Indipendenza di variabili aleatorie

"B Ó!ß"Ò ^$ Ó!ß"Ò # #  " " .

La legge associata al v.v.a. è legata alla legge di Dirichlet, mentre le leggi\ associate alle v.a. \_" e \_# si hanno per particolari parametrizzazioni della legge

Beta (si veda Sezione 6.12). 

Esempio 3.5.3. Si consideri il v.v.a. \ œ Ð\ ß \ Ñ_{" #} ^T che possiede f.r.c. J ÐB ß B Ñ œ_{\ " #} minÐB ß B Ñ_{" #} "_Ò!ß"ÓÐminÐB ß B ÑÑ _{" #} "_Ó"ß∞ÒÐminÐB ß B ÑÑ_{" #} .

Il v.v.a. non è ovviamente discreto e non è neppure assolutamente continuo in\ quanto la f.r.c. non è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue in ‘^#. In effetti, il gradiente di J_\ è nullo ;Þ9Þ Inoltre, si ha

J ÐB Ñ œ T Ð\ Ÿ B ß \ −_{\" " " " #} ‘Ñ œ B_""_Ò!ß"ÓÐB Ñ _" "_Ó"ß∞ÒÐB Ñ_" , da cui

0 ÐB Ñ œ_{\" "} "_Ò!ß"ÓÐB Ñ_" ,

ovvero la prima componente marginale è una v.a. assolutamente continua. In modo simile si verifica che anche la seconda componente marginale è assolutamente continua e che \ œ \_" ^_ _#. Dunque, il fatto che le componenti marginali siano assolutamente continue non implica che il v.v.a sia

assolutamente continuo. 

3.6. Indipendenza di variabili aleatorie

Risulta ovviamente fondamentale estendere il concetto di indipendenza definito per eventi ad un insieme finito di v.a. definite sullo stesso spazio fondamentale. Si ha la seguente definizione formale che in effetti è una conseguenza della Definizione 2.5.5.

Definizione 3.6.1. Le v.a. \ ß á ß \_{" 8} definite sullo spazio probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ sono dette stocasticamente indipendenti (o semplicemente

T^Ö\ − F × œ ^T Ð\ − F Ñ

3œ" 3œ"

8 8

3 3 3 3 ,

per ogni F − Ð Ñ₃ U ‘ con 3 œ "ß á ß 8. 

Si noti che la precedente Definizione implica che ogni possibile scelta di v.a.5 \ ß á ß \_{3" 35} con 5 œ #ß á ß 8 risulta indipendente. Inoltre, posto \ œ Ð\ ß á ß \ Ñ_{" 8} ^T, dal momento che la costruzione della -algebra di Borel5 U ‘Ð Ñ può essere fatta a partire dalla classe di insiemi del tipo Ó  ∞ß BÓ, allora la condizione data nella Definizione 3.6.1 è equivalente alla condizione

J ÐB ß á ß B Ñ œ T_{\ " 8} Ö\ Ÿ B ×_{3 3} œ T Ð\ Ÿ B Ñ œ_{3 3} J ÐB Ñ_{\ 3}

3œ" 3œ" 3œ"

8 8 8

^  ^{ } 3 .

Teorema 3.6.2. Le v.a. discrete \ ß á ß \_{" 8} definite sullo spazio

probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ sono indipendenti se e solo se la f.p.c. :_\ del v.v.a.

\ œ Ð\ ß á ß \ Ñ_{" 8} ^T è data da

: Ð_\ Ñ œ : ÐB Ñ_{\ 3}

3œ" 8

B ß á ß B_{" 8}  ₃ ,

dove :_\3 è la f.p.m. della -esima componente.3

Dimostrazione. Se \ ß á ß \_{" 8} sono indipendenti, dalla Definizione 3.6.1 si ha come caso particolare

: Ð_\ Ñ œ : ÐB Ñ_{\ 3} 3œ" 8 B ß á ß B_{" 8} T Ö\ œ B ×_{3 3} œ T Ð\ œ B Ñ œ_{3 3} 3œ" 3œ" 8 8 ^  ^{ } 3 .

