Approcci analitic

Lo scopo di questi approcci è generare un’espressione analitica che rappresenti uno strumento semplice e affidabile per il dimensionamento e lo studio prestazionale a lungo termine degli impianti. Per la generazione dell’espressione analitica è necessario formulare una serie di ipotesi che da una parte riducono il dominio di applicabilità dell’approccio, ma dall’altra ne semplificano la struttura. Generalmente si assumono serbatoi di accumulo ben miscelati e profili di carico pressoché costanti da un giorno all’altro.

Il punto di partenza dell’analisi sta nel fatto che, se il tempo caratteristico, o tempo di rilassamento, del sistema (collettore e serbatoio d’accumulo termicamente accoppiati) è più grande della scala temporale con cui variano i profili di carico termico e delle grandezze climatiche, allora le prestazioni dell’impianto risultano poco sensibili alla dipendenza

48 temporale dettagliata di quest’ultimi. Dal momento che per la maggior parte degli impianti i tempi di risposta del sistema sono relativamente lunghi, approssimare i profili dell’insolazione, della temperatura ambiente e di carico con i loro valori medi non dovrebbe dar origine a errori significativi nello studio prestazionale a lungo termine. Approssimando i profili tempo-varianti delle grandezze con delle costanti, risulta possibile risolvere l’equazione di bilancio termico che governano il sistema in una semplice forma analitica. Il valore della soluzione dipende dalla temperatura iniziale del serbatoio d’accumulo; questa può essere espressa in termini di parametri di sistema noti, ma comunque, oltre un periodo di tempo sufficientemente lungo, il sistema raggiunge una condizione di quasi-stazionarietà in cui la dipendenza temporale della temperatura dell’accumulo non cambia da un giorno all’altro e risulta indipendente dal valore iniziale.

Per impianti solari termici in cui la temperatura del fluido in entrata al collettore è costante, l’energia giornaliera media annua raccolta 𝑄_𝑠 si esprime come:

𝑄_𝑠 = 𝐴_𝑐𝐹_𝑅(𝜏𝛼) 𝐼̅_𝑎 𝜙(𝐼_𝑐) Con

𝐼𝑐 =

𝐹_𝑅𝑈_𝐿(𝑇_𝑖𝑛− 𝑇_𝑎) 𝐴𝑐𝐹𝑅(𝜏𝛼)

Le curve di utilizzabilità annuali sono disponibili per i principali tipi di collettori solari e per un’ampia varietà di climi. Nella maggior parte degli impianti convenzionali, comunque, i collettori solari e il serbatoio d’accumulo sono termicamente accoppiati. Vale a dire che la temperatura del fluido in entrata al collettore non è costante, ma varia durante la giornata. Per questo motivo risulta necessario correggere l’espressione dell’energia raccolta:

𝑄𝑠 = 𝐴𝑐𝐹𝑅(𝜏𝛼) 𝐼̅𝑎 𝜙(𝐼𝑒𝑓𝑓)

Con

𝐼_𝑒𝑓𝑓 = 𝐹𝑅𝑈𝐿(𝑇𝑒𝑓𝑓− 𝑇𝑎) 𝐴_𝑐𝐹_𝑅(𝜏𝛼)

Dove, con 𝑇𝑒𝑓𝑓 e 𝐼𝑒𝑓𝑓, si indicano rispettivamente la temperatura effettiva del fluido in

entrata al collettore e la radiazione critica effettiva. Calcolare il valore 𝐼𝑒𝑓𝑓 non è semplice e

richiede metodi dedicati; come prima approssimazione, è possibile assumere che, per sistemi solari termici con lunghi tempi caratteristici (non più lunghi di un giorno), 𝐼_𝑒𝑓𝑓 è ben

49 approssimato dal valore che si calcola con un modello di radiazione costante. Per lunghi tempi di risposta, gli effetti dei profili temporali delle variabili climatiche e del carico vengono smorzati dal sistema stesso che risulta sensibile unicamente ai loro valori medi. Proprio per questo motivo, un modello a radiazione costante rappresenta un’approssimazione valida: si assume che ogni ora del giorno abbia lo stesso valore di insolazione che corrisponde al valore orario medio annuale (o mediato sul periodo considerato); lo stesso vale per la temperatura ambiente e per il carico termico.

