Equazioni di moto di un elemento materiale
5.4. Moto di un punto vincolato a vincoli fissi
Metodo 5.20. Per determinare il moto di un punto vincolato a una curva [a una superficie] si cerca in genere di sostituire le equazioni relative alle
≀≀
due componenti ortogonali [all’unica componente ortogonale] nell’equa-zione relativa alla direnell’equa-zione tangente [nelle due equazioni relative al piano tangente], e poi di risolvere il problema di Cauchy così ottenuto.È chiaro che questo approccio implica che le equazioni di moto siano scomposte sulla terna intrinseca nel caso di curve, e su un sistema di rife-rimento che abbia il piano tangente come piano coordinato nel caso delle
superficie.
Torneremo più sistematicamente su quest’idea nella Sezione 8.1; qui ci limitiamo a illustrarla con alcuni esempi.
Esempio 5.21. Un punto materiale P di massa m è vincolato a un binario di forma
x1 =Rcos λs , x2 =Rsin λs , x3 =hλs,
−∞< s<∞, ove R, h> 0 sono costanti, e λ=1/√
R2+h2 è stato scelto in modo che s sia la lunghezza d’arco.
Il punto è soggetto alla forza peso
F =−mge3,
e ovviamente alla forza fvin esercitata dal vincolo, di cui si sa solo che ha componente tangente nulla.
Il punto parte da fermo a quota x3 =0.
Vogliamo trovare la reazione vincolare che agisce su P quando esso rag-giunge quota x3 =−2πh, in funzione di R, h, m, g e dei vettori ei.
A) L’equazione di moto scomposta nella terna intrinseca(T, N, B)dà m ¨s=T·F,
mk ˙s2 = N·F+N·fvin, 0= B·F+B·fvin.
B) Procediamo imponendo che la traiettoria sia quella data dal vincolo;
≀≀
la reazione vincolare, a priori incognita, risulterà determinata da questa richiesta poiché essa permette di determinare il moto.Dalla parametrizzazione della curva si ha subito
T(s) =λ(−Rsin λs, R cos λs, h), N(s) =−(cos λs, sin λs, 0), B(s) =T(s)×N(s) =λ(hsin λs,−hcos λs, R), k(s) =λ2R. Dunque con un calcolo diretto
T·F = −mghλ, N·F =0 , B·F =−mgRλ.
5.4. MOTO DI UN PUNTO VINCOLATO A VINCOLI FISSI 73
Perciò il moto è determinato dall’equazione relativa alla componente tan-gente così ottenuta, ossia dal problema di Cauchy
m ¨s= −mghλ, s(0) =0 , ˙s(0) =0 , che ha per soluzione
s(t) =−ghλ2 t2, t∈ R. C) Quindi nell’istante ¯t in cui
−2πh =x3(¯t) =hλs(¯t) =−gh
2λ2 2 t2, deve essere
¯t= 2 λ
r π gh. Dunque di nuovo con un calcolo diretto
fvin(¯t) =4πmgλ2RhN(s(¯t)) +mgRλB(s(¯t)) =mgRλ2(−4πh,−h, R).
Esempio 5.22. Consideriamo il caso dell’esercizio precedente, con la va-riante che la reazione vincolare ha componente tangente data in valore assoluto da
|fvin·T| =µ|(fvin·N)N+ (fvin·B)B| , µ>0 , (5.26) e di segno opposto a quello di ˙s, ossia tale da opporsi al moto. Dunque vale la legge di attrito dinamico della Definizione5.17.
L’idea è sempre quella di imporre nelle equazioni di moto la traiettoria as-segnata come vincolo. In questo caso però l’equazione di moto scomposta nella terna intrinseca dà
m ¨s=T·F+T·fvin, mk ˙s2 = N·F+N·fvin,
0= B·F+B·fvin.
Le ultime due equazioni possono essere usate per ricavare il termine T· fvin in funzione dei parameteri e di ˙s, e sostituirlo nella prima equazione.