Inversamente, se è vera la fattorizzazione, se il v.v.a. prende valori su \ W − ‘⁵ e W₃ rappresenta la proiezione di sull' -esimo asse cartesiano, sommandoW 3 opportunamente si ha

T Ö\ − F × œ á ÐB Ñá ÐB Ñ B ß á ß B œ á ÐB Ñ œ ÐB Ñ: ÐB Ñ œ T Ð\ ^  ^{ }      3œ" 8 3 3 F " F 8 " 8 B −W B −W B −W B −W F 3 3œ" 3œ" 8 8 B −W F 3 \ 3 " " 8 8 " 8 " " 8 8 3 3 3 3 3 " " " " : Ð Ñ : ÐB Ñ \ 3œ" 3œ" 8 8 \ 3   3 3 − F Ñ .3

La precedente relazione è equivalente alla condizione della Definizione 3.6.1 e

quindi implica la tesi. 

Teorema 3.6.3. Le v.a. assolutamente continue \ ß á ß \_{" 8} definite sullo

spazio probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ sono indipendenti se e solo se la d.p.c. 0_\ del

v.v.a. \ œ Ð\ ß á ß \ Ñ_{" 8} ^T è data da

0 Ð_\ Ñ œ 0 ÐB Ñ_{\ 3}

3œ" 8

B ß á ß B_{" 8}  3 ,

dove 0_\3 è la d.p.m. della -esima componente.3

Dimostrazione. Dal momento che la Definizione 3.6.1 è equivalente a

J ÐB ß á ß B Ñ œ_{\ " 8} _3œ"⁸ J ÐB Ñ_{\3 3} , allora è sufficiente verificare che 0 ÐB ß á ß B Ñ œ ^{`</sup> J ÐB ß á ß B Ñ `B á `B œ <sup>`} `B á `B œ \ " 8 \ " 5 8 " 8 8 " 8    3œ" 8 \ 3 3œ" 3œ" 8 8 3 ^{\ 3 \ 3} J ÐB Ñ . .B ^{J ÐB Ñ œ 0 ÐB Ñ} 3 3 3 ,

che è quanto si voleva dimostrare. 

Esempio 3.6.1. Si consideri il v.v.a. \ œ Ð\ ß \ Ñ_{" #} ^T che ammette f.p.c. : ÐB ß B Ñ œ ^{" " $} ÐB Ñ ÐB Ñ # % % \ " # " # B "B Ö!ß"× Ö!ß"×     # # " " .

Evidentemente, risulta W œ ÖÐ!ß !Ñß Ð"ß !Ñß Ð!ß "Ñß Ð"ß "Ñ× e W œ W œ Ö!ß "×_{" #} . La v.a. \_" ammette f.p.m. data da

: ÐB Ñ œ : ÐB ß B Ñ œ ^" ÐB Ñ # \ " \ " # # B −W Ö!ß"× " # #  " ,

mentre la v.a. \_# ammette f.p.m. data da

: ÐB Ñ œ : ÐB ß B Ñ œ ^{" $} ÐB Ñ % % \ # \ " # # B −W B "B Ö!ß"× # " " # #  _{   } " .

Incidentalmente, si noti che il v.v.a. possiede componenti marginali che hanno\ le stesse f.p.m. del v.v.a. dell'Esempio 3.5.1, anche se la f.p.c. risulta differente. Essendo

: ÐB ß B Ñ œ : ÐB Ñ: ÐB Ñ_{\ " # \" " \# #} ,

le v.a. \_" e \_# sono indipendenti. Al contrario, è immediato verificare che le v.a. \_" e \_# dell'Esempio 3.5.1 non sono indipendenti. 

Esempio 3.6.2. Si consideri il v.v.a. \ œ Ð\ ß \ Ñ_{" #} ^T che ammette d.p.c. 0 ÐB ß B Ñ œ %B B_{\ " # " #}"_Ó!ß"ÒÐB Ñ_" "_Ó!ß"ÒÐB Ñ_# .

