Funzioni caratteristiche e generatrici
7.5. Leggi additive e infinitamente divisibili
Dunque, tenendo ancora presente l'Esempio 7.2.3, la v.a. possiede legge]
Binomiale Negativa Ua Ð5ß :Ñ.
Esempio 7.4.5. Si consideri il v.v.a. \ con legge Multinomiale `Ð"ß :Ñ. Dunque, dall'Esempio 7.4.1 la f.g.m. del v.v.a. è data da\
K\ " 5 3 3
3œ" 5
Ð> ß á ß > Ñ œ : > .
Di conseguenza, se \ ß á ß \" 8 sono v.v.a. indipendenti con la stessa legge del v.v.a. , il v.v.a. \ ] œ 3œ"5 \ possiede f.g.m. data da
3
K] " 5 3 3
3œ"
5 8
Ð> ß á ß > Ñ œ : > .
Dunque, tenendo ancora presente l'Esempio 7.4.1, il v.v.a. possiede legge]
Multinomiale `Ð8ß :Ñ.
7.5. Leggi additive e infinitamente divisibili
In questa sezione vengono considerate due importanti famiglie di leggi che sono caratterizzate da particolari comportamenti rispetto alla somma di v.a. indipendenti. In particolare, si ha la seguente definizione.
Definizione 7.5.1. Sia data la v.a. \ definita sullo spazio probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ con f.r. J\ß che dipende da un vettore di parametri ) − K © ‘7. La
v.a. \ e la relativa legge si dicono additive rispetto a se, date le v.a.) indipendenti \" e \# con rispettive f.r. J\ ß")" e J\ ß")", la f.r. della v.a. Ð\ \ Ñ" # risulta essere J\ \ ß " # )" )# per ogni ) )"ß # − K. Tenendo presente la proprietà di unicità della f.c., la Definizione 7.5.1 può essere anche data in termini della f.c. :\ß) della v.a. . Evidentemente, se la v.a.\ \ e la rispettiva legge risultano additive rispetto a , si verifica che)
:\ ß" )"Ð>Ñ:\ ß#)#Ð>Ñ œ :\ \ ß " # )" )#Ð>Ñ ,
per ogni ) )"ß # − K. Ovviamente, nel caso di una v.a. discreta a valori su\ W © , una analoga definizione può essere data in termini della corrispondente f.g. K\ß) , ovvero si ha
K\ ß")"Ð>ÑK\ ß#)#Ð>Ñ œ K\ \ ß " # )" )#Ð>Ñ ,
per ogni ) )"ß # − K. Si noti che il vettore di parametri può non comprendere) l'intero insieme di parametri che caratterizzano la legge in questione, ma soltanto il sottoinsieme di parametri rispetto ai quali si vuole verificare l'additività. In questo caso, i rimanenti parametri devono invece essere costanti.
Esempio 7.5.1. Si consideri la v.a. con legge Normale \ a . 5Ð ß #Ñ. In questo caso, si pone ) œ Ð ß. 5# TÑ con K œ ‘ ‚ Ó!ß ∞Ò. La legge risulta additiva rispetto al vettore di parametri , in quanto dall'Esempio 7.3.5 si ha)
: : : \ ß \ ß \ \ \ \ # # # # \ \ \ \ # # # \ \ ß " " # # " # " # " # " # " # " # ) ) ) ) Ð>Ñ Ð>Ñ œ > > > > # # œ Ð Ñ> Ð Ñ> # œ Ð>Ñ exp exp exp i i i , . 5 . 5 . . 5 5
ovvero, in altri termini, la somma di due v.a. indipendenti, rispettivamente con legge Normale a .Ð \"ß5#\"Ñ e a .Ð \#ß5\# #Ñ, possiede legge Normale a .Ð \ \" #ß5\ \# " #Ñ.
Esempio 7.5.2. Si consideri la v.a. con legge Gamma \ ZÐ!ß ,ß 5Ñ. In questo caso, si pone ) œ 5 con K œ Ó!ß ∞Ò, ovvero si vuole verificare l'additività rispetto al parametro e non al parametro . La legge è additiva rispetto a , in5 , ) quanto tenendo presente l'Esempio 7.1.7 si ha
: : : \ ß \ ß 5 5 Ð5 5 Ñ \ \ ß " " # # " # " # " # " # ) ) ) ) Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð" ,>Ñ Ð" ,>Ñ œ Ð" ,>Ñ œ Ð>Ñ i i i .
Dunque, la somma di due v.a. indipendenti, rispettivamente con legge Gamma ZÐ!ß ,ß 5 Ñ" e ZÐ!ß ,ß 5 Ñ# , possiede legge Gamma ZÐ!ß ,ß 5 5 Ñ" # . In particolare, se la v.a. possiede legge Chi-quadrato \ ;8#, dalla precedente espressione con , œ # e 5 œ 8Î#, la legge risulta additiva rispetto al parametro . Dunque, la8 somma di due v.a. indipendenti, rispettivamente con legge Chi-quadrato ;8#" e ;8##, possiede legge Chi-quadrato ;8 8#" #. Si noti infine che l'additività non vale per il parametro di scala . In effetti, se si considera il vettore di parametri, ) œ Ð,ß 5ÑT con K œ Ó!ß ∞Ò ‚ Ó!ß ∞Ò, si ha : : : \ ß \ ß " 5 # 5 \ \ ß " # Ð5 5 Ñ " " # # " # " # " # " # ) ) ) ) Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð" , >Ñ Ð" , >Ñ Á Ð>Ñ œ Ð" Ð, , Ñ>Ñ i i i .
