatto, valu- tarne eventuali differenze, quindi osservare l’eventuale coerenza fra le strategie risolutive adoperate.
Il materiale didattico si `e rivelato sempre di supporto all’azione. Nei casi in cui le strategie adoperate prima e dopo l’introduzione dell’artefatto si so- no mostrate in linea l’una con l’altra, lo studente ha avuto modo di fare uso (e mostrarlo, positivamente o negativamente) delle abilit`a visuo-spaziali esibite du- rante la prima parte dell’analisi. Ci`o, in particolare, `e quanto accaduto durante l’analisi di figure bisimensionali. Due sono i casi emblematici in cui il soggetto intervistato sostiene il proprio ragionamento con coerenza, attuando strategie che si rivelano vincenti, per`o, solo in uno di essi. Le coppie di strategie in que- stione sono Spostamento porzioni (strategia 3) e Composizione (strategia 3A), Conteggio celle colorate (strategia 4) e Ricoprimento (strategia 1A). Nel primo caso lo studente, dopo aver individuato perfettamente le porzioni di quadrato presenti in figura, ha immaginato di applicare traslazioni e rotazioni in modo da comporre l’intero; utilizzando i pezzetti di plastica forniti dall’intervistatore, ha mostrato quanto fatto a mente in precedenza ed `e giunto, quindi, a rispondere correttamente. Nel secondo caso, invece, lo studente ha risposto in maniera sbagliata alla domanda ”Quanti quadrati azzurri possono essere costruiti? ” non individuando i triangoli e ha proseguito, seppure con poca convinzione, sulla stessa linea di pensiero utilizzando l’artefatto, quindi coprendo con pezzetti di plastica quadrati anche le celle colorate parzialmente. Risulta chiaro che le abi- lit`a di organizzazione visiva tramite la manipolazione dell’artefatto e di memoria a lungo termine mostrate nel primo caso, vengono a mancare nel secondo.
La coerenza fra le strategie adoperate emersa nell’attivit`a in due dimensioni non si `e verificata nell’analisi di figure tridimensionali. La tabella riassuntiva 3.17 mostra come i cubi di carta adoperati nella seconda parte dell’analisi di
3.5. CONCLUSIONI E IMPLICAZIONI DIDATTICHE 65 figure 3-D abbiano sempre permesso allo studente di giungere alla risposta cor- retta. Ci`o `e accaduto anche quando la strategia di conteggio adoperata non si `
e rivelata vincente. La costruzione del modellino, quindi le operazioni di dispo- sizione dei cubi l’uno vicino all’altro e sull’altro, ha permesso all’intervistato di prendere consapevolezza dell’effettivo numero di blocchi necessari a riprodurre la figura, dunque di rendersi conto dell’eventuale errore commesso nel contare. L’azione verificatasi riflette chiaramente i benefici dell’uso di materiale didattico nell’apprendimento della geometria, esposti nel Capitolo 2.
Alcune considerazioni didattiche
Ponendo i risultati del presente studio all’interno del quadro teorico definito, emergono implicazioni didattiche degne di nota.
Da considerare con maggiore attenzione `e l’incoerenza delle risposte fornite dagli studenti prima e dopo l’utilizzo di artefatti. Il fatto che nella fase di utilizzo del materiale didattico lo studente si renda conto dell’errore commesso `
e estremamente importante e la rilevanza di questo fenomeno `e sottolineata da numerosi studi3 condotti nell’ambito della didattica della matematica.
I risultati ottenuti suggeriscono l’introduzione di artefatti ad alto poten- ziale durante l’insegnamento. Si sostiene, infatti, che l’utilizzo di questo tipo di supporto promuova la costruzione di significati matematici a mano a mano pi`u generali e astratti. L’introduzione di un singolo artefatto per mediare la costruzione di un significato complesso, tuttavia, non `e sufficiente.
Come sostenuto ampiamente da Raymond Duval, filosofo e psicologo de- dicatosi ampiamente a studi sull’apprendimento della matematica, imparare la disciplina significa costruire un’architettura cognitiva che include diversi registri di rappresentazione e la loro coordinazione. Nel caso specifico si parlerebbe di registri simbolico e figurale, e la mancanza di tale coordinazione spiegherebbe l’incoerenza delle risposte fornite dagli studenti. Un chiaro esempio risiede nello svolgimento di attivit`a in tre dimensioni, infatti quando gli studenti manipolano i cubetti di cartone (registro simbolico) danno la risposta corretta, contraria- mente a quanto accade dopo l’osservazione delle figure 3-D rappresentate su carta (registro figurale).
Interventi didattici proficui mirerebbero, dunque, a stimolare l’interazione dei diversi registri linguistici e conseguentemente a rendere lo studente in grado di sviluppare un ragionamento matematico coerente.
Gli ambienti di geometria dinamica di cui si dispone oggigiorno rappresen- tano degli ottimi strumenti per sviluppare tecniche didattiche di questo tipo. Attraverso le azioni che li caratterizzano (quali, ad esempio, il trascinamento
3Ne sono alcuni esempi: Geometry and Spatial Reasoning, Douglas H. Clements e Michael
T. Battista (1992); Images and Concepts in Geometrical Reasoning, M. Alessandra Mariot- ti (1995); Representation, Vision and Visualization: Cognitive Functions in Mathematical Thinking. Basic Issues for Learning, Raymond Duval (1999); Contribution of the visual per- ception and graphic production systems to the copying of complex geometrical drawings: A developmental study, Bouaziz e Magnan (2007); The use of virtual and concrete manipulatives in kindergarten school, Louiza Demetriou (2015); Understanding the Mathematical Way of Thinking - The Register of Semiotic Representations, Raymond Duval (2017).
e la rotazione) lo studente `e in grado di cogliere le propriet`a degli oggetti che non `e stato in grado di riconoscere al momento dell’osservazione della figura tridimensionale rappresentata su carta. La corretta visualizzazione delle figure, dunque, consetirebbe l’interazione fra i vari registri, come sostenuto da Duval:
[...]in altre parole, vedere un’immagine o un disegno richiede ma- tematicamente di cambiare l’aspetto della rappresentazione visiva sulla carta o sul monitor, senza modificare la rappresentazione data. (Raymond Duval 2017)
Appendice
Figura 3.3: Artefatti utilizzati per attivit`a in 2 dimensioni
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