Costruzione della funzione Utilità

Lo scopo della metodologia è quello di rintracciare i valori della superficie captante dei collettori e della capacità del sistema d’accumulo che ottimizzano le prestazioni dell’impianto. Il criterio scelto per definire e rintracciare l’ottimo è quello dell’analisi termo- economica che ricorre alla funzione utilità “costo economico annuo”; in questo senso, i valori ottimi di 𝐴_𝑐 e 𝑉_𝑠𝑡sono quelli cui corrispondono le spese annue minime dell’impianto. Tornando alla relazione di ricorrenza della temperatura dello storage, si nota che, una volta definiti i parametri del problema, questa è funzione unica del grado di copertura 𝐺𝐶, che

66 appare implicitamente nella formula all’interno di 𝐴_𝑐. Per la proprietà transitiva le prestazioni dell’impianto, che dipendono da 𝑇_𝑠𝑡, sono funzioni di 𝐺𝐶.

L’idea è quella di imporre il grado di copertura come variabile indipendente del problema ed esprimere i termini di ogni funzione obiettivo in relazione alla variabile scelta. Si formula quindi la funzione utilità “costo economico annuo” come la combinazione lineare delle funzioni obiettivo. Si considera il costo globale dell’impianto come la somma di tre termini: il costo dei componenti, il costo del combustibile e il costo delle irreversibilità. Di seguito si sviluppano le relazioni corrispondenti in funzione di 𝐺𝐶.

𝐶𝑡𝑜𝑡(𝐺𝐶) = 𝐶𝑐𝑜𝑚𝑝∗ (𝐺𝐶) + 𝐶𝑓𝑢𝑒𝑙(𝐺𝐶) + 𝐶𝑖𝑟𝑟(𝐺𝐶)

Costo dei componenti

Nonostante l’impianto solare termico sia costituito da una notevole quantità di dispositivi necessari al suo funzionamento, si riduce, semplificando, il costo dell’impianto alla somma del costo dei collettori solari (𝐶_𝑐), del sistema di accumulo (𝐶_𝑠𝑡) e del sistema di riscaldamento ausiliario (𝐶_𝑎𝑢𝑥), in quanto quest’ultimi rappresentano l’aliquota di spesa preponderante.

𝐶_{𝑐𝑜𝑚𝑝}(𝐺𝐶) = 𝐶_𝑐(𝐺𝐶) + 𝐶_𝑠𝑡(𝐺𝐶) + 𝐶_𝑎𝑢𝑥

Si esprime il costo di ogni singolo componente come:

𝐶_𝑖 = 𝐶_{𝑖,𝑟𝑖𝑓}( 𝑇𝑖 𝑇_{𝑖,𝑟𝑖𝑓} )

𝛼𝑖

La relazione sopra scritta permette di calcolare il prezzo di un dato articolo (𝐶_𝑖), di una data dimensione o taglia (𝑇𝑖), quando è noto il prezzo del medesimo articolo (𝐶𝑖,𝑟𝑖𝑓) per una certa

dimensione 𝑇𝑖,𝑟𝑖𝑓. L’esponente 𝛼, chiamato fattore di scala, rappresenta un parametro

fondamentale per la stima dei costi di vari articoli in funzione delle loro dimensioni. Per l’attrezzatura di processi termici il valore del fattore di scala è generalmente compreso fra 0.6 e 1, vale a dire che il valore con cui aumenta il costo dei dispositivi è più piccolo del valore con cui aumentano le loro dimensioni.

67 La taglia dei collettori solari e del serbatoio d’accumulo, quindi il loro costo, è funzione del grado di copertura imposto al sistema, per cui si scrive:

𝐶_𝑐 = 𝐶_{𝑐,𝑟𝑖𝑓}( 𝐴𝑐(𝐺𝐶) 𝐴𝑐,𝑟𝑖𝑓 ) 𝛼𝑐 𝐶_𝑠𝑡 = 𝐶_{𝑠𝑡,𝑟𝑖𝑓}( 𝑉𝑠𝑡(𝐺𝐶) 𝑉𝑠𝑡,𝑟𝑖𝑓 ) 𝛼𝑠𝑡

Per quanto riguarda il sistema di riscaldamento ausiliario, questo viene dimensionato in modo tale da poter alimentare da solo la totalità della domanda energetica, al fine di evitare che ad un eventuale fermo al sistema solare termico corrisponda una mancata produzione. Proprio per questo motivo il costo del sistema di riscaldamento ausiliario è indipendente dalla variabile 𝐺𝐶, ma per il suo costo vale comunque la relazione scritta per gli altri componenti:

𝐶_𝑎𝑢𝑥= 𝐶_{𝑎𝑢𝑥,𝑟𝑖𝑓}( 𝑃𝑎𝑢𝑥 𝑃_{𝑎𝑢𝑥,𝑟𝑖𝑓} )

𝛼𝑎𝑢𝑥

Costo del combustibile

Banalmente definiamo questo termine come il prodotto fra la quantità di combustibile utilizzata in un anno e il suo costo specifico.