La v.a. \_" ammette d.p.m. data da

0 ÐB Ñ œ_{\ "} %B B_{" #} ÐB Ñ .B œ #B_{" # "} ÐB Ñ_"

! "

Ó!ß"Ò Ó!ß"Ò

"  " "

e quindi per simmetria la v.a. \_# ammette d.p.m. 0 ÐB Ñ œ #B_{\# # #}"_Ó!ß"ÒÐB Ñ_# . Essendo

0 ÐB ß B Ñ œ 0 ÐB Ñ0 ÐB Ñ_{\ " # \" " \# #} ,

le v.a. \_" e \_# sono indipendenti. Le leggi associate alle v.a. \_" e \_# si hanno per particolari parametrizzazioni della legge Beta (si veda Sezione 6.9). 

Esempio 3.6.3. Si consideri il v.v.a. assolutamente continuo \ œ Ð\ ß \ Ñ_{" #} ^T che ammette d.p.c.

0 ÐB ß B Ñ œ_{\ " #} ^" _Ò!ß"ÒÐB  B Ñ_"^# _#^#

1 ^" .

La legge associata al v.v.a. è detta Uniforme sul cerchio unitario. La v.a. \_" ammette d.p.m. data da 0 ÐB Ñ œ_{\ "} ^" ÐB Ñ .B œ_{" #} ^# Ð"B Ñ ÐB Ñ_" Ð"B Ñ Ð"B Ñ Ó"ß"Ò "^{# "Î#} Ó"ß"Ò " " # "Î# " # "Î#  ₁ " ₁ "

e quindi per simmetria la v.a. \_# ammette d.p.m.

0 ÐB Ñ œ_{\# #} ^# Ð"B Ñ_#^{# "Î#} _Ó"ß"ÒÐB Ñ_#

1 ^" .

Le v.a. \_" e \_# non sono indipendenti in quanto

0 ÐB ß B Ñ Á 0 ÐB Ñ0 ÐB Ñ_{\ " # \" " \# #} . 

3.7. Trasformate di variabili aleatorie

In molti casi è necessario considerare una funzione di una certa v.a. (o di un certo v.v.a.), piuttosto che la v.a. (o il v.v.a.) originale. Formalmente, dato lo spazio probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ e la v.a. \ À H È ‘, se 1 À ‘ È ‘ è una funzione misurabile, allora ] œ 1Ð\Ñ è detta trasformata della v.a. \. Dal momento che è una funzione misurabile e che per ogni 1 F − Ð ÑU ‘ si ha

]^"ÐFÑ œ \ Ð1 ÐFÑÑ^{" "} ,

allora segue immediatamente che è una v.a. in base alla Definizione 3.1.1.] Inoltre, la legge indotta dalla v.a. è data da]

T ÐFÑ œ T Ð1 ÐFÑÑ œ T Ð1Ð\Ñ − FÑ œ T Ð\ − 1 ÐFÑÑ Þ_{] \} ^{" "}

Dalla precedente relazione si può ottenere la f.r. della v.a. qualora si ponga] F œ Ó  ∞ß CÓ. Inoltre, identici risultati possono adeguate a trasformate di v.v.a., assumendo in questo caso che 1 À ‘⁵ È ‘² sia una funzione misurabile. Anche se il problema di determinare la legge e la f.r. di una trasformata è concettualmente semplice, la gestione di ogni caso specifico può richiedere tuttavia una certa abilità di calcolo.

