L’asse istantaneo di moto

Notazione 2.48. Qui S = (^O,M) è un sistema di riferimento mobile, e ω: I → ^R3è la corrispondente velocità angolare.

Usiamo la scomposizione, per ogni f ∈^R3,

f = [f]_⊥+ [f]_k , (2.53) ove [f]_⊥ denota la componente di f perpendicolare a ω, e [f]_k denota

quella parallela. 

Il seguente Teorema in sostanza mostra che il campo di velocità di trasci-namento relativo a S ha modulo minimo su una retta.

Teorema 2.49. Sia ω(¯t)6=0 per un fissato ¯t∈ I. Il luogo dei punti x∈^R3ove

|^Vt(x, ¯t)|è minimo è la retta di equazione

x= γ(¯t) +λω(¯t), λ∈ ^{R, (2.54)} ove

γ(¯t) =X_O(¯t) + ¹

|^ω(¯t)|^2ω(¯t)× [^vO(¯t)]_⊥ . Inoltre su tale retta Vt(x, ¯t)risulta costante e parallela a ω(¯t).

Dimostrazione. Si ha per definizione (vedi la (2.32))

Vt(x, ¯t) = [v_O]_k+ [v_O]_⊥+ω(¯t)× [^x−^XO]. (2.55) La (2.55) mette in evidenza che la componente di Vt(x, ¯t)parallela a ω(¯t)è indipendente da x. Quindi |^Vt(·, ¯t)|sarà minimo nei punti ove si annulla la componente di Vt(x, ¯t) perpendicolare a ω(¯t), e solo in quelli, ammesso che essi esistano.

2.6. L’ASSE ISTANTANEO DI MOTO 35

Dobbiamo cioè risolvere l’equazione

[v_O]_⊥+ω(¯t)× [x−X_O] =0 , (2.56) da cui segue

f :=ω(¯t)× [^vO(¯t)]_⊥ =−^ω(¯t)×^ω(¯t)× [^x−^XO]^. (2.57) Per il LemmaA.22,

f =|^ω(¯t)|²[x−^XO(¯t)]_⊥ , e quindi, per un λ=λ(x)∈^Ropportuno,

x=X_O(¯t) + ^f

|^ω(¯t)|²+λω(¯t). (2.58) che è la (2.54).

Viceversa, sia soddisfatta in x la (2.54), ossia la (2.58), ove f è definita come in (2.57).

Allora, usando la definizione di f e ancora il LemmaA.22 si vede che vale la (2.56), e quindi che la componente di Vt(x, ¯t)perpendicolare a ω(¯t)si annulla. 

Definizione 2.50. La retta definita da (2.54) si dice asse istantaneo di moto.

Nel caso in cui[v_O(¯t)]_k =0, la retta si dice asse d’istantanea rotazione.  Osservazione 2.51. Nei casi in cui all’istante ¯t esiste un punto solidale P0

in quiete, evidentemente l’asse d’istantanea rotazione al tempo ¯t è la retta

per P0 parallela a ω. 

Si noti che l’asse istantaneo di moto è definito solo per gli istanti in cui ω(t) 6= 0. Se questo vale per ogni t ∈ I, introduciamo le due superfici rigate (cioè formate dall’unione di rette)

Σ =ⁿξ ∈ ^R3|^x=

3

∑

i=1

ξie_i soddisfi (2.54) per qualche ¯t∈ ^{I e λ}∈ ^Ro,

Σ^S =ⁿξ ∈ ^R3|^x= X_O(¯t) +

3

∑

i=1

ξ_iu_i(¯t)

soddisfi (2.54) per qualche ¯t∈ ^{I e λ}∈ ^Ro.

Definizione 2.52. La Σ [la Σ^S] si dice rigata fissa [solidale] del moto diS^. Si chiama rigata mobile la superficie mobile

Σm(t) =ⁿX(t) =X_O(t) +

3

∑

i=1

ξ_iu_i(t)|^ξ ∈^ΣSo.

 In modo forse più intuitivo la rigata fissa [mobile] si può descrivere co-me l’unione delle posizioni dell’asse istantaneo di moto nel sistema fisso [mobile].

Esempio 2.53. Torniamo all’Esempio 2.44, e assumiamo ora che P ^{sia la} terna fissa, cosicché z_i = e_i. Scriviamo poi S = (^O,N ), ove O denota l’origine del sistema fisso.

L’asse d’istantanea rotazione all’istante t quindi è la retta per l’origine parallela a ω_PN. Dunque la rigata fissa Σ è il cono circolare retto di vertice l’origine, asse di simmetria coincidente con l’asse ξ3e apertura

2 arctgδ

α, δ :=^qβ²+γ²;

36 DANIELE ANDREUCCI

assumiamo qui per definitezza che α, β, γ >_0.