𝐶_{𝑓𝑢𝑒𝑙}(𝐺𝐶) = 𝑐_{𝑓𝑢𝑒𝑙} 𝑚_{𝑓𝑢𝑒𝑙,𝑜}(𝐺𝐶)

Costo delle irreversibilità

Come detto in precedenza, è proprio per la presenza di questo termine che l’analisi termo- economica si diversifica da quella tecno-economica (o economica classica). Le irreversibilità, o perdite exergetiche, di ogni sistema possono essere paragonate ad una mancata produzione energetica. Attribuendo un costo specifico fisso alle perdite exergetiche (𝑐_𝑖𝑟𝑟) si riescono a paragonare quantitativamente fra loro sistemi energetici che si diversificano sia per le fonti energetiche che sfruttano sia per l’uso che ne fanno. I costi specifici fino ad ora incontrati possono essere facilmente ricavati dalla letteratura. Per quanto riguarda le irreversibilità, ovviamente, non esiste un costo specifico cui fare riferimento, ma il valore economico che si attribuisce loro dipende dal metodo di valutazione scelto. Nel caso di impianti solari termici, l’unico processo che da origine a irreversibilità è rappresentato dall’azione del sistema di riscaldamento ausiliario, che produce energia di

68 seconda specie a partire dall’energia di prima specie chimicamente contenuta nel combustibile. Per la valutazione delle irreversibilità si converte la quantità di energia degradata nella corrispettiva quantità di combustibile equivalente 𝑚_{𝑓𝑢𝑒𝑙 𝑒𝑞,𝑜}(𝐺𝐶), cui successivamente si attribuisce un costo specifico.

𝐶_𝑖𝑟𝑟(𝐺𝐶) = 𝑐𝑖𝑟𝑟 _𝑚𝑓𝑢𝑒𝑙 𝑒𝑞,𝑜(𝐺𝐶) con 𝑐𝑖𝑟𝑟 = 𝑘 𝑐𝑓𝑢𝑒𝑙

Nel nostro caso, si fa riferimento a tre particolari valori questo parametro, che traducono in termini numerici tre diverse visioni del medesimo problema di ottimizzazione:

𝑐_𝑖𝑟𝑟=0 “Visione Economica Classica”, caso particolare per cui la trattazione termo-economica corrisponde a quella tecno-economica;

𝑐_{𝑖𝑟𝑟 = 𝑐𝑓𝑢𝑒𝑙 “Visione Ecologista”, che penalizza fortemente l’utilizzo di} combustibili fossili;

𝑐_{𝑖𝑟𝑟 = 𝑐𝑓𝑢𝑒𝑙} 𝜂̅_{𝑐,𝑜 “Visione di Compromesso”, che penalizza parzialmente l’utilizzo di} combustibili fossili dato che il corretto funzionamento di un impianto solare non può prescindere dalla presenza di un sistema di riscaldamento ausiliario.

Da notare che, mentre le spese che riguardano il costo del combustibile e quello delle irreversibilità sono riferite ad un anno di funzionamento dell’impianto, quelle che riguardano l’investimento, in quanto tali, sono spese puntuali. Per questo motivo è necessario riferire quest’ultime al periodo di riferimento delle altre, considerando il periodo di vita dell’impianto solare 𝑡𝑣.

𝐶_{𝑐𝑜𝑚𝑝}∗ _{(𝐺𝐶) =}𝐶𝑐𝑜𝑚𝑝(𝐺𝐶)

𝑡_𝑣

Le relazioni scritte sopra in funzione di 𝐺𝐶 rappresentano le singole funzioni obiettivo del problema dell’ottimizzazione e i fattori peso, necessari per la costruzione della funzione utilità, sono rappresentati dal loro costo specifico.

Si scrive quindi la funzione di utilità risultante da minimizzare.

𝐶(𝐺𝐶) = ∑ 𝐶_{𝑟𝑖𝑓,𝑖}( 𝑇𝑖 𝑇_{𝑟𝑖𝑓,𝑖} ) 𝛼𝑖 3 𝑖=1 + 𝑐_{𝑓𝑢𝑒𝑙} 𝑚_{𝑓𝑢𝑒𝑙,𝑜}(𝐺𝐶)(𝐺𝐶) + 𝑐_{𝑖𝑟𝑟 𝑚𝑓𝑢𝑒𝑙 𝑒𝑞,𝑜}(𝐺𝐶)

69 Dove i termini che dipendono dalla nuova variabile indipendente 𝐺𝐶 rappresentano le funzioni del problema di ottimizzazione multi-obiettivo iniziale, mentre i fattori peso, necessari per il paragone dei singoli obiettivi e la conseguente costruzione della funzione utilità, sono rappresentati dai loro costi specifici o di riferimento. I vincoli del problema sono definiti dalle condizioni al contorno del sistema stesso e riguardano principalmente limitazioni di livello tecnologico; nel caso in esame l’unico vincolo che si impone riguarda la temperatura dello storage che non deve mai superare quella di ebollizione del liquido (𝑇_𝑠𝑡 ≤ 100°𝐶). Infatti, per temperature superiori ai 100°C risulta necessario l’utilizzo di serbatoi d’accumulo pressurizzati a cui corrispondono architetture impiantistiche differenti.