Approcci a correlazione empirica

L’approccio di correlazione empirica offre un mezzo comodo, semplice e abbastanza accurato per prevedere le prestazioni a lungo termine dei sistemi solari con configurazione e funzionamento pre-specificati o standardizzati. Tali metodi sono limitati all’intervallo di parametri di sistema, climatici e di carico per i quali sono state sviluppate le correlazioni.

f-chart

Uno dei metodi a correlazione empirica più ampiamente utilizzato è il metodo f-chart. L’utilizzo di questo approccio si basa essenzialmente sull’applicazione di una singola correlazione algebrica, specifica per ogni tipologia di impianto, ricavata a priori da una serie di simulazioni TRNSYS effettuate per una vasta gamma di parametri climatici e di sistema. Le correlazioni empiriche sviluppate relazionano la frazione solare mensile a due variabili adimensionali, 𝑋 e 𝑌, funzioni dei parametri esogeni del problema.

𝑋 =𝐴𝑐 𝐹𝑅𝑈𝐿 (𝑇𝑖𝑛− 𝑇𝑎)𝛥𝑡 𝐿

𝑌 =𝐴𝑐 𝐹𝑅(𝜏𝛼) 𝐼𝑜 𝑁𝑔 𝐿

La variabile adimensionale 𝑋 rappresenta il rapporto fra le perdite energetiche mensili del collettore e il carico termico sullo stesso periodo, mentre 𝑌 quello fra l’energia raccolta dal collettore solare e il carico termico.

44 La frazione solare mensile 𝑓_𝑚 risulta quindi data una da funzione lineare del tipo,

𝑓_𝑚 = 𝑎₁𝑋 + 𝑏₁𝑌 + 𝑎₂𝑋2_{+ 𝑏}

2𝑌2+ 𝑎3𝑋3+ 𝑏3𝑌3

dove le costanti 𝑎_𝑖, 𝑏_𝑖 sono specifiche per il tipo di impianto analizzato.

L’ubicazione dell’impianto è descritta da 12 valori della radiazione mensile e da 12 valori della temperatura ambiente mensile. Si ripete il calcolo di 𝑓_𝑚 per ogni mese per un set di parametri esogeni fisso, quindi si ricava le frazioni solari annua da cui si determina la quantità di energia solare raccolta dall’impianto. Successivamente si ripete l’intera procedura per un diverso set di parametri variabili esogeni e infine, attraverso l’analisi economica, si determina il set di parametri ottimale.

ϕ-curves

Un alto approccio progettuale, esempio di questa tipologia, è il metodo di utilizzabilità sviluppato da Whillier e più tardi generalizzato da Liu e Jordan.

La definizione di utilizzabilità ϕ deriva dall’applicazione dell’equazione di Hottel-Whillier che mette in relazione il tasso di raccolta energetica di un collettore solare piano, 𝑄𝑠, con i

parametri metereologici relativi al territorio in cui è chiamato ad operare.

𝑄𝑠 = 𝐴𝑐[𝐼 𝐹𝑅(𝜏𝛼) − 𝐹𝑅𝑈𝐿(𝑇𝑖𝑛− 𝑇𝑎)]

Dall’equazione di Hotter-Whillier risulta che esiste un valore minimo della radiazione incidente necessaria al mantenimento del collettore piano alla temperatura del fluido di lavoro, ovvero un valore minimo della radiazione al di sotto del quale l’impianto non raccoglie energia; il valore della radiazione minima, detta anche radiazione critica 𝐼_𝑐, si ricava imponendo uguale a zero la relazione precedente.

𝑄_𝑠 = 𝐴_𝑐[𝐼 𝐹𝑅(𝜏𝛼) − 𝐹𝑅𝑈𝐿(𝑇𝑖𝑛− 𝑇𝑎)] ≐ 0

𝐼𝑐 =

𝐹_𝑅𝑈_𝐿(𝑇_𝑖𝑛− 𝑇_𝑎) 𝐴𝑐𝐹𝑅(𝜏𝛼)

45 Quindi, affinché la raccolta energetica si verifichi effettivamente, il valore della radiazione incidente sul collettore deve essere maggiore del valore critico ( 𝑄_𝑠 ˃ 0 𝑠𝑒 𝐼 ˃ 𝐼_𝑐).

L’energia raccolta dal collettore solare su 𝑁_𝑔 giorni in una determinata ora è data da 𝑄_{𝑠, 𝑁𝑔} = 𝐴_𝑐𝐹_𝑅(𝜏𝛼) ∑(𝐼 − 𝐼_𝑐)+

𝑁𝑔

0

Dove il simbolo + sta a significare che i termini negativi della sommatoria vengono esclusi dal calcolo. D’altra parte, l’utilizzabilità 𝜙 è definita come:

𝜙 = 1 𝑁𝑔∑ (𝐼 − 𝐼_𝑐)+ 𝐼̅+ 𝑁𝑔 0

Dove 𝐼̅+ rappresenta la media dei valori della radiazione solare che durante il giorno superano quello della radiazione critica.

È quindi possibile esprimere la quantità di energia raccolta dal collettore a lungo termine (un mese ad esempio) per una data ora come:

𝑄_{𝑠,𝑡𝑜𝑡,ℎ} = 𝐴_𝑐𝐹_𝑅(𝜏𝛼)𝐼̅+ _𝜙

Il guadagno di energia utile totale 𝑄_{𝑠,𝑡𝑜𝑡} è quindi la somma dei vari contributi orari, dove 𝑛_𝑎𝑡 è il numero delle ore tra l’alba e il tramonto.

