Antoine Gombaud (1607-1684), detto Cavalier de Méré, fu uno

scrittore francese e accanito giocatore d'azzardo che pose uno dei primi problemi di calcolo delle probabilità al grande matematico francese Blaise Pascal (1623-1662).

Figura 2.6.1. Blaise Pascal (1623-1662).

Il Cavalier de Méré ripeteva volte il lancio di un dado scommettendo che la% faccia contrassegnata da si sarebbe verificata almeno una volta. In questo caso,' lo spazio fondamentale è dato da H œ H_" ‚â‚H_%, dove H₃ rappresenta lo spazio fondamentale relativo all' -esimo lancio. Supponendo che i lanci siano3 effettuati in modo indipendente, sia l'evento che non si sia verificata la facciaI₃ ' all' -esimo lancio. Quindi, se è l'evento che non si sia verificata la faccia a3 I ' nessun lancio, e considerando un'assegnazione equiprobabile per ogni lancio, si ha

T ÐIÑ œ T ÐI ‚ â ‚ I Ñ œ T ÐI Ñ œ ^& '

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 _{  .}

Dunque, la probabilità che la faccia contrassegnata da si sia verificata almeno' in un lancio è data da

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-%

Il gioco era quindi leggermente favorevole per il Cavalier de Méré, che aveva intuito questo risultato semplicemente dalla sua esperienza di giocatore d'azzardo senza ovviamente conoscere l'esatta probabilità. Ingenuamente, il Cavalier de Méré suppose che, dal momento che i possibili risultati nel lancio di due dadi sono (ovvero volte i risultati nel lancio del singolo dado), allora ripetendo$' ' % ‚ ' œ #% volte il lancio di dadi, sarebbe stato ugualmente favorevole# scommettere che “il doppio ” si sarebbe presentato almeno una volta. Tuttavia,' con grande sorpresa, il Cavalier de Méré si accorse empiricamente che la giocata non era favorevole e fu spinto a porre il problema a Pascal, che successivamente ebbe uno scambio epistolare con l'altro grande matematico francese Pierre de Fermat (1601 o 1607/8-1665), in cui viene ottenuta la corretta soluzione.

Figura 2.6.2. Pierre de Fermat (1601 o 1607/8-1665).

Formalmente, lo spazio fondamentale è dato da H œ H_" ‚â‚H_#%, dove in questo caso H₃ rappresenta lo spazio fondamentale relativo all' -esimo lancio3 congiunto dei due dadi e che quindi potrebbe essere considerato a sua volta uno spazio prodotto di due spazi fondamentali. Se rappresenta l'evento che non siI sia verificato “il doppio ” su nessun lancio congiunto dei due dadi,' considerando un'assegnazione equiprobabile per ogni lancio, allora si ha

T ÐIÑ œ T ÐI ‚ â ‚ I Ñ œ T ÐI Ñ œ ^$& $'

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Dunque, la probabilità che si sia verificato almeno in un lancio congiunto “il doppio ” è data da'

T ÐI Ñ œ "  ^$& ¶ !Þ%*" $'

-#%

  .

Come aveva intuito il Cavalier de Méré, il gioco era quindi leggermente sfavorevole. Resta comunque sorprendente come il Cavalier de Méré fosse giunto a queste conclusioni solo sulla base dell'esperienza fatta al tavolo di gioco. Il problema posto dal Cavalier de Méré viene considerato comunemente come il vero inizio della Teoria della Probabilità. Fra l'altro si deve notare che Pascal incoraggiò il grande matematico, astronomo e fisico Christiaan Huygens (1629-1695) a scrivere il trattato De ratiociniis in ludo aleae (1657), largamente basato sullo studio probabilistico del gioco dei dadi. 

Figura 2.6.3. Christiaan Huygens (1629-1695) e

frontespizio di De ratiociniis in ludo aleae (1657).