Durante il funzionamento del collettore, ovvero nelle ore soleggiate della giornata, l’equazione di bilancio termico sul serbatoio d’accumulo ben miscelato è

(𝜌𝑉)𝑠𝑡𝑐𝑝

𝑑𝑇_𝑠𝑡

𝑑𝑡 = 𝐴𝑐[𝐼 𝐹𝑅(𝜏𝛼) − 𝐹𝑅𝑈𝐿(𝑇𝑠𝑡− 𝑇𝑎)] − 𝑚̇𝑆 𝑐𝑝(𝑇𝑠𝑡− 𝑇𝑅) − 𝑈𝑠𝑡𝐴𝑠𝑡(𝑇𝑠𝑡− 𝑇𝑎) Da notare che, per il termine che descrive le dispersioni termiche sul collettore solare, si ha 𝑇𝑖𝑛= 𝑇𝑠𝑡, questo perché l’equazione scritta sopra è riferita ad un’architettura del tipo closed

loop.

Mentre, nelle ore non soleggiate, risulta

(𝜌𝑉)_𝑠𝑡𝑐_𝑝𝑑𝑇𝑠𝑡

𝑑𝑡 = −𝑚̇𝑆 𝑐𝑝(𝑇𝑠𝑡− 𝑇𝑅) − 𝑈𝑠𝑡𝐴𝑠𝑡(𝑇𝑠𝑡− 𝑇𝑎)

Dalla soluzione delle due equazioni si ricava rispettivamente il profilo di temperatura dello storage rispettivamente nelle ore di luce e in quelle di buio ( 𝑇_{𝑠𝑡,𝑙}(𝑡) e 𝑇_{𝑠𝑡,𝑏}(𝑡)). Integrando nel tempo i profili di temperatura così ricavati è possibile determinare il valore medio della temperatura del serbatoio d’accumulo nelle ore di luce e in quelle di buio (𝑇̅𝑠𝑡,𝑙 𝑒 𝑇̅𝑠𝑡,𝑏).

Seguendo lo stesso procedimento si calcola il valor medio della soglia operativa (o radiazione critica) del sistema 𝐼̅_𝑐.

𝑇̅_{𝑠𝑡,𝑙} = 1 𝑛_𝑎𝑡∫ 𝑇𝑠𝑡,𝑙(𝑡)𝑑𝑡 𝑛𝑎𝑡 0 𝑇̅𝑠𝑡,𝑏= 1 𝑛𝑏∫ 𝑇𝑠𝑡,𝑏(𝑡)𝑑𝑡 𝑛𝑏 0 𝐼𝑒𝑓𝑓 = 𝐹𝑅𝑈𝐿(𝑇𝑒𝑓𝑓− 𝑇𝑎) 𝐴_𝑐𝐹_𝑅(𝜏𝛼)

50 𝐼̅_𝑐 = 1 𝑛_𝑎𝑡∫ [ 𝐹_𝑅𝑈_𝐿(𝑇_{𝑠𝑡,𝑙}(𝑡) − 𝑇_𝑎) 𝐴_𝑐𝐹_𝑅(𝜏𝛼) ] 𝑑𝑡 𝑛𝑎𝑡 0

Dove 𝑛𝑎𝑡 e 𝑛𝑏 indicano rispettivamente le ore di luce e di buio all’interno della giornata.

Il valore della soluzione dipende dalla temperatura iniziale del serbatoio d’accumulo 𝑇𝑠𝑡(0);

questa può essere espressa in termini di parametri di sistema noti, comunque, oltre un periodo di tempo sufficientemente lungo, il sistema raggiunge una condizione di quasi- stazionarietà in cui la dipendenza temporale della temperatura dell’accumulo non cambia da un giorno all’altro e risulta indipendente dal valore iniziale. La condizione di quasi stazionarietà si traduce analiticamente attraverso la seguente relazione.