𝑄_{𝑠,𝑡𝑜𝑡} = ∑ 𝑄_{𝑠,𝑡𝑜𝑡,ℎ}

𝑛𝑎𝑡

0

Whiller ha dimostrato che l’utilizzabilità di un impianto è una funzione unica del rapporto fra il valore della radiazione critica e il valor medio delle radiazioni orarie che la superano, indipendentemente dall’ora del giorno. Ha sviluppato dei grafici che forniscono il valore di ϕ in funzione di 𝐼𝑐⁄ , per ogni mese e per diverse condizioni climatiche. 𝐼̅+

L’ipotesi su cui si basa il metodo delle curve di utilità è che il livello critico della radiazione sia costante per ogni ora del giorno per tutto il mese in analisi. In realtà, ciò non accade in quanto 𝐼𝑐 dipende e dalla temperatura di ingresso del fluido nel collettore e dalla temperatura

ambiente. L’esigenza di specificare un valore per la radiazione critica rappresenta la limitazione più grande per l’applicazione di tale metodologia progettuale. Esistono comunque delle situazioni reali per cui tale approssimazione è accettabile (sistemi open loop,

46 impianti dotati di serbatoi di accumulo stagionali) e il metodo rappresenta un valido strumento di progettazione.

𝝓̅-curves

Liu e Jordan hanno ampliato il metodo proposto da Whillier utilizzando i risultati ottenuti dall’analisi statistica dei dati da loro raccolti sulla radiazione solare. Liu e Jordan introducono il parametro 𝐾̅_𝑡, definit come il rapporto tra la radiazione totale giornaliera media mensile su una superficie orizzontale e la radiazione extraterrestre media giornaliera mensile, dimostrando che i grafici di ϕ (𝐼𝑐⁄ ) sono funzioni uniche di questo parametro, 𝐼̅+

per ogni mese e per ogni location. Svilupparono inoltre un metodo per correlare l’effetto dell’inclinazione dei collettori alle curve di utilizzabilità.

I calcoli richiesti dal metodo delle curve di utilizzabilità non possono essere realizzati da un computer perché non si hanno a disposizione le rappresentazioni analitiche delle funzioni ϕ (𝐼𝑐⁄ ), per questo sono molto dispendiosi. Il miglioramento apportato da Liu e Jordan 𝐼̅+

permette di ottenere gli stessi risultai del metodo originale ma con uno sforzo computazionale ridotto.

Si determina l’energia totale raccolta dal collettore dalla somma dei contributi orari sull’intero periodo,

𝑄𝑠,𝑡𝑜𝑡 = 𝐴𝑐𝐹𝑅(𝜏𝛼) ∑ ∑(𝐼 − 𝐼𝑐)+ 𝑛𝑎𝑡

𝑁𝑔

e il valore dell’utilizzabilità giornaliera mediata sul mese in esame come

𝜙̅ = ∑ ∑ (𝐼 − 𝐼𝑐)

+ 𝑛𝑎𝑡

𝑁𝑔

∑ ∑𝑁𝑔 𝑛𝑎𝑡𝐼

Il denominatore rappresenta la radiazione totale incidente sulla superficie del collettore durante il mese e corrisponde al prodotto della radiazione media giornaliera mediata sul mese e del numero dei giorni del mese.

∑ ∑ 𝐼

𝑛𝑎𝑡

𝑁𝑔

= 𝐼̅𝑚 𝑁𝑔

47 Il valore di 𝜙̅ dipende dalle distribuzioni giornaliere della radiazione solare nel mese in esame.

La radiazione giornaliera mediata sul periodo di tempo esteso che incide su una superficie orizzontale può essere espressa in funzione del rapporto fra la radiazione totale giornaliera media mensile su una superficie orizzontale (𝐼̅_𝑚) e la radiazione extraterrestre media giornaliera mensile (𝐼̅_{𝑚,𝑒𝑥}). Si definisce tale rapporto come 𝐾̅_𝑡. Liu e Jordan hanno dimostrato che, per periodi di tempo lunghi, la distribuzione della radiazione totale giornaliera corrispondente a un certo valore di 𝐾̅𝑡 è unica, indipendentemente dal mese e

dalla location. In questo modo l’effetto della distribuzione dell’insolazione giornaliera sul valore di 𝜙̅ è relazionato alla sola variabile di tale parametro.

Inoltre, è stato dimostrato che il valore di 𝜙̅ è definito completamente da 𝐾̅𝑡 e altri due

parametri, 𝑋𝑐 e 𝐹̅ (funzioni dei parametri esogeni del sistema). 𝑋𝑐 è un parametro

adimensionale definito come il rapporto fra il livello critico della radiazione e la massima radiazione della distribuzione giornaliera mediata sul mese; mentre 𝐹̅ è un parametro geometrico che riassume gli effetti dell’orientazione, inclinazione e ubicazione dei collettori con 𝜙̅.

I parametri esogeni fissati per il sistema determinano il valore di 𝐾̅_𝑡, 𝑋_𝑐 e 𝐹̅ , che forniscono univocamente il valore di 𝜙̅; noto il valore dell’utilità media si calcola la quantità di energia utile raccolta mensilmente dal sistema. Ripetendo tale procedimento per ogni mese si ricavano le prestazioni annuali del sistema.