Modelli per le sequenze campionate

Risolti i problemi legati all’acquisizione del segnale originario, l’attenzione si sposta sull’analisi dei campioni. L’approccio più semplice ed immediato prevede di considerare separatamente le sequenze generate nei diversi canali. In questo contesto si inserisce il paradigma SMV, ossia single measurement vector, dove i campioni vengono rappresentati come gli elementi di un vettore, risultato del prodotto interno tra il segnale originario e la matrice di sensing.

Una prima estensione è offerta dal paradigma MMV, ossia multiple measurement vectors, che adotta una visione di insieme: le diverse sequenze sono interpretate come insiemi finiti di vettori congiuntamente sparsi. In particolare, gli indici degli elementi non nulli dei vari vettori appartengono ad uno stesso insieme comune.

Tale approccio gode di notevole successo, tanto da essere applicato in diversi ambiti e contesti. Tra questi si citano gli esami di MEG [46, 47], oppure ancora le analisi spettrali non parametriche [48] o infine le procedure di equalizzazione dei canali in una comunicazione sparsa [49, 50].

Un’ulteriore e decisiva estensione conduce al paradigma IMV, ossia infinite measurement vectors, secondo il quale le sequenze costituiscono degli insiemi infiniti di vettori congiuntamente sparsi. Come nel caso precedente, esiste un insieme che contiene gli indici degli elementi non nulli dei vari vettori. Gli ambiti di applicazione sono molteplici, ma quello più citato in letteratura è proprio la ricostruzione dei segnali analogici. La possibilità di ricorrere ad infiniti vettori consente, infatti, di riprodurre fedelmente il loro andamento continuo, che qualsiasi approccio finito può soltanto approssimare.

Per esempio, anche il modello ℳ può essere considerato un esempio particolare di modello IMV. Allo stesso modo, il radar CS rimpiazza la consueta approssimazione discreta dei velivoli con un modello IMV [51], perché i risultati forniti dallo strumento siano più precisi e dettagliati.

4.12.1 Duplice conversione

In linea di principio, il convertitore MWC è destinato all’acquisizione dei segnali appartenenti al modello ℳ, quindi conviene avvalersi del paradigma IMV. Tuttavia, una simile scelta comporta la necessità di ricostruire un insieme di cardinalità infinita di vettori congiuntamente sparsi.

In letteratura, i precedenti tentativi in tal senso seguono due approcci analoghi. Elemento comune a entrambi è la conversione dall’ambito continuo all’ambito discreto per ridurre il numero delle incognite da infinito a finito. A variare, invece, è il livello al quale operano.

Il primo approccio mantiene valide le assunzioni iniziali, ma poi ricerca soltanto un’approssimazione discreta di 𝒛𝒛(𝑓𝑓) [52]. Il secondo, invece, modifica la prospettiva sin dai passi iniziali. Infatti, rinuncia al paradigma IMV per un modello discreto di dimensione finita [35].

Eldar e Mishali suggeriscono, invece, una strategia alternativa: sostituire al sistema basato sul paradigma IMV un corrispondente sistema basato sul paradigma MMV. C’è una sola condizione da soddisfare: i modelli IMV e MMV devono condividere lo stesso supporto. In modo del tutto analogo, sebbene non si adotti esattamente lo stesso procedimento, si può sostituire il sistema basato sul paradigma MMV con un corrispondente sistema basato sul paradigma SMV. Ancora una volta, la sola condizione necessaria è rappresentata dalla coincidenza del supporto.

Figura 4.9 Studio neurologico: zone di

Riassumendo, l’approccio di Eldar e Mishali si sviluppa su due livelli. Nel primo, la conversione dal modello IMV al modello MMV riduce le incognite ad un numero finito e consente di trovare una soluzione in forma esplicita del sistema. Nel secondo, la conversione dal modello MMV al modello SMV semplifica notevolmente l’algoritmo risolutivo.

