Valori attesi
Esempio 4.3.2. Si noti che v.a. con leggi differenti possono avere tutti i momenti
" .
Si ha dunque . œ "Î#, mentre il momento di ordine coincide con il momento< assoluto di ordine . Per quanto riguarda il momento centrale di ordine della< < v.a., risulta EÒÐ\ Ñ Ó œ B " .B œ # Ð" Ð "Ñ Ñ # < " . < < ! " < Ð<"Ñ
e quindi EÒÐ\ Ñ Ó œ !. < se è dispari, mentre< EÒÐ\ Ñ Ó œ #
< " . <
<
se è pari. Dunque, si ha < VarÒ\Ó œ "Î"#. Infine, risulta EÒl\ l Ó œ lB "Î#l .B œ # < " . < < ! " < .
Esempio 4.3.2. Si noti che v.a. con leggi differenti possono avere tutti i momenti
coincidenti. Come caso specifico si consideri la v.a. assolutamente continua \ che ammette densità
0 ÐBÑ œ " Ð B Ñ ÐBÑ '
\ exp "Î$ "Ò!ß∞Ò
e la v.a. assolutamente continua che ammette densità]
0 ÐCÑ œ " Ð C ÑÐ" Ð $C ÑÑ ÐCÑ '
Incidentalmente, si noti che la legge associata alla v.a. ^ œ \"Î$ si ottiene per una particolare parametrizzazione della legge Gamma (si veda la Sezione 6.8). Dal momento che risulta
! ∞
< "Î$ "Î$
B expÐ C ÑsinÐ $C Ñ .B œ ! ,
allora segue immediatamente che EÒ\ Ó œ Ò] Ó< E < per ogni < œ !ß "ß á. Il seguente Teorema fornisce una importante disuguaglianza, che nel successivo Teorema permette di ottenere le condizioni di esistenza per i momenti. La disuguaglianza è comunemente attribuita al matematico e probabilista russo Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918).
Figura 4.3.1. Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918).
Teorema 4.3.2. (Disuguaglianza di Lyapunov) Si consideri la v.a. definita\
sullo spazio probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ. Se ! = Ÿ <, allora si ha
EÒl\l Ó= "Î= Ÿ Òl\l ÓE < "Î< .
Dimostrazione. Se Ö] !× ;Þ-Þ, dalla disuguaglianza di Jensen (Teorema 4.2.6) con 1ÐCÑ œ C+ e + ", si ha
EÒ] Ó Ÿ Ò] Ó+ E + .
Dal momento che <Î= ", ponendo + œ <Î= e ] œ l\l= nella precedente disuguaglianza si ottiene
EÒl\l Ó= <Î= Ÿ Òl\l ÓE < ,
da cui si ha immediatamente la tesi.
Nel linguaggio della Teoria della Misura, la disuguaglianza di Lyapunov stabilisce in effetti che m\m Ÿ m\m= < se ! = Ÿ <.
Teorema 4.3.3. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\ Ð ßH Yß T Ñ. Se si ha EÒl\l Ó ∞< , allora EÒ\ Ó3 esiste finito per ogni 3 œ "ß á ß <.
Dimostrazione. Dal momento che 3 Ÿ < per ogni 3 œ "ß á ß <, dalla disuguaglianza di Lyapunov (Teorema 4.3.2) si ha
EÒl\l Ó3 "Î3 Ÿ Òl\l ÓE < "Î< .
Dunque, se EÒl\l Ó ∞< , allora EÒl\ lÓ ∞3 . Tuttavia, dal Teorema 4.2.1 risulta che se EÒl\ lÓ ∞3 allora si ha EÒ\ Ó ∞3 . Tenendo presente la dimostrazione del precedente Teorema, è inoltre facile verificare che se il momento di ordine non esiste finito, allora non esistono< finiti neppure i momenti di ordine superiore. Inoltre, dal momento che VarÒ\Ó Ÿ Ò\ ÓE # , la varianza esiste finita se esiste finito il secondo momento. In generale, è immediato verificare che il momento centrale di ordine esiste finito< se esiste finito il momento di ordine .<
Si considerano di seguito alcuni Teoremi sulle proprietà della varianza.