Il moto diN ⁱⁿMè una rotazione intorno all’asse βu₁+γu2. Supponiamo per semplicità che la ternaN sia stata scelta in modo che

w₃ = ^β δu₁+^γ

δu₂.

Quindi w₁, w2apparterranno in ogni istante al piano ortogonale a w3, che è generato (per esempio) dai versori

u3, a:=w3×^u3= ^γ δu₁− ^β

δu2.

Si noti che (u₃, a, w₃) costituiscono una base ortonormale positiva. As-sumiamo di nuovo per semplificare i calcoli che la N fortunatamente

soddisfi (

w₁ =cos(δt)u3+sin(δt)a,

w2 =−^sin(δt)u3+cos(δt)a. (2.59) (Questa è un’ipotesi sulla posizione iniziale diN^.)

Volendo scomporre ω_PN nella base N si avrà dunque dalle (2.59) e dalla definizione di w3

ω_PN =αu3+δw3 =αcos(δt)w₁−^αsin(δt)w₂+δw3=:

∑

³

i=1

ωi(t)w_i(t). Perciò

Σ^S =ⁿξ ∈ ^R3|^ξ =λ(ω1(¯t), ω₂(¯t), ω₃(¯t))per qualche λ, ¯t∈ ^Ro

=ⁿξ ∈ ^R3 |^ξ =^ξ1, ξ₂,±^δ α

q

ξ²₁+ξ²₂

; ξ₁, ξ₂ ∈^Ro. Pertanto Σ^S è il cono retto di vertice l’origine, asse di simmetria coinci-dente con l’asse ξ3 e apertura

2 arctgα δ .

Invece la rigata mobile Σ_m(t)è quella copia di questo cono che è solidale con il sistema S, ossia il cono mobile

Σm(t) =ⁿx∈ ^R3| ^x= ξ1w₁(t) +ξ2w₂(t)± ^δ α

q

ξ²₁+ξ²₂w₃(t); ξ₁, ξ₂ ∈^Ro.

 2.7. Moti rigidi piani

Usiamo qui la notazione della Sezione 2.6.

Definizione 2.54. Il moto diS si dice moto rigido piano se e solo se ω(t)6=⁰ per ogni t ∈ I, ω mantiene direzione costante e [v_O(t)]_k = 0 per ogni

t∈ ^I. 

Nei moti rigidi piani l’asse d’istantanea rotazione mantiene direzione co-stante, e su di esso i punti hanno velocità di trascinamento nulla; l’asse si mantiene costante se e solo se il moto è una rotazione. Le rigate del moto quindi sono superfici cilindriche (ossia rigate formate da rette tutte parallele tra di loro).

2.7. MOTI RIGIDI PIANI 37

Per di più dalla (2.32) segue subito che, fissata una retta parallela a ω(t), tutti i suoi punti x hanno uguale velocità di trascinamento Vt(x, t). Nei moti rigidi piani la direzione di ω si mantiene costante, dunque per de-scrivere il campo delle velocità di trascinamento, ossia il moto di S^{, basta} conoscerlo su un fissato piano Π ortogonale a ω.

Supponiamo nel seguito per chiarezza che ω sia parallelo a e3 = u3(t) per ogni t ∈ I, e indichiamo con(yi)[(zi)] le coordinate nel sistema fisso [mobile].

Tutti i punti hanno velocità parallela nulla in ogni istante: dunque se i due piani fisso y3= c1e mobile z3= c2sono sovrapposti all’istante t, saranno sovrapposti per ogni altro istante.

Definizione 2.55. Siano y₃ = c1 e z₃ = c2 due piani—fisso e mobile—

sovrapposti come sopra. Essi si dicono piani rappresentativi del moto.

La curva intersezione di Σ con il piano y₃ = c1 si dice base, e quella inter-sezione di Σm(t)con il piano z3 =c2si dice rulletta.

Il punto intersezione dell’asse istantaneo di moto con un piano rappresen-tativo si dice centro istantaneo di moto (o centro di istantanea rotazione).  Esempio 2.56. Consideriamo il moto di un sistemaS ^con

X_O(t) =v0te1, M come nell’Esempio2.24con θ(t) =ωt, ove v0 e ω sono costanti positive. Si ha ω(t) = ωu3, e dunque il moto è rigido piano.

Il campo di velocità di trascinamento quindi è dato da

Vt(x, t) = [vO(t)]_⊥+ω× (^x−^XO(t)) = (v0−^ωy2)e1+ω(y1−^v0t)e2. Qui le y_i denotano le coordinate nel sistema fisso. Perciò l’asse d’istanta-nea rotazione ha equazioni, nel sistema fisso,

y1 =v0t, y2 = ^v0 ω .