𝑇𝑠𝑡,𝑙(𝑡 = 0) = 𝑇𝑠𝑡,𝑏(𝑡 = 𝑛𝑏)

Tale equazione fornisce una condizione auto-consistente con cui 𝑇𝑠𝑡(0) può essere eliminato

e il problema può essere risolto.

Si calcola l’energia media giornaliera annua raccolta dal collettore: 𝑄̅𝑠,𝑔 = 𝐴𝑐𝐹𝑅(𝜏𝛼)𝐼̅ 𝑛𝑎𝑡 𝜙(𝐼𝑒𝑓𝑓 = 𝐼̅𝑐)

Dove si è posto 𝐼̅_𝑎 = 𝐼̅ 𝑛_𝑎𝑡 per l’ipotesi di modello a radiazione costante e, per il calcolo della funzione di utilizzabilità, si utilizza una formula semi-empirica semplice del tipo

𝜙(𝐼̅_𝑐) = [1 − ( 𝐼̅𝑐 𝐼_𝑚𝑎𝑥)]

𝐼𝑚𝑎𝑥(1−𝑝)

𝐼̅ ⁄

Dove 𝐼𝑚𝑎𝑥 rappresenta il picco massimo della radiazione solare incidente sul collettore e 𝑝

la frazione delle ore diurne durante le quali il collettore non recepisce insolazione, il suo valore dipende dal tipo di collettore cui ci si riferisce (per collettori solari piani 𝑝 =0). L’energia raccolta utile giornaliera media annua utile 𝐿𝑐:

𝐿̅_𝑐,𝑔 = 𝑄̅_𝑠,𝑔− 𝑄̅_{𝑠𝑡𝑙,𝑔}

Dove le perdite energetiche giornaliere medie annue 𝑄̅𝑠𝑡𝑙,𝑔 sono date dalla somma delle

51 𝑄̅_{𝑠𝑡𝑙,𝑔} = 𝑈_𝑠𝑡𝐴_𝑠𝑡 [𝑛_𝑎𝑡 (𝑇̅_{𝑠𝑡,𝑙}− 𝑇_𝑎) + 𝑛_𝑏(𝑇̅_{𝑠𝑡,𝑏} − 𝑇_𝑎)]

Infine, si calcola la frazione solare 𝑓 dal rapporto dell’energia media giornaliera annua con il carico termico giornaliero medio annuo.

𝑓 =𝐿̅𝑐,𝑔 𝐿̅_𝑔

Il vantaggio principale degli approcci analitici è che sono applicabili per qualsiasi tipologia di collettore e fluidi di lavoro, in quanto non si rifanno a relazioni frutto di simulazioni dettagliate antecedenti. Inoltre, la forma analitica semplice delle soluzioni permette all’utente di comprendere con più facilità le relazioni che legano le prestazioni a lungo termine dell’impianto con i parametri esogeni variabili. Come detto in precedenza, le ipotesi iniziali permettono di formulare con facilità l’espressione analitica su cui si fonda la metodologia, ma al tempo stesso ne riducono il campo di applicabilità. In particolare, gli approcci analitici sono limitati alla progettazione di sistemi con tempi di rilassamento relativamente lunghi, quindi dotati una certa dimensione del serbatoio d’accumulo. Per impianti dotati di piccoli accumuli o privi di accumulo, cade l’ipotesi per cui il sistema è affetto unicamente dai valori medi dei dati di input imposti (parametri esogeni costretti) e l’applicazione dell’approccio porta a errori grossolani. L’applicazione del modello è limitata a sistemi con valori medi della soglia operativa del collettore bassi. Per alti valori di soglia, il tempo operativo del collettore, ovvero le ore in cui raccoglie energia utile per il sistema, diviene significativamente inferiore alle ore di luce e il valore della radiazione solare media percepita dal collettore si scosta da quello della radiazione media giornaliera effettiva (utilizzata per il calcolo). Inoltre, per alti valori della soglia operativa le fluttuazioni delle grandezze climatiche e del carico assumono una rilevanza maggiore e quindi, l’ipotesi di modello a radiazione costante non è più accettabile.