Impianto teorico del convertitore MWC

Dal punto di vista teorico, il passaggio più delicato è senza ombra di dubbio la necessità che alle sequenze di campioni corrisponda uno ed un solo segnale originario 𝑚𝑚(𝑡𝑡), in caso contrario qualsiasi tentativo di ricostruzione si rivelerebbe vano.

Un insieme di teoremi fissa i requisiti che garantiscono l’unicità della ricostruzione. Tuttavia, prima di enunciarli, conviene richiamare alcune definizioni inerenti il concetto di sparsità ed esprimerle in una forma più consona e utile al prosieguo della trattazione [27].

D.4.2 Un vettore 𝒖𝒖 si dice 𝑘𝑘 – sparso se non contiene più di 𝑘𝑘 elementi non nulli o significativi.

Si consideri allora un insieme di vettori definiti su un intervallo continuo, quale può essere 𝒛𝒛�ℱ_𝑝𝑝� = �𝒛𝒛(𝑓𝑓): 𝑓𝑓 ∈ ℱ_𝑝𝑝�

Il supporto di un insieme contiene gli indici dei suoi elementi non nulli. In questo caso, equivale all’unione dei supporti dei vari 𝒛𝒛(𝑓𝑓) e come tale è calcolato:

𝑠𝑠𝑢𝑢𝑝𝑝𝑝𝑝 �𝒛𝒛�ℱ_𝑝𝑝�� = � 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑝𝑝𝑝𝑝(𝒛𝒛(𝑓𝑓))

𝑓𝑓∈ℱ_𝑝𝑝

Alla luce di questa formulazione, è possibile estendere la definizione di sparsità dai singoli vettori agli insiemi di vettori. L’analogia tra i due casi è evidente.

D.4.3 Un insieme di vettori si definisce congiuntamente 𝑘𝑘 – sparso se il suo supporto non contiene più di 𝑘𝑘 indici.

4.11.1 Primo teorema di unicità

T.4.2 Sia 𝑚𝑚(𝑡𝑡) un segnale arbitrario appartenente al modello ℳ. Si proceda al campionamento ad una frequenza pari a 𝑓𝑓_𝑝𝑝 = 𝑑𝑑. Condizioni necessarie per pervenire ad una esatta ricostruzione in assenza di informazioni a priori sul supporto spettrale sono 𝑓𝑓𝑠𝑠≥ 𝑓𝑓𝑝𝑝 e 𝑚𝑚 ≥ 2𝑁𝑁. Se poi la procedura di mixing è implementata mediante funzioni a segno alternato, si aggiunge alle precedenti un’ ulteriore condizione:

𝑀𝑀 ≥ 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠 ≜ 2 �^𝑓𝑓_2𝑓𝑓^{𝑁𝑁𝑦𝑦𝑁𝑁}

𝑝𝑝 +¹₂� − 1

Nel caso particolare in cui 𝑓𝑓_𝑠𝑠 e 𝑓𝑓_𝑝𝑝 coincidono, il valore limite 𝑀𝑀_{𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠} è pari a 𝐿𝐿 [27].

L’enunciato T.4.2 non deve essere considerato una condizione immutabile: al variare delle ipotesi varia anche la condizione.

D’altro canto, all’atto pratico, conviene attenersi a delle linee guida. Per esempio, la scelta di porre 𝑓𝑓𝑝𝑝 = 𝑑𝑑 si rivela vincente: da un lato, garantisce l’univocità della ricostruzione; dall’altro, riduce al minimo la frequenza di campionamento complessiva

Per quanto riguarda, invece, il parametro 𝑀𝑀, considerazioni di natura computazionale suggeriscono di rispettare la disuguaglianza 𝑀𝑀 ≤ 2𝑚𝑚−1. Questa indicazione sorge dal fatto che la matrice 𝑺𝑺 è definita su un alfabeto finito, nello specifico l’insieme {+1, −1}, e non può avere più di 2𝑚𝑚−1 colonne linearmente indipendenti. Di conseguenza, se si optasse per un valore di 𝑀𝑀 > 2𝑚𝑚−1, la matrice 𝐴𝐴 non avrebbe rango pieno, ossia alcuni gradi di libertà sarebbero inutilizzati.