Esempio 3.7.1. Data la v.a. , si consideri la trasformata \ ] œ l\l. In questo caso, per ogni C   ! si ha

T Ð] Ÿ CÑ œ T Ð\ − Ò  Cß CÓÑ e dunque

J ÐCÑ œ T Ð] Ÿ CÑ œ ÐJ ÐCÑ  J Ð  CÑ  T Ð\ œ  CÑÑ_{] \ \} "_Ò!ß∞ÒÐCÑ Þ Quando la v.a. è assolutamente continua, allora risulta\

J ÐCÑ œ ÐJ ÐCÑ  J Ð  CÑÑ_{] \ \} "_Ò!ß∞ÒÐCÑ

e quindi anche la v.a. è assolutamente continua e ammette d.p. data da] 0 ÐCÑ œ ^. J ÐCÑ œ Ð0 ÐCÑ  0 Ð  CÑÑ ÐCÑ

.C

] ] \ \ "Ò!ß∞Ò .

Infine, se la d.p. 0_\ è simmetrica rispetto all'origine, allora 0 ÐCÑ œ #0 ÐCÑ_{] \} "_Ò!ß∞ÒÐCÑ . Nel caso particolare in cui

0 ÐBÑ œ ^" ÐBÑ #

\ "Ó"ß"Ò , si ha dunque

0 ÐCÑ œ_] "_Ó!ß"ÒÐCÑ . 

Esempio 3.7.2. Dato il v.v.a. \ œ Ð\ ß \ Ñ_{" #} ^T, si consideri la trasformata ] œ \  \_{" #}. Si ha

J ÐCÑ œ T Ð] Ÿ CÑ œ T Ð\  \ Ÿ CÑ Þ_{] " #}

Quando il v.v.a. è assolutamente continuo, dalla precedente espressione risulta\

J ÐCÑ œ 0 ÐB ß B Ñ ÐB  B Ñ .B .B œ 0 ÐB ß B Ñ .B .B ] \ " # " # " # ∞ ∞ ∞ ∞ Ó∞ßCÒ ∞ ∞ ∞ CB \ " # " #     " "

0 ÐCÑ œ ^. J ÐCÑ œ 0 ÐB ß C  B Ñ .B .C ] ] \ " " " ∞ ∞  .

Nel caso particolare in cui

0 ÐB ß B Ñ œ_{\ " #} "_Ó!ß"ÒÐB Ñ_" "_Ó!ß"ÒÐB Ñ_# , si ha 0 ÐCÑ œ_] ÐC  B Ñ .B œ_{" "} ÐCß #  CÑ ÐCÑ ! " Ó!ß"Ò Ó!ß#Ò  " min " .

In questo caso, la legge associata alla v.a. si ottiene per una particolare] parametrizzazione della cosiddetta legge Triangolare. Si noti inoltre che un metodo più elegante per ottenere la legge di una somma di v.a. sarà considerato

nel Capitolo 7. 

Di seguito vengono considerati alcuni risultati utili per determinare la f.r. e la d.p. di una trasformata di una v.a. assolutamente continua. Successivamente, vengono analizzate estensioni di questi metodi a trasformate di v.v.a. assolutamente continui.

Teorema 3.7.1. Sia data la trasformata ] œ 1Ð\Ñ della v.a. assolutamente\

continua definita sullo spazio probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ, con funzione1

misurabile biunivoca. Se è una funzione crescente, allora si ha1

J ÐCÑ œ J Ð1 ÐCÑÑ_{] \} ^" ,

mentre se è una funzione decrescente, allora si ha1

J ÐCÑ œ "  J Ð1 ÐCÑÑ_{] \} ^" .

Inoltre, la d.p. della v.a. è data da]

0 ÐCÑ œ 0 Ð1 ÐCÑÑ ^. 1 ÐCÑ .C ] \ ^"  ^"  . Dimostrazione. Se è crescente si ha1 J ÐCÑ œ T Ð1Ð\Ñ Ÿ CÑ œ T Ð\ Ÿ 1 ÐCÑÑ œ_] ^" J Ð1 ÐCÑÑ_\ ^" , mentre se è decrescente si ha1

J ÐCÑ œ T Ð1Ð\Ñ Ÿ CÑ œ T Ð\   1 ÐCÑÑ œ " _] ^" J Ð1 ÐCÑÑ_\ ^" ,

in quanto l'immagine inversa dell'insieme Ó  ∞ß +Ó risulta Ò+ß ∞Ò. La seconda parte del Teorema si ottiene immediatamente derivando le precedenti espressioni

della f.r. J_]. 

