Approccio multicriterio non compensativo

Utilizzando tecniche di aggregazione additive o moltiplicative, i pesi vanno ad assumere il significato di “tassi di scambio” (trade-off111_{) e non indicano l’importanza degli indicatori} ad essi associati. Ciò implica una logica di compensazione per cui è possibile compensare situazioni negative rispetto ad alcuni aspetti con valutazioni positive in altri. Approfondiremo tale questione in seguito: ci siamo qui limitati a riportarla brevemente per introdurre un ulteriore approccio utilizzato nella fase di aggregazione di indicatori elementari, caratterizzato dall’assunzione del significato di “coefficienti d’importanza” dei pesi attribuiti agli indicatori. Si tratta del criterio denominato approccio multicriterio non compensativo, il quale risolve il problema dato dalla logica della compensazione alla luce dell’assenza dell’indipendenza preferenziale112_.

Dato un insieme di indicatori G = {xi} (i = 1, …, m) ed un insieme finito di N unità, si

assume che la valutazione di ciascuna unità rispetto ad un singolo indicatore xi si basi su

una scala di misura intervallo o rapporto. Per semplicità di esposizione, si ipotizza che un valore più elevato dell’indicatore sia preferibile a un valore inferiore: in altre parole significa che l’unità con valore dell’indicatore più alto è la migliore. Si suppone inoltre l'esistenza di un insieme di pesi w = {wi} che sommano a 1 (X

i 1

m

wi 1) interpretati come

coefficienti d’importanza. Questa informazione costituisce la matrice di impatto.

Dal punto di vista matematico, il problema si traduce nella ricerca di un modo per utilizzare queste informazioni al fine di creare una graduatoria delle unità dalla migliore alla peggiore senza alcuna relazione di incomparabilità. Quattro sono i punti particolarmente importanti:

- intensità di preferenza (quanto un’unità a è meglio dell’unità b rispetto all’indicatore i );

- numero di indicatori a favore di una determinata unità; - peso attribuito a ciascun indicatore;

- rapporto tra ogni unità e le altre appartenenti all’insieme valutato. L’operazione matematica di aggregazione può essere divisa in due fasi:

111 _{Il trade-off indica la situazione in cui un guadagno rispetto a un dato obiettivo implica necessariamente una perdita} riguardo a un altro.

112 _{L’indipendenza preferenziale è una condizione molto forte sui dati: implica che rapporto trade-off tra due variabili sia} indipendente dei valori delle restanti m-2 variabili. Da un punto di vista operativo, ciò significa che una funzione di aggregazione additiva permette la valutazione del contributo marginale di ciascuna variabile separatamente. Questi contributi marginali possono quindi essere sommati per ottenere un valore sintetico complessivo.

- confronto a coppie delle unità in base all’insieme completo di indicatori; - classifica delle unità in ordine preliminare completo.

Il risultato del primo passo è una matrice E di dimensioni NxN chiamata matrice outranking (matrice di posizionamento) il cui generico elemento ejk con j  k è il risultato

del confronto a coppie tra l’unità j e l’unità k rispetto all’insieme completo degli m

indicatori elementari. Ogni confronto tra coppie di unità è ottenuto dalla seguente equazione: e_ik X i 1 m wi Prjk b c 1 2 fff_w i Injk b c h j i k dove wi Prjk b c e wi Injk b c

sono i pesi assegnati agli indicatori che presentano una relazione rispettivamente di preferenza (Pr) e di indifferenza (In). In altre parole, il punteggio dell’unità j è dato dalla somma dei pesi degli indicatori elementari per cui j è migliore di k

e dalla metà dei pesi associati agli eventuali indicatori per cui le due unità risultano avere la stessa performance. Chiaramente e_jk e_kj 1.

Il problema è quindi quello di valutare se l’i-esimo indicatore è più elevato per l’unità A o per l’unità B; se realmente, ad esempio, l’unità A ha una valutazione superiore, si ottiene il peso dell’indicatore i che entra nel calcolo dell’importanza globale dell’unità A, coerentemente con la definizione di pesi quali misure d’importanza.

Il modo in cui le informazioni vengono combinate genera una pluralità di possibili graduatorie, ciascuna delle quali ha propri limiti e vantaggi. Un possibile algoritmo da applicare per la costruzione di tali graduatorie è il Condorcet-Kemeny-Young-Levenglick (CKYL)113. Secondo tale procedura, la classificazione delle unità con la maggiore verosimiglianza è quella sostenuta dal massimo numero di indicatori per ogni confronto a coppia, cumulativamente su tutte le coppie di unità considerate. Formalmente, tutti gli

N(N-1) confronti a coppie compongono la matrice outranking E. Definiamo R l'insieme di tutte le N! possibili graduatorie alternative, tale che R = {rs} con s=1, 2 ,..., N!. Per ogni rs

viene calcolato il corrispondente punteggio M_s come sommatoria degli elementi ejk di tutte

le N

2

f g

coppie di confronto j,k. Formalmente avremo

M_s Xe_jk .

113 _{Munda, G. and Nardo, M. (2003), On the methodological foundations of composite indicators used for ranking} countries, OECD/JRC Workshop on Composite Indicators of Country Performance, Ispra, Italy, May 12.

La graduatoria finale (r*) è la soluzione di

r* ^M

s maxXejk

ovvero la permutazione con il punteggio maggiore.

Questo metodo di aggregazione ha il vantaggio di superare alcuni dei problemi sollevati dalle aggregazioni additive o moltiplicative, quali la dipendenza preferenziale, l'uso di diverse scale rapporto o intervallo per esprimere lo stesso indicatore ed il significato di trade-off dato ai pesi. Con questo metodo, inoltre, le informazioni qualitative e quantitative possono essere trattate congiuntamente. Inoltre, non necessita l’applicazione di manipolazioni o di normalizzazioni sugli indicatori per garantirne la comparabilità.

D’altra parte, tale tecnica presenta anche alcuni inconvenienti quali, prima fra tutti, la dipendenza delle alternative irrilevanti, vale a dire la possibile presenza di inversioni nei cicli/graduatorie per cui nella graduatoria finale l’unità A risulta migliore di B, B è preferibile a C, ma C è preferibile ad A. Inoltre, l’informazione sull’intensità di preferenza delle variabili non viene mai utilizzata: se un indicatore per l’unità A è di molto inferiore al valore dello stesso indicatore per l’unità B, la graduatoria sarà uguale a quella che viene prodotta nel caso in cui tale differenza sia molto piccola.

Infine vogliamo far notare come il punto focale di questo metodo sia spostato, piuttosto che alla mera aggregazione degli indicatori, sulla determinazione dei pesi, cruciale per la determinazione della graduatoria finale delle unità.