Essa diventa quindi
¨s=−ghλ−µ q
k2˙s4+g2R2λ2.
Insieme ai dati iniziali essa ha soluzione unica, che quindi può essere usa-ta come sopra per determinare per esempio la reazione vincolare. Tut-tavia questa soluzione non può essere espressa in termini di funzioni
elementari.
Esempio 5.23. Un elemento materiale P di massa m è vincolato alla super-ficie
x3 = fq
x21+x22
, f ∈C3((0,+∞)). Su di esso agisce il peso−mge3. Il vincolo è liscio.
Dimostrare che il moto, non di quiete, può essere circolare su x21+x22 = R2, R>0, se e solo se f′(R) >0.
74 DANIELE ANDREUCCI
L’equazione di moto è
ma =−mge3+ fvin.
Scomponiamola nelle tre componenti scalari opportune. Conviene usa-re le coordinate polari nel piano he1, e2i come parametri della superficie.
Dunque consideriamo la rappresentazione lagrangiana {(rcos ϕ, r sin ϕ, f(r))|r >0 , ϕ∈ (0, 2π)}. Troviamo derivando i versori tangenti
Tr = p 1
1+ f′(r)2(cos ϕ, sin ϕ, f′(r)), Tϕ = (−sin ϕ, cos ϕ, 0), e il versore normale
N =Tr×Tϕ =−p 1
1+ f′(r)2(−f′(r)cos ϕ,−f′(r)sin ϕ, 1). Derivando la rappresentazione lagrangiana del moto si ottiene
a =¨r cos ϕ−2˙r ˙ϕ sin ϕ+r(−¨ϕ sin ϕ− ˙ϕ2cos ϕ),
¨r sin ϕ+2˙r ˙ϕ cos ϕ+r(¨ϕ cos ϕ− ˙ϕ2sin ϕ),
¨r f′(r) +˙r2f′′(r).
Dato che per ipotesi fvin è parallela a N si ottiene per le componenti parallele alla superficie
ma·Tr =−mge3·Tr, ma·Tϕ =−mge3·Tϕ, da cui calcolando i prodotti scalari
¨r−r ˙ϕ2+¨r f′(r)2+˙r2f′(r)f′′(r) =−g f′(r), (5.27) 2˙r ˙ϕ+r ¨ϕ= 0 . (5.28) (Si invita il lettore a notare e spiegare la somiglianza di parti delle equa-zioni sopra con le acceleraequa-zioni radiale e trasversale introdotte nell’Esem-pio4.12.)
Imponendo che r(t) =Rper ogni t, e quindi ˙r= ¨r=0, si ottiene R ˙ϕ2 =g f′(R),
R ¨ϕ=0 .
Ne segue la tesi, e inoltre che il moto circolare in questione risulta unifor-me.
Più in generale notiamo che le (5.27)–(5.28) permettono di ricavare il moto del punto, per qualunque scelta delle condizioni iniziali (compatibili con il vincolo). Successivamente le funzioni (r(t), ϕ(t))così determinate pos-sono essere sostituite nella componente normale dell’equazione di moto
per ottenere la reazione vincolare fvin.
5.4. MOTO DI UN PUNTO VINCOLATO A VINCOLI FISSI 75
Esempio 5.24. Un punto materiale P di massa m è vincolato a muoversi sulla superficie
x3 =x1+αx22,
sotto l’azione della forza peso −mge3. La superficie esercita una reazione con una componente di attrito dinamico di coefficiente µ< 1.