4.11.2 Secondo teorema di unicità

T.4.3 Sia 𝑚𝑚(𝑡𝑡) un segnale arbitrario appartenente al modello ℳ. Si proceda al campionamento adottando funzioni di mixing a segno alterno. Se:

1) 𝑓𝑓𝑠𝑠≥ 𝑓𝑓𝑝𝑝 ≥ 𝑑𝑑 e ^𝑓𝑓𝑠𝑠

𝑓𝑓_𝑝𝑝 <^𝑀𝑀𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠+1 2

2) 𝑀𝑀 ≥ 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠

4) qualsiasi 2𝑁𝑁 colonne della matrice prodotto 𝑺𝑺 𝑭𝑭 sono linearmente indipendenti

Allora, per ogni 𝑓𝑓 ∈ ℱ𝑠𝑠, il vettore 𝒛𝒛(𝑓𝑓) è l’unica soluzione 𝑁𝑁 – sparsa del sistema vettoriale 𝒚𝒚(𝑓𝑓) = 𝑺𝑺 𝑭𝑭 𝑫𝑫 𝒛𝒛(𝑓𝑓) [27].

A differenza del T.4.2, le condizioni imposte dal T.4.3 sono sufficienti, non necessarie. La precisazione è fondamentale e mette in luce la diversa vocazione dei due enunciati: il primo fissa dei vincoli che, una volta soddisfatti dai parametri, garantiscono l’unicità della ricostruzione; il secondo suggerisce una particolare realizzazione del sistema, anche se ne esistono di altrettanto valide.

Tra tutte le possibili realizzazioni, il T.4.3 individua quella che consente di minimizzare il numero di campioni acquisiti e di conseguenza il carico computazionale. In particolare, ponendo 𝑓𝑓_𝑠𝑠= 𝑓𝑓_𝑝𝑝 = 𝑑𝑑 e 𝑚𝑚 = 2𝑁𝑁, la frequenza media di campionamento è pari a 2𝑁𝑁𝑑𝑑. Come ampiamente dimostrato in letteratura, si tratta del minimo valore accessibile per segnali appartenenti al modello ℳ.

Malgrado ciò, l’applicazione di questo secondo teorema apre le porte a due possibili problemi: il primo riguarda il numero dei canali 𝑚𝑚, il secondo riguarda i coefficienti 𝛼𝛼_{𝑠𝑠𝑘𝑘}

.

4.11.3 Il numero dei canali

La matrice 𝑨𝑨 ha un numero di colonne 𝐿𝐿 superiore al numero delle componenti spettrali attive 2𝑁𝑁.

Se 𝑚𝑚 = 2𝑁𝑁 è sufficientemente piccolo, il vincolo imposto dal T.4.2, ossia 𝑀𝑀 ≥ 𝐿𝐿, potrebbe non rispettare il suggerimento 𝑀𝑀 ≤ 2𝑚𝑚−1.

Certo, le due disuguaglianze non hanno lo stesso peso: la prima è una condizione necessaria, la seconda è solo un suggerimento per massimizzare le prestazioni. D’altro canto, la perdita di efficienza è innegabile, visto che il sistema non sfrutta a pieno tutti i suoi possibili gradi di libertà.

Fortunatamente, all’atto pratico questa situazione non si presenta quasi mai, grazie anche all’andamento esponenziale del termine 2𝑚𝑚−1. Peraltro, bastano pochi semplici assestamenti per configurare il convertitore MWC anche nel caso peggiore.

Per esempio, si può adottare una diversa interpretazione del supporto spettrale del segnale originario. A differenza di quanto affermato dal modello ℳ, il segnale 𝑚𝑚(𝑡𝑡) possiede 𝜌𝜌𝑁𝑁 bande attive, il cui spessore massimo è pari a 𝑑𝑑/𝜌𝜌. Applicando queste nuove impostazioni al consueto schema operativo, il numero dei canali si attesta al valore 𝑚𝑚 = 2𝜌𝜌𝑁𝑁.

L’incremento di 𝑚𝑚 ha conseguenze ambivalenti: da una parte, c’è la certezza di soddisfare la disuguaglianza 𝑀𝑀 ≤ 2𝑚𝑚−1; dall’altra, la mole dei campioni aumenta in maniera sproporzionata. Peraltro, il computo totale di dispositivi elettronici ha un notevole impatto sui costi di realizzazione.

