Variabili e vettori aleatori
3.2. Proprietà della funzione di ripartizione
o, in forma più concisa, da
J ÐBÑ œ " ÐBÑ ÐBÑ Þ #
\ "Ò!ß"Ò "Ò"ß∞Ò
Il grafico di J\ è riportato nella Figura 3.1.1.
0.0 0.5 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figura 3.1.1. Funzione di ripartizione relativa alla legge di Bernoulli.
3.2. Proprietà della funzione di ripartizione
Per quanto detto nella Sezione 3.1, risulta evidente che la descrizione probabilistica della v.a. è incentrata sulle caratteristiche della corrispondente\ f.r. Sulla base della definizione, è quindi conveniente ricavare alcune proprietà relative alla f.r.
Teorema 3.2.1. Se J\ è la f.r. relativa alla v.a. definita sullo spazio\
probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ, si ha ! Ÿ J ÐBÑ Ÿ "\ per ogni B − ‘.
Dimostrazione. Per definizione, risulta J ÐBÑ œ T Ð\ Ÿ BÑ\ , dove
Ö\ Ÿ B× − Y e quindi ! Ÿ T Ð\ Ÿ BÑ Ÿ ".
Teorema 3.2.2. Se J\ è la f.r. relativa alla v.a. definita sullo spazio\
Dimostrazione. Occorre dimostrare che se B C, allora J\ÐBÑ Ÿ J\ÐCÑ. Per definizione si ha J ÐBÑ œ T Ð\ Ÿ BÑ\ e J ÐCÑ œ T Ð\ Ÿ CÑ\ . Inoltre, se = − Ö\ Ÿ B× deve risultare = − Ö\ Ÿ C×. Dunque, si ha Ö\ Ÿ B× § Ö\ Ÿ C×, e dal Teorema 2.2.3 si ottiene infine che T Ð\ Ÿ BÑ Ÿ T Ð\ Ÿ CÑ.
Teorema 3.2.3. Se J\ è la f.r. relativa alla v.a. definita sullo spazio\
probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ, allora limBÄ∞ \J ÐBÑ œ ! e limBÄ∞ \J ÐBÑ œ ".
Dimostrazione. Si ha
lim lim lim
BÄ∞J ÐBÑ œ\ BÄ∞T Ð\ Ÿ BÑ œ 8 T ÐI Ñ8 ,
dove ÐI Ñ8 8 " è una successione decrescente di eventi il cui generico elemento è dato da I œ Ö\ Ÿ 8×8 . Dunque, tenendo presente il Teorema 2.2.10 e la definizione di limite di successione decrescente di eventi, risulta
lim 8 8 8 8œ" ∞ T ÐI Ñ œ TlimI œ T I œ T ÐgÑ œ ! 8 8 . In modo analogo, si ha
lim lim lim
BÄ∞J ÐBÑ œ\ BÄ∞T Ð\ Ÿ BÑ œ 8 T ÐI Ñ8 ,
dove ÐI Ñ8 8 " è una successione crescente di eventi il cui generico elemento è dato da I œ Ö\ Ÿ 8×8 . Dunque, risulta
lim BÄ∞ 8œ" ∞ 8 J ÐBÑ œ T\ I œ T Ð Ñ œ "H .
Teorema 3.2.4. Se J\ è la f.r. di una v.a. definita sullo spazio\
probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ, allora J\ è continua a destra.
Dimostrazione. Per ogni B − ‘, si deve dimostrare che per & ! si ha lim
&Ä!J ÐB Ñ œ J ÐBÑ\ & \ , ovvero che
lim
&Ä!T Ð\ Ÿ B Ñ œ T Ð\ Ÿ BÑ& . Per un dato B − ‘, si consideri che
lim lim
&Ä!T Ð\ Ÿ B Ñ œ& 8 T ÐI Ñ8 ,
dove ÐI Ñ8 8 " è una successione decrescente di eventi il cui generico elemento è dato da I œ Ö\ Ÿ B 8 ×8 " . Tenendo presente il Teorema 2.2.10 e la definizione di limite di successione decrescente di eventi, si ha
lim
8 8 8
8œ" ∞
T ÐI Ñ œ T I œ T Ð\ Ÿ BÑ ,
da cui segue la tesi.
Teorema 3.2.5. Sia J\ la f.r. di una v.a. definita sullo spazio\
probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ e per & ! sia
˜J ÐBÑ œ\ J ÐB Ñ \ J ÐB Ñ œ J ÐBÑ \ \ J ÐB Ñ\
Ä! Ä! Ä!
lim lim lim
& & & & & & ,
ovvero ˜J ÐBÑ\ rappresenta l'ampiezza del salto di J ÐBÑ\ nel punto . Si haB
˜J ÐBÑ œ T Ð\ œ BÑ\ .
Dimostrazione. Risulta
lim lim lim
&Ä!J ÐB Ñ œ\ & &Ä!T Ð\ Ÿ B Ñ œ& 8 T ÐI Ñ8 ,
dove ÐI Ñ8 8 " è una successione crescente di eventi il cui generico elemento è dato da I œ Ö\ B 8 ×8 " . Inoltre, dal Teorema 2.2.10 e dalla definizione di limite di successione crescente di eventi, risulta
lim 8 8 8 8œ" ∞ T ÐI Ñ œ T I œ T Ð\ BÑ , da cui ˜J ÐBÑ œ T Ð\ Ÿ BÑ T Ð\ BÑ œ T Ð\ œ BÑ\ .
Teorema 3.2.6. Sia J\ la f.r. di una v.a. definita sullo spazio\
probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ. L'insieme di punti di discontinuità di J\ è numerabile.