Il precedente Teorema può essere esteso al caso in cui non sia una funzione1 biunivoca, ma risulti biunivoca su ogni elemento di una partizione finita E ß á ß E_{" 8} di , ovvero ‘ _3œ"⁸ E œ₃ ‘. Sotto questa ipotesi si ha

1ÐBÑ œ 1 ÐBÑ

3œ" 8

3 ,

dove 1 ÐBÑ œ 1ÐBÑ₃ "_E3ÐBÑ e dunque, applicando opportunamente il Teorema 3.7.1, si verifica che la d.p. di è data da]

0 ÐCÑ 0 Ð1 ÐCÑÑ ^. 1 ÐCÑ .C ] œ  \ ₃^" ₃^" 3œ" 8   .

Esempio 3.7.3. Data la v.a. assolutamente continua, si consideri la trasformata\ ] œ \^#. Dal momento che la funzione C œ B^# è decrescente in E œ Ó  ∞ß !Ó_" e crescente in E œ Ó!ß ∞Ò_# , allora

0 ÐCÑ 0 Ð CÑ 0 Ð  CÑÑ ^" # C

] œ Ð \   \  _ "_Ò!ß∞ÒÐCÑ .

Nel caso particolare in cui

0 ÐBÑ œ ^" ÐBÑ #

\ "Ó"ß"Ò ,

tenendo presente la simmetria di 0_\ rispetto all'origine, si ha 0 ÐCÑ œ_] ^" _Ó!ß"ÒÐCÑ

#C ^{" . }

Teorema 3.7.2. Sia dato il v.v.a. assolutamente continuo definito sullo\

spazio probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ e sia 1 À ‘⁵ È ‘⁵ un diffeomorfismo. La d.p.c.

0 ÐCÑ œ 0 Ð1 ÐCÑÑlN Ð1 ÐCÑÑl_{] \} ^{" "} ,

dove N Ð1 ÐCÑÑ^" è lo Jacobiano relativo alla funzione 1^" nel punto .C

Dimostrazione. Per ogni F − ÐU ‘⁵Ñ si ha

T ÐFÑ œ T Ð1 ÐFÑÑ œ_{] \} ^" 0 ÐB ß á ß B Ñ .B á .B_{\ " 5 " 5}

1 ÐFÑ



"

. Tenendo presente il commento successivo al Teorema A.8, allora risulta

T ÐFÑ œ_] 0 C ß á ß C_{" 5} C ß á ß C_{" 5} .C á .C_{" 5}

F

 \Ð1 Ð^" ÑÑlN Ð1 Ð^" ÑÑl ,

da cui segue la tesi. 

In modo simile a quanto visto per una singola v.a., il Teorema 3.7.2 può essere esteso al caso in cui sia un diffeomorfismo su ogni elemento di una partizione1 E ß á ß E_{" 8} di ‘⁵, ovvero in questo caso la d.p.c. del v.v.a. è data da]

0 ÐCÑ_] œ 0 Ð1 ÐCÑÑlN Ð1 ÐCÑÑl_{\ 3}^" ₃^"

3œ" 8

, dove 1 ÐBÑ œ 1ÐBÑ₃ "_E3ÐBÑ.

Esempio 3.7.4. Dato il v.v.a. \ œ Ð\ ß \ Ñ_{" #} ^T assolutamente continuo, si vuole determinare la d.p. della v.a. somma \  \_{" #}. A questo fine è conveniente considerare la trasformata ] œ Ð] ß ] Ñ œ 1Ð\Ñ_{" #} ^T , dove 1ÐBÑ œ ÐB ß B  B Ñ_{" " #} ^T. Dal momento che 1 ÐCÑ œ ÐC ß C  C Ñ^" _{" # "} ^T, allora lN Ð1 ÐCÑÑl œ "^" , e quindi