Si scrivano le equazioni del moto del punto, e successivamente si determi-ni il moto nel caso delle condiziodetermi-ni idetermi-niziali
X(0) = (1, 0, 1), ˙X(0) =v0e1+e3
√2 , v0 ∈R, v06=0 . A) Usiamo come coordinate indipendenti
(x, y) = (x1, x2)∈R2. Dunque la superficie risulta parametrizzata da
{(x, y, x+αy2)| (x, y)∈ R2}, cosicché i versori tangenti sono
Tx = √1
2(1, 0, 1), Ty= p 1
1+4α2y2(0, 1, 2αy), e quello normale è
N =Tx×Ty= p 1
2+8α2y2(−1,−2αy, 1). Le equazioni di moto sono date quindi in forma scalare da
ma·Tx= −mge3·Tx+ fvin·Tx, ma·Ty= −mge3·Ty+ fvin·Ty, ma·N= −mge3·N+ fvin·N.
B) L’accelerazione si ottiene subito derivando la rappresentazione lagran-giana del moto come
a= (¨x, ¨y, ¨x+2α ˙y2+2αy ¨y).
Resta da determinare la componente tangente della fvin, per cui invochia-mo la legge di attrito dinamico e la terza equazione scalare sopra:
[fvin]k =µ|fvin·N| =µ|ma·N+mge3·N| =µm 2α ˙y
2+g p2+8α2y2 . Direzione e verso della [fvin]kseguono dal fatto che opponendosi al moto deve essere diretta come −v:
[fvin]k= − [fvin]k v
|v| =−h(˙x, y, ˙y)v= −h(˙x, y, ˙y)(˙x, ˙y, ˙x+2αy ˙y), ove si è posto
h(˙x, y, ˙y) =µm 2α ˙y2+g p2+8α2y2p
˙x2+ ˙y2+ (˙x+2αy ˙y)2.
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C) Calcolando i prodotti scalari nelle equazioni di moto si ottiene dalle prime due
¨x+α ˙y2+αy ¨y= −g2 − m1h(˙x, y, ˙y)(˙x+αy ˙y), 2αy ¨x+ ¨y+4α2y2¨y+4α2y ˙y2= −2gαy− 1
mh(˙x, y, ˙y)(˙y+2αy ˙x+4α2y2˙y). D) Calcoliamo infine la soluzione delle equazioni di moto nelle condizioni iniziali specificate sopra. Notiamo prima che esse sono ammissibili, ossia compatibili con i vincoli, e corrispondono alle condizioni di Cauchy per il sistema di e.d.o. date da
(x(0), y(0)) = (1, 0), (˙x(0), ˙y(0)) = v√0 2, 0
.
L’intuizione fisica e geometrica ci suggerisce che il moto avverrà sul piano x2 =0; dunque tentiamo di trovare una soluzione con y(t) =0 per ogni t.
Operando questa sostituzione la seconda equazione risulta identicamente soddisfatta, mentre la prima dà
¨x=−g2 −µ2g ˙x
|˙x|. Occorre dunque distinguere due casi.
Caso v0 >0: l’equazione di moto diviene
¨x= −g2 −µg 2,
almeno nell’intervallo massimale di tempo (0, ¯t) ove ˙x > 0. La soluzione del problema ai valori iniziali è
x(t) =1+v0t− 1+µ
4 gt2, ˙x(t) =v0− 1+µ 2 gt.
A partire dall’istante ¯t in cui ˙x = 0 il moto non è più determinato dalle informazioni che abbiamo. Per esempio dobbiamo assegnare la legge di attrito statico per capire se il punto resta in quiete per t > ¯t o no.
Caso v0 <0: l’equazione di moto diviene
¨x= −g2 +µg 2,
almeno nell’intervallo massimale di tempo (0, ¯t) ove ˙x < 0. La soluzione del problema ai valori iniziali è
x(t) =1+v0t− 1−µ
4 gt2, ˙x(t) =v0− 1−µ 2 gt.
Dunque risulta ˙x < 0 per ogni t > 0, e di fatto ¯t = +∞. Quindi il moto trovato è valido per ogni tempo.
Vale la pena osservare che, trovata sia pure per tentativi una soluzione del sistema di e.d.o., il teorema di esistenza e unicità di soluzioni locali
garantisce che essa è l’unica soluzione.