4.12.2 Modello SMV

Nell’ambito del modello SMV, le misure acquisite in ogni canale possono essere rappresentate dal generico sistema: 𝒚𝒚 = 𝑨𝑨𝑨𝑨. Volendo ricostruire il segnale originario, bisogna tenere conto del seguente teorema [53]: T.4.4 Dato il sistema 𝒚𝒚 = 𝑨𝑨𝑨𝑨, se 𝑨𝑨� ne è una soluzione 𝑘𝑘 – sparsa e se il rango di Kruskal della matrice 𝑨𝑨 è

pari ad almeno due volte 𝑘𝑘, ossia 𝜎𝜎(𝑨𝑨) ≥ 2𝑘𝑘, allora 𝑨𝑨� è l’unica soluzione 𝑘𝑘 – sparsa del sistema.

4.12.3 Modello MMV

Quando si passa al modello MMV, conviene adottare una specifica parametrizzazione che distingua i diversi elementi che lo costituiscono. Attenendosi a questo consiglio, il sistema assume la seguente formulazione:

𝒚𝒚(𝜆𝜆) = 𝑨𝑨𝑨𝑨(𝜆𝜆), 𝜆𝜆 ∈ Λ dove Λ è un insieme di cardinalità finita e noto allo sperimentatore.

D.4.4 L’insieme 𝑨𝑨(Λ) = {𝑨𝑨(𝜆𝜆)}𝜆𝜆∈Λ si dice congiuntamente 𝑘𝑘 – sparso se soddisfa le seguenti condizioni: 1) Qualsiasi vettore 𝑨𝑨(𝜆𝜆) è 𝑘𝑘 – sparso.

2) Gli indici degli elementi non nulli dei vari 𝑨𝑨(𝜆𝜆) appartengono ad un medesimo insieme, di dimensione non superiore a 𝑘𝑘 [53].

La presente definizione fornisce diversi spunti per la soluzione del problema. Per esempio, si può considerare singolarmente ogni valore assunto da 𝜆𝜆: il sistema si riconduce così al paradigma SMV e, coerentemente con quanto affermato da T.4.4, l’unicità della soluzione è garantita da 𝜎𝜎(𝑨𝑨) ≥ 2𝑘𝑘.

D’altro canto, un approccio del genere non sfrutta appieno le caratteristiche dell’insieme 𝑨𝑨(Λ). La sparsità congiunta rappresenta un proprietà più forte rispetto alla sparsità semplice. Quindi, è lecito attendersi che sia sufficiente un valore inferiore del rango di Kruskal per garantire l’unicità della soluzione.

A tal proposito, Eldar e Mishali hanno elaborato un teorema, che estende le conoscenze, già affermate in letteratura, inerenti il paradigma MMV.

T.4.5 Se 𝑨𝑨�(Λ) è una soluzione 𝑘𝑘 – sparsa del sistema 𝒚𝒚(𝜆𝜆) = 𝑨𝑨𝑨𝑨(𝜆𝜆), per ogni 𝜆𝜆 ∈ Λ, e se 𝜎𝜎(𝑨𝑨) ≥ 2𝑘𝑘 − �dim�𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚𝑠𝑠�𝒚𝒚(Λ)� − 1��

allora 𝑨𝑨�(Λ) è l’unica soluzione 𝑘𝑘 – sparsa del sistema [53].

Nell’enunciato compare la notazione 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚𝑠𝑠(𝒚𝒚(Λ)) che indica il sottospazio di dimensione minima che contiene l’intero insieme 𝒚𝒚(Λ). Indipendentemente dalla cardinalità di Λ, tale sottospazio ha sicuramente dimensione finita, visto che ogni vettore 𝒚𝒚(𝜆𝜆) ha lunghezza finita.

In fin dei conti, il teorema T.4.5 conferma quanto già suggerito dal buon senso, ossia che la sparsità congiunta impone un vincolo meno stringente sul rango di Kruskal della matrice del sistema.

4.12.4 Analogie SMV – MMV

Un aspetto che balza immediatamente agli occhi nel leggere i teoremi T.4.4 e T.4.5 è la forte similitudine, analogia, che li contraddistingue. In entrambi, infatti, si esprimono due condizioni sufficienti: l’una inerente il rango di Kruskal della matrice 𝑨𝑨, l’altra inerente la sparsità, semplice o congiunta, della soluzione 𝑨𝑨�. Questo ultimo elemento, in particolare, trova spazio in un comune risultato [53]:

T.4.6 Se 𝑨𝑨� è l’unica soluzione 𝑘𝑘 – sparsa del sistema 𝒚𝒚 = 𝑨𝑨𝑨𝑨, allora è anche la soluzione unica più sparsa.