Teorema 4.3.4. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\ Ð ßH Yß T Ñ. Se EÒ\ Ó# esiste finito, si ha
VarÒ\Ó Ÿ min EÒÐ\ +Ñ Ó
+−
#
‘ .
Dimostrazione. Tenendo presente le proprietà del valore atteso, si ha
E E E Var ÒÐ\ +Ñ Ó œ ÒÐ\ +Ñ Ó œ ÒÐ\ Ñ #Ð\ ÑÐ +Ñ Ð +Ñ Ó œ Ò\Ó Ð +Ñ # # # # # . . . . . . .
e, dal momento che VarÒ\Ó ! non dipende da , il minimo della precedente+
Teorema 4.3.5. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\ Ð ßH Yß T Ñ. Se EÒ\ Ó# esiste finito, la varianza della trasformata ] œ + ,\,
dove +ß , − ‘, è data da
VarÒ] Ó œ VarÒ+ ,\Ó œ ,#VarÒ\Ó .
Dimostrazione. Tenendo presente il Teorema 4.2.4 si ha EÒ] Ó œ + ,., e quindi
VarÒ] Ó œ ÒÐ+ ,\ + , Ñ Ó œ ,E . # #EÒÐ\ Ñ Ó œ ,. # #VarÒ\Ó ,
che è quanto si voleva dimostrare.
In particolare, se ] œ + \, dal Teorema 4.3.5 si ha VarÒ] Ó œ VarÒ+ \Ó œ VarÒ\Ó . Inoltre, se si considera la trasformazione
^ œ \ . 5 , allora risulta EÒ^Ó œ " EÒ\ Ó œ ! 5 . , mentre
VarÒ^Ó œ " VarÒ\ Ó œ " VarÒ\Ó œ "
5# . 5# .
Per questi motivi, la precedente è detta trasformazione di standardizzazione. Il seguente Teorema fornisce una importante e utile disuguaglianza, che prende nome dal matematico e probabilista russo Andrey Andreyevich Markov (1856-1922).
Teorema 4.3.6. (Disuguaglianza di Markov) Si consideri la v.a. definita\
sullo spazio probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ. Se - !, allora si ha
T Ðl\l -Ñ Ÿ " Òl\lÓ - E .
EÒl\lÓ œ l l .T \ -"Öl l -×\ .T œ -T Ðl\l -Ñ ,
da cui segue immediatamente la tesi.
Figura 4.3.2. Andrey Andreyevich Markov (1856-1922).
Il seguente Teorema fornisce una famosa e celebrata disuguaglianza introdotta dal matematico russo Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894), padre fondatore della scuola matematica russa e in particolare maestro di Lyapunov e Markov.
Teorema 4.3.7. (Disuguaglianza di Chebyshev) Si consideri la v.a. \
definita sullo spazio probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ. Se - !, allora si ha
T Ðl\ l -Ñ Ÿ -. 5 # # . Equivalentemente, se 5# ∞ si ha T \ - Ÿ " - 5 . # .
Dimostrazione. Applicando opportunamente la disuguaglianza di Markov
(Teorema 4.3.6) alla v.a. trasformata Ð\ Ñ. #, si ha
T Ðl\ l -Ñ œ. T ÐÐ\ Ñ - Ñ Ÿ " ÒÐ\ Ñ Ó
-. # # # E . # ,
da cui segue la prima parte del Teorema. La seconda parte si ottiene in modo simile considerando la v.a. trasformata Ð\ Ñ Î. # 5#.
Figura 4.3.3. Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894).
