Approccio spectrum – blind

Un requisito fondamentale, comune a entrambe le precedenti proposte, è la conoscenza a priori delle portanti. Solitamente, però, tali valori sono incogniti o, comunque, variano nel tempo secondo andamenti non prevedibili.

Per affrontare simili situazioni servono i cosiddetti metodi spectrum – blind, in grado di ricostruire il segnale analizzato pur ignorandone il supporto spettrale.

4.4.1 Multi – coset sampling

In questo contesto si inserisce perfettamente il multi – coset sampling [32, 33], un paradigma applicabile in linea teorica a qualsiasi classe di segnali.

Il protocollo tradizionale adotta una griglia di campionamento uniforme, il cui passo è pari all’inverso della frequenza di Nyquist, ossia 𝑇𝑇 = 1 𝑓𝑓⁄ _{𝑁𝑁𝑦𝑦𝑁𝑁}. Il multi – coset sampling, invece, utilizza solo una selezione dei campioni raccolti in tal modo.

In particolare, la griglia uniforme viene suddivisa in blocchi di 𝑀𝑀 campioni consecutivi. Una sequenza tempo invariante 𝐶𝐶 contiene gli indici degli 𝑚𝑚 campioni che vengono conservati in ogni blocco, mentre gli altri vengono trascurati, tanto da essere posti a zero. In altri termini, l’acquisizione consiste nella ripetizione della sequenza 𝐶𝐶, con un periodo pari a 𝑀𝑀𝑇𝑇.

I parametri del protocollo sono fondamentalmente tre: la lunghezza 𝑀𝑀 di ogni blocco, il numero e la localizzazione dei campioni da conservare. Nell’attribuire loro dei valori specifici, viene imposta un’unica condizione: ai campioni acquisiti deve corrispondere uno ed un solo segnale. In caso contrario, la ricostruzione del segnale di interesse risulta un problema mal posto, che ammette molteplici soluzioni, tutte ugualmente plausibili e coerenti con i dati a disposizione.

Adottato il consueto sistema matriciale delle misure, 𝒚𝒚 = 𝑨𝑨𝑨𝑨, si dimostra una condizione sufficiente per l’unicità della soluzione, che ricorre al rango di Kruskal della matrice 𝑨𝑨, indicato come 𝜎𝜎(𝑨𝑨).

T.4.1 Una sequenza di campionamento 𝐶𝐶 che produce una matrice 𝑨𝑨 di rango massimo, ossia 𝜎𝜎(𝑨𝑨) = 𝑚𝑚, assicura l’unicità della soluzione [34].

4.4.2 Pregi del multi – coset sampling

Il multi – coset sampling si presta all’analisi di qualsiasi classe di segnali, in quanto non dipende in alcun modo dal supporto spettrale. Le prestazioni, già buone, sono state progressivamente affinate, risolvendo gli aspetti più delicati e meno efficienti.

A tal proposito, un recente articolo ne ha ricavato un protocollo perfettamente spectrum – blind [34], che non richiede alcuna informazione a priori, né in fase di campionamento, né in fase di ricostruzione: per esempio, il supporto spettrale originario viene stimato grazie ad opportune proprietà della trasformata discreta di Fourier.

4.4.3 Campionamento periodico non uniforme

La strategia seguita dal multi – coset sampling non costituisce un’innovazione assoluta, quanto piuttosto un caso particolare del già citato campionamento periodico non uniforme.

L’aspetto di maggiore rilevanza di questo approccio non ha natura teorica, bensì tecnologica: invece di implementare un singolo convertitore che operi ad un’elevata frequenza 𝑅𝑅, si ricorre ad un sistema di interleaved ADC. In particolare, si utilizzano 𝑀𝑀 convertitori, opportunamente sfasati nel tempo, che operano ad una frequenza pari a 𝑅𝑅/𝑀𝑀.

Entrambe le implementazioni forniscono la medesima sequenza di campioni, però la scelta degli interleaved ADC riduce lo stress imposto ai dispositivi elettronici, chiamati ad operare in un range di frequenze ottimale e non più in prossimità dei loro limiti intrinseci.

Inoltre, agendo opportunamente sul numero di convertitori, si riescono ad analizzare anche segnali con estensione spettrale altrimenti incompatibile con le specifiche tecniche degli attuali dispositivi.

A fronte di questi vantaggi, emergono due limiti fondamentali.

In primo luogo, tutti gli 𝑀𝑀 convertitori a bassa frequenza devono condividere lo stesso terminale di ingresso, che quindi deve supportare l’intera estensione spettrale del segnale analizzato.

In secondo luogo, non è facile implementare un sistema di interleaved ADC capace di mantenere con precisione sfasamenti temporali dell’ordine di 1/𝑅𝑅𝑀𝑀 secondi. La probabilità di commettere errori e la loro incidenza sui risultati finali aumentano di pari passo con i valori dei parametri 𝑅𝑅 e 𝑀𝑀.

Figura 4.2 Schema di campionamento con interleaved ADC:

La compresenza di questi aspetti può produrre una distorsione non trascurabile del segnale acquisito e invalidare i risultati finali. Ovviamente, il multi – coset sampling, trattandosi di una particolare configurazione di interleaved ADC, ne condivide limiti e difetti.

4.4.4 Demodulatore casuale

Il cosiddetto demodulatore casuale è un’architettura specializzata nell’acquisizione dei segnali multi – tono. Un segnale multi – tono è il risultato della sovrapposizione di diverse onde sinusoidali, o toni, ciascuna caratterizzata da specifiche ampiezza, fase e frequenza. Tipicamente, un segnale multi – tono viene generato in modo tale da contenere un numero intero di cicli di ogni tono [35].

La trasformata di Fourier restituisce uno spettro in cui ogni tono è rappresentato da un impulso centrato nella frequenza corrispondente. Questa particolare configurazione spettrale rende i segnali multi tono un ideale banco di prova per valutare la risposta in frequenza di un sistema di acquisizione.

Il progetto del demodulatore casuale si fonda su una sequenza di tre operazioni basilari. Innanzitutto, il segnale in ingresso viene modulato mediante un generatore ad alta frequenza di numeri pseudo – casuali. Il risultato viene, quindi, integrato ed infine campionato a bassa frequenza [36].

Ad una prima analisi, tale procedura è assolutamente universale e si presta all’analisi di qualsiasi segnale multi – tono, ma in realtà impone due condizioni inderogabili che ne limitano notevolmente il campo di applicazione.

In primo luogo, sono ammessi soltanto segnali discreti [36]. Di conseguenza, eventuali segnali continui devono essere preliminarmente campionati secondo una griglia uniforme e invariante nel tempo. Evidentemente, il passo di tale griglia incide da un lato sulla mole dei campioni, dall’altro sulla risoluzione con cui approssimo il segnale originario.

In secondo luogo, il numero di toni deve essere finito [36]. Anche questo vincolo può determinare la perdita di alcuni dettagli o, comunque, una minore aderenza al segnale originario.