Esempio 2.6.3. La roulette è un gioco d'azzardo la cui introduzione è stata attribuita, almeno nella sua forma primitiva, a Blaise Pascal. Nella versione europea della roulette, detta di tipo Monte Carlo, il gioco è basato su un disco diviso in settori di uguale ampiezza e che sono numerati con i primi interi$( $' e con lo zero. Alternativamente, nella versione americana della roulette, detta di tipo Las Vegas, il disco è diviso in $) settori di uguale ampiezza e che sono numerati con i primi $' interi, con lo zero e con il cosiddetto doppio zero. I settori sono colorati alternativamente in rosso e nero, mentre lo zero, così come il doppio zero quando è presente, sono normalmente colorati di verde. Il gioco consiste nel far ruotare il disco dal gestore del banco (il cosiddetto croupier), che successivamente vi lancia una pallina. La pallina viene fatta ruotare in senso

opposto a quello della roulette e il numero vincente è quello relativo al settore in cui cade la pallina. Le puntate vengono effettuate su un tavolo verde, su cui sono riportati i numeri della roulette, oltre a varie possibilità di differenti scommesse.

Figura 2.6.4. Disposizione dei numeri sulla roulette

e sul tavole verde per una roulette di tipo Monte Carlo.

Ad esempio, si può scommettere su Pair ou Impair, ovvero che il numero uscito sia pari o dispari, su Manque ou Passe, ovvero che sia uscito un numero da a" ") o un numero da a , o su "* $' Rouge ou Noir, ovvero sul colore del numero uscito. Esistono ulteriori possibilità di scommessa, che sono usualmente definite con termini specifici nel linguaggio caratteristico del giocatore d'azzardo. Ovviamente, la procedura viene ripetuta numerose volte durante una serata di gioco. Anche se apparentemente è possibile considerare alla roulette una pluralità di differenti scommesse, in generale il gioco può essere riportato allo schema delle prove ripetute introdotto nell'Esempio 1.5.2. Ad esempio, se si decide di puntare sul rosso durante la serata di gioco, allora si ha in effetti uno schema di Bernoulli basato su ripetizioni di un esperimento aleatorio con esito5 dicotomico (si veda l'Esempio 1.5.2), ognuna delle quali con spazio fondamentale H₃ œ Ö= =_"ß _#×, dove è il risultato che rappresenta l'uscita di un=_" numero colorato in rosso, mentre =_# è il risultato che rappresenta l'uscita di un numero colorato in nero o dello zero. Supponendo che il croupier sia onesto e la

roulette sia bilanciata, si può considerare l'assegnazione di probabilità

T ÐÖ₃ =_"× œ ")Î$(Ñ e T ÐÖ₃ =_#× œ "*Î$(Ñ sullo spazio fondamentale H₃. Dal momento che lo spazio fondamentale prodotto ha cardinalità finita, la misuraH di probabilità prodotto si ottiene probabilizzando i T #⁵ eventi elementari ÖÐ=_4"ßá ß=₄₅Ñ× di H, ovvero

T ÐÖÐ=_4"ßá ß=₄₅Ñ×Ñ œ T ÐÖ=₄₃×Ñ

3œ" 5

3 ,

dove 4₃ œ "ß # e 3 œ "ß á ß 5. Per un approfondimento delle strategie di gioco ottimali alla roulette (nel senso di strategie che permettono di limitare le perdite) si consideri la trattazione di Billingsley (1995, p.92). Si noti che nelle case da gioco europee la precedente assegnazione di probabilità può risultare modificata dalla possibilità di recuperare almeno in parte la giocata quando si presenta lo zero (mediante le regole basate su la partage o en prison) e che nel presente esempio non è stata adottata per semplicità di esposizione. 

2.7. Lemma di Borel-Cantelli e Legge zero-uno di

Kolmogorov

In questa Sezione vengono considerati alcuni risultati molto celebrati che riguardano successioni di eventi. Il seguente Lemma, che è fondamentale per ottenere risultati teorici di convergenza, è dovuto al probabilista italiano Francesco Paolo Cantelli (1875-1966) e al già citato Émile Borel.