0 ÐCÑ œ 0 ÐC ß C Ñ œ 0 ÐC ß C  C Ñ_{] ] " # \ " # "} . La d.p.m. della componente ] œ \  \_{# " #} è dunque data da

0 ÐC Ñ œ_{] #} 0 ÐC ß C  C Ñ .C_{\ " # " "}

∞ ∞

#  .

Ovviamente questo risultato coincide con quello ottenuto nell'Esempio 3.7.2. Si noti che nel caso in cui le v.a. \_" e \_# siano indipendenti, allora si ha

0 ÐC Ñ œ_{] #} 0 ÐC Ñ0 ÐC  C Ñ .C_{\ " \ # " "}

∞ ∞

Se si vuole determinare la d.p. della v.a. differenza \  \_{" #}, in modo simile si considera la trasformata ] œ Ð] ß ] Ñ œ 1Ð\Ñ_{" #} ^T , dove 1ÐBÑ œ ÐB ß B  B Ñ_{" " #} ^T. In questo caso, la d.p.m. della componente ] œ \  \_{# " #} è data da

0 ÐC Ñ œ_{] #} 0 ÐC ß C  C Ñ .C_{\ " " # "}

∞ ∞

#  , mentre se le v.a. \_" e \_# sono indipendenti risulta

0 ÐC Ñ œ_{] #} 0 ÐC Ñ0 ÐC  C Ñ .C_{\ " \ " # "}

∞ ∞

#  " # . 

Esempio 3.7.5. Dato il v.v.a. assolutamente continuo \ œ Ð\ ß \ Ñ_{" #} ^T, si vuole determinare la d.p. della v.a. prodotto \ \_{" #}. A questo fine è conveniente considerare la trasformata ] œ Ð] ß ] Ñ œ 1Ð\Ñ_{" #} ^T , dove 1ÐBÑ œ ÐB ß B B Ñ_{" " #} ^T. Dal momento che 1 ÐCÑ œ ÐC ß C ÎC Ñ^" _{" # "} ^T, allora lN Ð1 ÐCÑÑl œ lC l^" _" ^", e quindi

0 ÐCÑ œ 0 C ß ^{C "} C lC l

] \ " ^#

" "

  .

La d.p.m. della componente ] œ \ \_{# " #} è dunque data da 0 ÐC Ñ œ 0 C ß ^{C "} .C C lC l ] # \ " " ∞ ∞ # " " #    , che nel caso in cui le v.a. \_" e \_# siano indipendenti, si riduce a

0 ÐC Ñ œ 0 ÐC Ñ0 ^{C "} .C C lC l ] # \ " \ " ∞ ∞ # " " #  " #_{ } . In modo simile, la d.p. della v.a. rapporto ] œ \ Î\_{# # "} è data da

0 ÐC Ñ œ_{] #} 0_\ C ß C C lC l .C_{" " # " "}

∞ ∞

#  ^{ } , mentre se le v.a. \_" e \_# sono indipendenti risulta

0 ÐC Ñ œ_{] #} 0 ÐC Ñ0 ÐC C ÑlC l .C_{\ " \ " # " "}

∞ ∞

#  " # .

Nel caso particolare in cui si considera la d.p.c. dell'Esempio 3.7.2, allora la d.p.m. della trasformata ] œ \ \_{# " #} risulta

0 ÐC Ñ œ ^{C "} .C œ  ÐC Ñ ÐC Ñ C C ] # " # # ! " Ó!ß"Ò ^# Ó!ß"Ò " " #  "   log " ,

mentre la d.p.m. della trasformata ] œ \ Î\_{# # "} risulta

0 ÐC Ñ œ ÐC C ÑC .C œ ^" ÐC Ñ  ^" ÐC Ñ # #C ] # " # " " # # ! " Ò!ß"Ó Ó!ß"Ó Ó"ß∞Ò #^# #  " " " . 

Nel documento Fondamenti di Probabilità Lucio Barabesi (pagine 81-91)