Si consideri uno spazio fondamentale che contiene una infinità

I 8 8

" = .

Si noti che, in caso di spazi fondamentali che contengono un'infinità numerabile di risultati, non è possibile assegnare a ciascun evento elementare la stessa probabilità :  !. In questo modo, infatti, non converge la serie _8œ"∞ :. Viceversa, assegnando : œ ! ad ogni evento elementare, la serie in questione converge ma risulta T ÐHÑ œ !. In effetti, in questo caso l'equiprobabilità degli eventi elementari risulta possibile solo quando la misura di probabilità non è -5 additiva, ma semplicemente additiva.

Esempio 2.3.2. Si consideri uno spazio fondamentale che contiene una infinità

numerabile di risultati, ovvero H œ Ö= =_"ß _#ß á × e si supponga di considerare per ogni I − Y, l'applicazione . YÀ È Ò!ß ∞Ò tale che

.ÐI œ ^{ÐI ∩ E Ñ} 5 Ñ lim 5 5 card ,

dove E œ Ö₅ =_"ß á ß=₅×. L'applicazione rispetta l'assioma della . iÑ Definizione 2.1.2 in quanto, trattandosi del limite di un rapporto tra quantità non negative, risulta .ÐI   !Ñ per ogni I − Y. Inoltre, l'applicazione rispetta anche. l'assioma della Definizione 2.1.2, in quanto cardiiÑ Ð ∩ EH ₅Ñ œ 5 e quindi

. HÐ œ ^{Ð ∩ E ÑH} œ " 5 Ñ lim 5 5 card .

Tuttavia, l'applicazione non rispetta l'assioma . iiiÑ della Definizione 2.1.2. Infatti, per un evento elementare Ö=₈× si ha cardÐÖ=₈× ∩ E₅Ñ œ ! se 8 œ 5  "ß 5  #ß á, e cardÐÖ=₈× ∩ E₅Ñ œ " se 8 œ "ß á ß 5, per cui

. =ÐÖ × œ ^{ÐÖ= × ∩ E Ñ} œ ! 5 8 5 8 5 Ñ lim ^card ,

ovvero assegna la stessa probabilità . : œ ! ad ogni evento elementare e dal momento che  8œ" ∞ 8 . =ÐÖ × œ !  Ð Ñ œ "Ñ . H ,

l'applicazione non è -additiva. L'applicazione risulta invece finitamente. 5 . additiva, ovvero dati eventi incompatibili 8 ÐI Ñ_{3 3œ"}⁸ − Y, si ha

. . ^  ^   3œ" 8 3 5 3œ" 8 3 5 3œ" 3œ" 8 8 5 3 5 3 I œ ^{Ð ÐI ∩ E ÑÑ} 5 œ ^{ÐI ∩ E Ñ} œ ÐI Ñ 5 lim lim card card , dal momento che

card^  ^card .

3œ" 3œ"

8 8

3 5 3 5

ÐI ∩ E Ñ œ ÐI ∩ E Ñ

Si noti che se I œ Ö= =_#ß _%ß á ×, allora si ha .ÐI œ "Î#Ñ , mentre se I œ Ö= =_$ß _'ß á ×, allora risulta .ÐI œ "Î$Ñ .  Infine, se è non numerabile, in genere si sceglie un'opportuna classe inizialeH di eventi e si assegna la probabilità X T ÐIÑ a ciascun evento I − X in modo da soddisfare i tre assiomi della Definizione 2.1.2. In questo caso, se la classe iniziale è scelta appropriatamente, si può infatti dimostrare che esiste una sola estensione di da alla -algebra T X 5 5 XÑÐ . In altri termini, esiste un solo modo di assegnare le probabilità agli eventi di 5 XÐ Ñ in modo da rispettare gli assiomi e senza modificare le probabilità assegnate agli eventi di . Questo implica inX pratica che, una volta probabilizzati gli eventi di , risultano probabilizzatiX univocamente anche tutti gli eventi di Y œ Ð5 XÑ (si veda Dudley, 2004, p.91). Si noti che esistono eventi a cui non è possibile assegnare una probabilità, anche se la costruzione di tali eventi è molto laboriosa e richiede addirittura l'Assioma della Scelta (si veda Dudley, 2004, p.105).