M œ ÓB J ÐB Ñß J ÐBÑÒ
Ä!
lim
& \ & \ ,
dove & !. Se è un ulteriore punto di salto tale che C B C, allora dal Teorema 3.2.2 si ha
J ÐBÑ Ÿ\ limJ ÐC Ñ\
&Ä! & ,
per cui gli intervalli e sono disgiunti. Quindi, l'insieme dei punti di saltoMB MC può essere messo in corrispondenza biunivoca con un insieme di intervalli disgiunti, che per il Teorema 3.2.1 sono sottoinsiemi dell'intervallo Ò!ß "Ó. Quest'ultimo insieme è necessariamente numerabile, dal momento che ogni intervallo dell'insieme contiene almeno un numero razionale. Dunque, l'insieme dei punti di salto è in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme dei numeri
razionali e quindi è numerabile.
Si può quindi concludere che la f.r. J\ di una v.a. non è continua a sinistra\ e che risulta continua a se e solo se B T Ð\ œ BÑ œ !, mentre l'insieme dei punti di discontinuità, ovvero l'insieme dei punti di probabilità non nulla, deve essere finito o al più numerabile.
Risulta possibile verificare che in generale ogni f.r. J\ può essere espressa in modo unico come la combinazione convessa di tre tipi fondamentali di f.r., ovvero
J œ\ α.J . α+-J +- α= =J ,
dove α α.ß +-ßα= ! e α. α+- α= œ " (si veda Chung, 2001, p.1). In questo caso, è una f.r. costante a tratti con un insieme numerabile di punti di salto edJ. è detta f.r. discreta. Formalmente, J. è una f.r. discreta se esiste un insieme numerabile , tale che W T Ð\ œ BÑ ! solo se B − W, per cui si ha
J ÐBÑ œ. Ð?ÑT Ð\ œ ?Ñ
?−W
Ó∞ßBÓ
" .
Inoltre, J+- è una f.r. assolutamente continua, ovvero esiste una classe di funzioni non negative, il cui generico elemento è indicato con 0\, che coincidono ;Þ9Þ rispetto alla misura di Lebesgue, integrabili su rispetto alla‘ misura di Lebesgue, e per cui si ha
J ÐBÑ œ+- 0 Ð?Ñ .?
∞ B
Infine, J= è una f.r. singolare, se non è identicamente nulla e se la derivata J=w esiste ed è nulla ;Þ9Þ Una f.r. singolare è continua, ma non è assolutamente continua e non ammette la precedente rappresentazione integrale.
Risulta immediato verificare che una v.a. discreta, come definita nella Sezione 3.1, possiede una f.r. del primo tipo. Inoltre, una v.a. è detta assolutamente
continua se possiede una f.r. del secondo tipo. Infine, una v.a. è detta singolare
se possiede una f.r. del terzo tipo. Una v.a. è detta mista se possiede una f.r. che è data da una combinazione convessa di almeno due tipi di f.r. Proprietà ed esempi specifici di v.a. discrete e assolutamente continue saranno discusse a lungo nel presente capitolo e nei prossimi capitoli. Al contrario, v.a. singolari sono poco impiegate nella pratica e non saranno ulteriormente considerate. Tuttavia, si noti che questo tipo di v.a. riveste un'importanza notevole nelle strategie di gioco ottimali in giochi d'azzardo quale la roulette. Questi argomenti sono considerati in grande dettaglio da Billingsley (1995, p.101).
Esempio 3.2.1. Si consideri la v.a. con f.r. data da\ J ÐBÑ œ ! B ! B ! Ÿ B " " B " \ o, in forma più concisa, da
J ÐBÑ œ B\ "Ò!ß"ÒÐBÑ "Ò"ß∞ÒÐBÑ Þ Dal momento che
J ÐBÑ œ\ Ð?Ñ .?
∞ B
Ó!ß"Ò
" ,
allora è una v.a. assolutamente continua. Evidentemente, in questo caso si è\ scelto 0\ÐBÑ œ "Ó!ß"ÒÐBÑ, anche se sarebbe stata ugualmente corretta una scelta del tipo 0\ÐBÑ œ "Ó!ß"ÒÏÐBÑÞ In effetti, le due scelte coincidono ;Þ9Þ, dal momento che l'insieme dei numeri razionali in Ó!ß "Ò è numerabile e la sua misura di Lebesgue risulta nulla. La legge associata a questa v.a. si ottiene per una particolare parametrizzazione della cosiddetta legge Uniforme, che a sua volta è un caso particolare della legge Beta, che sarà considerata in dettaglio nella Sezione 6.9. Il grafico della f.r. considerata è riportato nella Figura 3.2.1.
0.0 0.5 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figura 3.2.1. Funzione di ripartizione relativa alla legge Uniforme. Esempio 3.2.2. Si consideri la v.a. con f.r. data da\
J ÐBÑ œ ! B ! ! Ÿ B " " B " \ #B" %
o, in forma più concisa, da
J ÐBÑ œ #B " ÐBÑ ÐBÑ Þ % \ "Ò!ß"Ò "Ò"ß∞Ò 0.0 0.5 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Si noti che
J ÐBÑ œ " J ÐBÑ " J ÐBÑ
# #
\ . +- ,
dove J. è la f.r. discreta considerata nell'Esempio 3.1.2, mentre J+- è la f.r. assolutamente continua considerata nell'Esempio 3.2.1. Dunque, è una v.a.\ mista. Il grafico della f.r. considerata è riportato nella Figura 3.2.2.