In altre parole, la somma di due v.a. indipendenti, con legge Gamma ZÐ!ß , ß 5 Ñ" " e ZÐ!ß , ß 5 Ñ# # , non possiede legge Gamma ZÐ!ß , , ß 5 5 Ñ" # " # .
Esempio 7.5.3. Si consideri la v.a. con legge Binomiale \ UÐ8ß :Ñ. In questo caso, si pone ) œ 8 con K œ Ö"ß #ß á ×, ovvero si vuole verificare l'additività rispetto al parametro e non al parametro . La legge risulta additiva rispetto a8 : 8, in quanto tenendo presente l'Esempio 7.2.1 si ha
K K K \ ß \ ß 8 8 8 8 \ \ ß " " # # " # " # " # " # ) ) ) ) Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð; :>Ñ Ð; :>Ñ œ Ð; :>Ñ œ Ð>Ñ .
Quindi, la somma di due v.a. indipendenti, rispettivamente con legge Binomiale UÐ8 ß :Ñ" e UÐ8 ß :Ñ# , possiede legge Binomiale ZÐ8 8 ß :Ñ" # . Risulta immediato verificare che l'additività non vale per il parametro . Dunque, se si considera il: vettore di parametri ) œ Ð8ß :ÑT con K œ Ö"ß #ß á × ‚ Ó!ß "Ò, la legge non risulta
additiva rispetto a .)
Esempio 7.5.4. Si consideri la v.a. con legge di Poisson \ c -Ð Ñ. Si pone ) œ -con K œ Ó!ß ∞Ò. La legge risulta additiva rispetto al parametro , in quanto -tenendo presente l'Esempio 7.2.2 si ha
K K K \ ß \ ß " # " # \ \ ß " " # # " # " # ) ) ) ) Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð Ð> "ÑÑ Ð Ð> "ÑÑ œ ÐÐ ÑÐ> "ÑÑ œ Ð>Ñ exp exp exp - -- - .
Dunque, la somma di due v.a. indipendenti, rispettivamente con legge di Poisson c -Ð Ñ" e c -Ð Ñ# , possiede legge di Poisson c -Ð " -#Ñ.
Esempio 7.5.5. Si consideri la v.a. con legge Binomiale Negativa \ UaÐ5ß :Ñ. Si pone ) œ 5 con K œ Ö"ß #ß á ×, ovvero si vuole verificare l'additività rispetto al parametro e non al parametro . La legge risulta additiva rispetto a , in5 : ) quanto tenendo presente l'Esempio 7.2.3 si ha
K K K \ ß \ ß 5 5 5 5 \ \ ß " " # # " # " # " # " # ) ) ) ) Ð>Ñ Ð>Ñ œ : : " ;> " ;> œ : œ Ð>Ñ " ;> ,
ovvero si ha che la somma di due v.a. indipendenti, rispettivamente con legge Binomiale Negativa UaÐ5 ß :Ñ" e UaÐ5 ß :Ñ# , possiede legge Binomiale Negativa Ua Ð5 5 ß :Ñ" # . In modo analogo alla legge Binomiale, risulta inoltre immediato verificare che l'additività non vale per il parametro . Dunque, se si: considera il vettore di parametri ) œ Ð5ß :ÑT con K œ Ö"ß #ß á × ‚ Ó!ß "Ò, la
legge non è additiva rispetto a .)
Definizione 7.5.2. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\ Ð ßH Yß T Ñ. La v.a. e la rispettiva legge sono dette \ infinitamente divisibili se per ogni 8 œ "ß #ß á si ha \ œ_ 3œ"8 \ , dove Ð\ ß á ß \ Ñ è un v.v.a.
3 " 8 T
indipendenti e ugualmente distribuite.
Tenendo presente la proprietà di unicità della f.c., la Definizione 7.5.2 può essere data in modo alternativo utilizzando la f.c. In questo caso, se la v.a. ha\ f.c. :\, mentre :\8 è la f.c. comune alle componenti marginali del v.v.a. Ð\ ß á ß \ Ñ" 8 T, allora la v.a. \ è infinitamente divisibile se per ogni 8 œ "ß #ß á si ha
:\Ð>Ñ œ Ð:\8Ð>ÑÑ8 .
Nel caso in cui la v.a. è discreta a valori su \ W © , una analoga definizione può essere data in termini della f.g., nel senso che la precedente condizione si riduce a
K\Ð>Ñ œ ÐK\8Ð>ÑÑ8 .