La precedente disuguaglianza è anche detta di Bienaymé-Chebyshev dal momento che in effetti fu congiuntamente formulata da Chebyshev insieme allo statistico francese Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878). Si noti inoltre che la disuguaglianza può essere facilmente generalizzata con i momenti centrali assoluti, ovvero risulta
T Ðl\ l -Ñ Ÿ " Òl\ l Ó
-. < E . < .
Teorema 4.3.8. Se è una v.a. definita sullo spazio probabilizzato \ Ð ßH Yß T Ñ
e se EÒ\ Ó# esiste finito, si ha VarÒ\Ó œ ! se e solo se è degenere.\
Dimostrazione. Se è degenere, allora risulta \ Ö\ œ +× ;Þ-Þ per una data costante + − ‘. In questo caso, si ha
EÒ\Ó œ +T Ð\ œ +Ñ œ + , mentre
VarÒ\Ó œ Ð+ Ò\ÓÑ T Ð\ œ +Ñ œ !E # .
Inversamente, se VarÒ\Ó œ !, applicando la disuguaglianza di Chebyshev, per ogni si ha -T Ðl\ +l -Ñ Ÿ œ ! -5# # , ovvero Ö\ œ +× ;Þ-Þ
4.4. Covarianza e matrice di varianza-covarianza
Il concetto di momento può essere esteso in modo generale a v.v.a. In effetti, si ha la seguente definizione formale.Definizione 4.4.1. Dato il v.v.a. \ œ Ð\ ß á ß \ Ñ" 5 T definito sullo spazio probabilizzato Ð ßH Yß T Ñ, si dice momento misto di ordine Ð< ß á ß < Ñ" 5 , dove < œ !ß "ß á 3 œ "ß á ß 5ß3 , l'integrale
EÒ\ á \ Ó œ"<" 5<5 \ á \ .T"<" 5<5
se esiste finito. Inoltre, si dice momento centrale misto di ordine Ð< ß á ß < Ñ" 5 l'integrale
EÒÐ\ " .\"Ñ á Ð\ <" 5 .\5Ñ Ó œ<5 Ð\ " .\"Ñ á Ð\ <" 5 .\5Ñ .T<5
se esiste finito.
Si noti che, scegliendo opportunamente gli indici Ð< ß á ß < Ñ" 5 , si possono ottenere i momenti di qualsiasi ordine di tutte le possibili scelte delle componenti marginali. Ad esempio, ponendo < œ "3 e < œ !6 per ogni 6 Á 3 œ "ß á ß 5, si ottiene EÒ\ Ó3 . In particolare, risulta fondamentale considerare i momenti per vettori bivariati di v.a. Più esattamente, dato il v.v.a. \ œ Ð\ ß \ Ñ" # T, il momento misto è dato dall'integrale
EÒ\ \ Ó œ" # \ \ .T" #
se esiste finito. Analogamente, il momento misto centrale, detto usualmente
covarianza, è dato dall'integrale
CovÒ\ ß \ Ó œ" # EÒÐ\ " .\"ÑÐ\ # .\#ÑÓ œ Ð\ " .\"ÑÐ\ # .\#Ñ .T se esiste finito. La covarianza viene anche usualmente denotata con il simbolo 5\ ß\" #. Tenendo presente il Teorema A.6, risulta immediato verificare che
mentre ovviamente CovÒ\ ß \ Ó" " œ VarÒ\ Ó" . In Teoria della Misura, il momento misto e la covarianza sono prodotti interni, ovvero EÒ\ \ Ó œ Ø\ ß \ Ù" # " # e CovÒ\ \ Ó œ Ø\ " # " .\"ß \ # .\#Ù.
Il seguente Teorema introduce una famosa disuguaglianza che permette fra l'altro di ottenere le condizioni di esistenza della covarianza e che prende nome dal matematico tedesco Otto Ludwig Hölder (1859-1937). Tuttavia, la disuguaglianza dovrebbe più correttamente essere denominata di Rogers-Hölder, dal momento che è stata introdotta indipendentemente e contemporaneamente anche dal matematico inglese Leonard James Rogers (1862-1933).