In tal senso, ridurre il numero dei canali significherebbe ridurre anche il numero di filtri passa – basso e convertitori analogico – digitali. Una possibile strategia vincente è la seguente: incrementare la frequenza di campionamento 𝑓𝑓𝑠𝑠 in ogni canale consente di ridurne la cifra complessiva.

Anche così, però, non mancano le controindicazioni. La principale è la necessità di aggiungere un ulteriore stadio di elaborazione digitale, che inevitabilmente appesantisce il carico computazionale del sistema.

Scendendo nel dettaglio, l’incremento è formalizzato dall’espressione 𝑓𝑓_𝑠𝑠= 𝑁𝑁𝑓𝑓_𝑝𝑝, dove 𝑁𝑁 = 2𝑁𝑁′ + 1. Mantenendo il medesimo schema operativo, l’𝑠𝑠 – esimo canale restituisce la sequenza campionata [27]:

𝑦𝑦_𝑠𝑠

�𝑓𝑓 + 𝑘𝑘

� = �

�

�

𝐿𝐿₀

𝑙𝑙=−𝐿𝐿₀

dove 𝑓𝑓 ∈ ℱ_𝑝𝑝, 𝑘𝑘 ∈ [−𝑁𝑁′, +𝑁𝑁′]

Utilizzare 𝑚𝑚 canali a frequenza 𝑁𝑁𝑓𝑓_𝑝𝑝 equivale ad utilizzare 𝑚𝑚𝑁𝑁 canali a frequenza 𝑓𝑓_𝑝𝑝. Quindi, in linea di principio, questa strategia consentirebbe di ridursi ad un sistema composto da un unico canale che operi ad una frequenza 𝑓𝑓_𝑠𝑠 = 𝑚𝑚𝑓𝑓_𝑝𝑝.

Contrari a una simile soluzione estrema sono due fenomeni. In primo luogo, nel sistema ridotto ogni canale richiede la successione di 𝑁𝑁 filtri digitali per ricondurre la frequenza nuovamente al valore 𝑓𝑓_𝑝𝑝. In secondo luogo, al crescere di 𝑁𝑁 diventa sempre più difficile approssimare la frequenza di taglio posta a 𝜋𝜋/𝑁𝑁.

Ovviamente, nel caso limite 𝑁𝑁 = 𝑚𝑚, i problemi si manifestano al massimo grado di difficoltà, tanto da rendere praticamente irrealizzabile un sistema con un unico canale.

4.11.4 I coefficienti delle funzioni di mixing

L’ultima delle condizioni sufficienti espresse dal T.4.3 richiede che qualsiasi 2𝑁𝑁 colonne della matrice prodotto 𝑺𝑺 𝑭𝑭 siano linearmente indipendenti. Dal punto di vista computazionale, verificare che i coefficienti 𝛼𝛼_{𝑠𝑠𝑘𝑘} soddisfano tale vincolo non è semplice: bisogna controllare, uno ad uno, il rango di ogni insieme di 2𝑁𝑁 colonne.

D’altro canto, si nota una certa somiglianza con la RIP: la condizione addirittura coincide se si pone 𝛿𝛿_𝑘𝑘 = 𝛿𝛿_2𝑁𝑁< 1. In questo caso, la verifica può essere agevolata dal ricorso a principi di casualità.

Per esempio, gli elementi della matrice segno 𝑺𝑺 possono essere tratti, in maniera indipendente e casuale, da una certa distribuzione di probabilità. A quel punto, 𝑺𝑺 soddisfa la RIP di ordine 𝐾𝐾 se 𝑚𝑚 ≥ 𝐶𝐶𝐾𝐾 log �^𝑀𝑀_𝐾𝐾� [45], dove la costante positiva 𝐶𝐶 non dipende da nessun altro parametro.

La RIP è invariante a qualsiasi trasformazione unitaria delle righe. Pertanto, se 𝑺𝑺 è una matrice segno casuale, allora il prodotto 𝑺𝑺 𝑭𝑭 soddisfa la proprietà di isometria ristretta di ordine 2𝑁𝑁.

In queste osservazioni si è trascurata la matrice 𝑫𝑫. Infatti, data la sua struttura diagonale, non influisce sul supporto delle grandezze cui viene moltiplicata: 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑫𝑫 𝒖𝒖) = 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑝𝑝𝑝𝑝(𝒖𝒖).