Esempio 2.3.3. Si consideri lo spazio fondamentale H œ Ó!ß "Ó. In modo simile all'Esempio 1.4.3, la -algebra può essere costruita a partire dalla classe 5 Y X degli eventi del tipo Ó+ß ,Ó, dove ! Ÿ + Ÿ , Ÿ ". In questo caso, si può verificare che

T ÐÓ+ß ,ÓÑ œ ,  +

è una misura di probabilità su che ha un'unica estensione a X Y œ Ð Ñ (si veda5 X Dudley, 2004, p.94). Dunque, tenendo presente l'Esempio 1.4.3, in base al Teorema 2.2.10 si ha T ÐÒ+ß ,ÓÑ œ T Ó+  8 ß ,Ó œ T ÐÓ+  8 ß ,ÓÑ œ Ð,  +  8 Ñ œ T ÐÓ+ß ,ÓÑ lim  lim lim 8 8 " " 8 " . In modo analogo, si ha T ÐÓ+ß ,ÓÑ œ T ÐÒ+ß ,ÓÑ œ T ÐÒ+ß ,ÒÑ œ T ÐÓ+ß ,ÒÑ .

Inoltre, si ha T ÐÖ+×Ñ œ T ÐÒ+ß +ÓÑ œ !, ovvero tutti gli eventi elementari hanno probabilità nulla. Di conseguenza, anche un'unione numerabile di eventi elementari ha probabilità nulla. In generale, mediante le proprietà viste nella Sezione 2.2, si possono ottenere le probabilità di tutti gli eventi ottenibili da un insieme numerabile di operazioni insiemistiche sugli eventi del tipo Ó+ß ,Ò Ó+ß ,Ó, , Ò+ß ,Ò Ò+ß ,Ó e , ovvero si possono ottenere le probabilità di tutti gli eventi di . Y 

Figura 2.3.2. Henri Léon Lebesgue (1875-1941).

Nella Sezione 1.4 è stato visto che la -algebra di Borel su può essere5 ‘ costruita a partire dalle classi di intervalli del tipo Ó+ß ,Ó. Nella Teoria della

Misura, la misura che assegna la lunghezza ad ogni intervallo - Ó+ß ,Ó di ,‘ ovvero -ÐÓ+ß ,ÓÑ œ ,  +, è detta misura di Lebesgue. Le basi della Teoria della Misura, che hanno permesso l'approccio assiomatico alla Teoria della Probabilità da parte di Kolmogorov, sono state appunto introdotte dal matematico francese Henri Léon Lebesgue (1875-1941) nella sua tesi di laurea Intégrale, Longueur,

Aire (1902) sviluppata sotto la supervisione di Émile Borel.

Infine, una volta costruito lo spazio probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ si dice che un evento I si verifica quasi certamente (;Þ-Þ) rispetto a T se T ÐIÑ œ ". Analogamente, nel linguaggio della Teoria della Misura, si dice che una proprietà è valida quasi ovunque (;Þ9Þ) rispetto alla misura di Lebesgue se la proprietà è verificata eccetto che su insieme di misura di Lebesgue nulla.

Esempio 2.3.4. Dato lo spazio fondamentale H œ Ó!ß "Ó e la misura di probabilità T dell'Esempio 2.3.3, si consideri l'evento I œ H∩ , dove rappresenta l'insieme dei numeri razionali. Dunque, è l'insieme dei numeri razionali inI Ó!ß "Ó. Dal momento che cardÐIÑ œ cardÐ Ñ , allora l'evento è una unioneI numerabile di eventi elementari. Di conseguenza, si ha T ÐIÑ œ ! anche se l'insieme è denso in I Ó!ß "Ó. Quindi, l'evento I^- si verifica ;Þ-Þ 

Figura 2.3.3. Georg Cantor (1845-1918) e

le prime cinque iterazioni per la costruzione dell'insieme di Cantor.

Esempio 2.3.5. Dato lo spazio fondamentale H œ Ó!ß "Ó e la misura di probabilità T dell'Esempio 2.3.3, si consideri l'evento di costruito in modo iterativoI H come segue. Si rimuove l'intervallo centrale Ó"Î$ß #Î$Ò da , ottenendo l'eventoH

per cui risulta T ÐI_"Ñ œ #Î$. Successivamente, si rimuove l'intervallo centrale da Ó!ß "Î$Ó Ò#Î$ß "Ó e , ottenendo l'evento

I œ Ó!ß "Î*Ó ∪ Ò#Î*ß "Î$Ó ∪ Ò#Î$ß (Î*Ó ∪ Ò)Î*ß "Ó_# ,

per cui risulta T ÐI_#Ñ œ %Î*. Continuando il procedimento, alla -esima8 iterazione l'evento I₈ è composto dall'unione di intervalli disgiunti, per cui si#⁸ ha T ÐI₈Ñ œ # Î$^{8 8}. Si consideri dunque l'evento I œ _8œ"^∞ I₈, che nel linguaggio di Teoria della Misura è detto insieme di Cantor. In effetti, questo insieme è stato introdotto dal matematico tedesco Georg Cantor (1845-1918), uno dei padri fondatori della Teoria degli Insiemi. Si noti che I_8" § I₈ e quindi la successione di eventi è decrescente, per cui, tenendo presente il Teorema 2.2.10, si ha T ÐIÑ œ T I œ T ÐI Ñ œ ^# œ ! $ ^  8œ" ∞ 8 8 8 8 8 8 lim lim .