La rigata fissa è perciò il piano y₂ =v0/ω, e la base è la curva y2 = ^v0

ω , y3 =0 , se scegliamo come rappresentativo il piano y₃=0.

Esprimendo le coordinate z_i nel sistema mobile in funzione delle y_i si ottiene

z1= (y1−^v0t)cos ωt+y2sin ωt , z2=−(y1−v0t)sin ωt+y2cos ωt , z3=y3.

Le equazioni dell’asse di moto sono dunque nel sistema mobile z1= ^v0

ω sin ωt , z2 = ^v0

ω cos ωt .

Perciò la rigata solidale Σ^S è il cilindro circolare retto di centro l’origine e raggio v₀/ω:

Σ^S =ⁿ(zi)|^z21+z²₂= ^v

20

ω² o,

38 DANIELE ANDREUCCI

e quella mobile è il cilindro

Σm(t) =ⁿ(yi)| (^y1−^v0t)²+y²₂= ^v

20

ω² o.

La rulletta è la circonferenza

(y1−^v0t)²+y²₂ = ^v

20

ω² , y3 =0 .

 Esempio 2.57. (Compasso ellittico) Il sistema mobile S = (^O,(u_h)) si muova in modo che, definito il moto solidale

XB(t) =Lu1(t), L>_{0 ,} valgano

X_O(t) =α(t)e2, X_B(t) =^qL²−^α(t)²e₁, u3(t) =e3.

Si lascia al lettore di giustificare il nome di compasso ellittico (o ellissogra-fo) attribuito al segmento solidale OB.

Calcoliamo invece la velocità angolare ω; dalle informazioni date si ha subito

u₁(t) = OB−→

L = ¹ L

q

L²−^α(t)²e₁−^α(t)e2

,

u₂(t) = ¹ L



α(t)e₁+^qL²−^α(t)²e₂ . Quindi dalla relazione (2.15) si ha

ω(t) =ω3(t)u₃= ^du1

dt (t)·^u2(t)u₃=− ^˙α(t)

pL²−^α(t)^2e3, dato che ω₁=ω2=0 seguono dalle (2.14) e (2.16).

Il centro istantaneo di moto K potrebbe essere trovato scrivendo il campo di velocità di trascinamento come nell’Esempio 2.56. Usiamo invece il seguente argomento, che va sotto il nome di teorema di Chasles: dalla (2.29), e dal fatto che v_K =0, segue che per ogni moto solidale X_P vale

v_P =ω× [^XP−^XK]. (2.60) Pertanto X_P−^XK è ortogonale alla velocità v_P, ossia K appartiene alla retta per P ortogonale a v_P. Applicando il ragionamento per P= Oe per P = B si vede quindi che K deve essere il punto intersezione delle due rette corrispondenti costruite come sopra, ossia deve essere il punto

X_K(t) =^qL²−α(t)²e₁+α(t)e2, (2.61) che è un vertice del rettangolo con i lati sugli assi che ha OB come

diago-nale. 

2.8. UNA DEFINIZIONE ALTERNATIVA DI VELOCITÀ ANGOLARE. 39

2.8. Una definizione alternativa di velocità angolare.

SiaM = (^uh)una terna mobile. Scriviamo

ove quindi A = (a_ih) è la matrice di cambiamento di base di Teorema A.12; dunque A⁻¹= A^te pertanto

0=^dI dt = ^d

dt(A^tA) =A^{˙ t}A + A^tA =^˙ A^˙tA + (A^˙tA)^t.

Dunque ˙A^tAè una matrice antisimmetrica, e per il TeoremaA.21esiste un vettore c tale che A˙ ^tA_x=c×^{x, per ogni x}∈^R3. una qualunque funzione solidale conM. Si ha ovviamente

dg Per l’unicità della scomposizione di un vettore in una base si deve avere

˙g_i=

3

∑

j=1

λ_j˙a_ji. Usando ora l’OsservazioneA.14, si ha

λ_j=

3

∑

k=1

a_jk(t)g_k(t), per cui alla fine si ottiene

˙g_i(t) =

Questo dimostra che la funzione vettoriale ω :=csoddisfa la richiesta del Lemma 2.19.

La proprietà di unicità dello stesso Lemma implica che questa definizione di ω equivale alla precedente.

Ben poche cose di Omega sono piacevoli.

ROBERT SHECKLEY, Gli orrori di Omega

CAPITOLO 3

Nel documento Appunti per il corso di Meccanica Razionale (pagine 42-49)