Teorema 7.5.3. Data la v.a. definita sullo spazio probabilizzato \ Ð ßH Yß T Ñ,
se la v.a. è infinitamente divisibile lo è anche la trasformata \ ] œ + ,\,
dove .+ß , − ‘
Dimostrazione. Tenendo presente il Teorema 7.3.4, si ha
:]Ð>Ñ œ expÐ +>Ñi :\Ð,>Ñ œ expÐ +>ÑÐi :\8Ð,>ÑÑ œ Ð8 expÐ +>Î8Ñi :\8Ð,>ÑÑ8 , da cui segue che ] œ_ 3œ"8 Ð+Î8 ,\ Ñ, ovvero la v.a. è infinitamente]
3
divisibile.
In generale, dal precedente Teorema, è immediato verificare che, se una legge ridotta è infinitamente divisibile, lo è anche la relativa legge con parametro di posizione e di scala. Dunque, è sufficiente verificare che legge ridotta sia infinitamente divisibile per concludere che la legge con parametro di posizione e di scala è a sua volta infinitamente divisibile.
Esempio 7.5.6. Si consideri la v.a. con legge Normale \ aÐ!ß "Ñ. Dal momento che per ogni 8 œ "ß #ß á si ha
:\ : # # 8 8 8 Ð>Ñ œ > œ > œ Ð Ð>ÑÑ # #8 exp exp \ ,
la legge è infinitamente divisibile. In altri termini, una v.a. con legge Normale\ a Ð!ß "Ñ è equivalente in legge alla somma di v.a. indipendenti con legge8 Normale a Ð!ß "Î8Ñ per ogni 8 œ "ß #ß á. In base al Teorema 7.5.3 è inoltre sufficiente verificare che legge Normale ridotta a Ð!ß "Ñ è infinitamente divisibile per concludere che la legge Normale a . 5Ð ß #Ñ è a sua volta
infinitamente divisibile.
Esempio 7.5.7. Si consideri la v.a. con legge Gamma ridotta \ ZÐ!ß "ß 5Ñ. Dal momento che per ogni 8 œ "ß #ß á si ha
:\Ð>Ñ œ Ð" >Ñi 5 œ ÐÐ" >Ñi 5Î8 8Ñ œ Ð:\8Ð>ÑÑ8 ,
la legge è infinitamente divisibile. In altri termini, una v.a. con legge Gamma\ ridotta ZÐ!ß "ß 5Ñ è equivalente in legge alla somma di v.a. indipendenti con8 legge Gamma ZÐ!ß "ß 5Î8Ñ per ogni 8 œ "ß #ß á.
:\Ð>Ñ œ expÐ l>l Ñα ,
dove α − Ó!ß #Ó. La legge associata alla v.a. è detta \ legge Stabile simmetrica di parametro e, ovviamente, contiene come casi particolari la legge α a Ð!ß #Ñ per α œ # (si veda l'Esempio 7.1.6) e la legge di Cauchy ridotta per α œ " (si veda l'esempio 7.1.9). Dal momento che per α − Ó!ß #Ó si ha
∞ ∞ ∞ ∞ \ l: Ð>Ñl .> œ expÐ l>l Ñ .> œα > " " ∞ α ,
sulla base del Teorema 7.1.9 la v.a. è assolutamente continua. La d.p. relativa\ non può essere ottenuta in forma chiusa, eccetto che per i due casi particolari precedentemente citati. Inoltre, tenendo presente il Teorema 7.1.5, EÒ\Ó non è definito se α − Ó!ß "Ó, mentre esiste finito EÒ\Ó ma non EÒ\ Ó# seα − Ó"ß #Ò. Ovviamente, i momenti di ogni ordine esistono finiti se α œ #. Dal momento che per ogni legge della famiglia si ha
:\Ð>Ñ œ expÐ l>l Ñ œ Ðα expÐ l8"Îα α>l Ñ œ Ð8 : 8Ð>ÑÑ8
\ ,
la legge Stabile simmetrica è infinitamente divisibile. In altri termini, una v.a. \ con legge Stabile simmetrica di parametro è equivalente in legge alla sommaα di v.a. indipendenti del tipo 8 8"Îα\ 3 œ "ß á ß 83, , dove ogni v.a. \3 possiede ancora legge Stabile simmetrica di parametro .α
Esempio 7.5.9. Si consideri la v.a. \ con legge Binomiale UÐ7ß :Ñ. Dal momento che si ha
K\Ð>Ñ œ Ð; :>Ñ œ ÐÐ; :>Ñ7 7Î8 8Ñ ,
la legge è infinitamente divisibile solamente se è multiplo di . Dunque, la7 8
legge Binomiale non è infinitamente divisibile.
Esempio 7.5.10. Si consideri la v.a. con legge di Poisson \ c -Ð Ñ. Dal momento che si ha
K\Ð>Ñ œ expÐ Ð> "ÑÑ œ Ð- expÐÐ Î8ÑÐ> "ÑÑÑ œ Ð- 8 K\8Ð>ÑÑ8 ,
la legge è infinitamente divisibile. In altri termini, una v.a. con legge di\ Poisson c -Ð Ñ è equivalente in legge alla somma di v.a. indipendenti con legge8 di Poisson c -Ð Î8Ñ per ogni 8 œ "ß #ß á.