Dal momento che si può dimostrare che è non numerabile (si veda Dudley,I 2004, p.105), allora è un evento di probabilità nulla che contiene un'infinitàI non numerabile di risultati. In altre parole, l'evento I^- si verifica ;Þ-Þ 

2.4. Probabilità condizionata

Dato lo spazio probabilizzato Ð ßH Yß TÑ, supponiamo che si sia verificato l'evento I −_! Y. Alla luce di questa nuova conoscenza, è ovvio che lo spazio fondamentale si riduce. I risultati possibili, infatti, non sono più tutte le eventualità che compongono H, ma solo le eventualità che compongono I_!. Risultano dunque impossibili, e dovranno quindi avere probabilità nulla, tutti gli eventi di che sono incompatibili con Y I_!, mentre risulta certo, e dovrà quindi avere probabilità unitaria, l'evento I_!. In pratica, le probabilità dovranno essere riassegnate su in modo da rispettare questi vincoli.Y

Definizione 2.4.1. Sia Ð ßH Yß TÑ uno spazio probabilizzato. Se Iß I −_! Y e T ÐI_!Ñ  !, la probabilità condizionata di dato I I_! è data da

T ÐI ± I œ ^{T ÐI ∩ I} T ÐI ! ^! ! Ñ ^Ñ Ñ . 

Si noti che se T ÐI_!Ñ œ !, la probabilità condizionata non è definita. Al variare di I in Y, la probabilità condizionata T ÐI ± I_!Ñ descrive una misura di probabilità T Ð † ± I_!Ñ che è coerente con i tre assiomi della probabilità, come risulta del seguente Teorema.

Teorema 2.4.2. Sia Ð ßH Yß TÑ uno spazio probabilizzato. Se I −_! Y e

T ÐI_!Ñ  !, allora T Ð † ± I_!Ñ è una misura di probabilità su .Y

Dimostrazione. Occorre dimostrare che T Ð † ± I_!Ñ soddisfa i tre assiomi della Definizione 2.1.2. Per ogni I − Y

T ÐI ± I œ ^{T ÐI ∩ I}   ! T ÐI ! ^! ! Ñ ^Ñ Ñ ,

in quanto T ÐI ∩ I_!Ñ   !, mentre T ÐI_!Ñ  ! per ipotesi. Inoltre, T Ð ± I œ ^{T Ð ∩ I} œ ^{T ÐI} œ " T ÐI T ÐI H _! ^{H ! !} ! ! Ñ ^{Ñ Ñ} Ñ Ñ .

Infine, data successione di eventi incompatibili ÐI Ñ_{8 8 "} − Y, si ha

T I ± I œ ^{T Ð I ∩ I Ñ} œ ^{T Ð ÐI ∩ I ÑÑ} T ÐI T ÐI œ ^{T ÐI ∩ I Ñ} œ T ÐI ± I T ÐI ^  ^{ }   8œ" ∞ 8 ! ^{8œ" 8œ"} ∞ ∞ 8 ! 8 ! ! ! 8œ" ∞ 8 ! ! _8œ" ∞ 8 ! Ñ Ñ Ñ ^{Ñ ,}

in quanto ÐI ∩ I Ñ_{8 ! 8 "} è una successione di eventi incompatibili.  Dalla definizione di probabilità condizionata segue il cosiddetto Principio

delle Probabilità Composte, il quale permette di esprimere la probabilità

dell'intersezione di due eventi I ß I −_{" #} Y nel seguente modo T ÐI ∩ I_{" #}Ñ œ T ÐI ± I T ÐI_{# "}Ñ _"Ñ o, alternativamente, come

T ÐI ∩ I_{" #}Ñ œ T ÐI ± I T ÐI_{" #}Ñ _#Ñ .

Il Principio delle Probabilità Composte può essere applicato in modo ricorsivo per determinare la probabilità dell'intersezione di più di due eventi. Per esempio, la probabilità dell'intersezione di tre eventi I ß I ß I −_{" # $} Y risulta

T ÐI ∩ I ∩ I œ T ÐÐI ∩ I ∩ I Ñ œ T ÐI ± I ∩ I T ÐI ∩ I œ T ÐI ± I ∩ I T ÐI ± I T ÐI

" # $ " # $ $ " # " # $ " # # " "

Ñ Ñ Ñ Ñ

Ñ Ñ Ñ .

In generale, dati eventi 8 ÐI Ñ_{3 3œ"}⁸ − Y, si verifica per induzione che la probabilità della loro intersezione risulta

T^ I  œ T ÐI ± I ∩ I ∩ á ∩ I á T ÐI ± I T ÐI

8œ" ∞

8 8 " # 8"Ñ # "Ñ "Ñ .