Distribuzioni di forze

Vogliamo ora introdurre l’altro ingrediente fondamentale delle equazioni di moto, oltre alle quantità cinematiche e alle masse, cioè le forze. Una imitazione dello schema matematico adottato per definire i corpi rigidi condurrebbe forse a scrivere la forza totale che agisce sull’i-esimo rigido

come _Z

Λ(Di)

F_idµ_i(λ),

con F_i funzione da specificare (e discutere). Questo primo tentativo può essere esteso e migliorato almeno in due sensi:

A) Non è detto che la distribuzione di forze debba obbedire alla stesso schema della distribuzione di masse; per esempio un cubo (corpo rigido tridimensionale) può essere soggetto a un campo di forze distribuito in R³, ma anche a una forza concentrata in un punto o in una superficie, per esempio una faccia.

B) Non è neanche detto che tutte le forze debbano essere applicate a punti del sostegno del rigido Λ(Di); si pensi per esempio a un disco di materiale rigido di massa trascurabile orlato da un bordo sottile che abbia massa non trascurabile; un modello matematico ovvio per questo corpo rigido sareb-be quello della circonferenza materiale. Una forza potrebsareb-be però essere applicata nel centro del disco, quindi fuori della circonferenza Λ(Di). L’obiezione A) viene tenuta di conto sostituendo la funzione F_i da inte-grare in dµ_i(λ) direttamente con un differenziale, o meglio in termini matematici precisi, con una misura (vettoriale) dF_i che potrà contenere sia parti distribuite che concentrate, come osservato sopra. Nella pratica la dF_i sarà tale da consentirne l’integrazione elementare.

L’obiezione B) ha una risposta più semplice, ma forse più sottile: sosti-tuiamo al dominio di integrazione Λ(Di) tutto lo spazio delle coordinate solidali Λ^∗_i. Vale la pena di osservare che nel caso dei rigidi degeneri que-sto implica che l’elemento materiale sia soggetto solo a forze direttamente applicate a esso, e che l’asta rigida sia soggetta solo a forze applicate a punti del suo asse.

Resta da discutere il dominio di dF_i, ossia le variabili da cui può dipen-dere. Anzitutto da λⁱ che ne descrive il ‘punto di applicazione’. Poi dal tempo, come spesso accade nel caso di sistemi non isolati, e certo dalla posizione del rigido i-esimo, ma anche da quella degli altri rigidi: si pensi a due sfere collegate da una molla. Ammettiamo infine che le forze pos-sano dipendere dalle velocità, come per esempio è usuale in problemi con attrito.

7.3. DISTRIBUZIONI DI FORZE 105

Definizione 7.13. Introduciamo una distribuzione di forze dF_i per ciascun rigido(Ci, ρ_i,Si),

dFi(ξ1. . . , ξnc, ˙ξ1, . . . , ˙ξnc, t; λⁱ), (7.13) ove

dF_i : R^nc×^Rnc×^I×^Λ∗i →^R3.

Chiamiamo distribuzione di forze in coordinate lagrangiane agenti sull’i-esimo rigido la

dF^l_i(q, p, t; λⁱ) = dF_i



ξ^l₁(q, t), . . . , ξ^l_nc(q, t),

ℓ

∑

h=1

∂ξ^l₁

∂q_h(q, t)p_h+ ^∂ξ

l1

∂t (q, t), . . . ,

ℓ

∑

h=1

∂ξ^l_nc

∂q_h (q, t)p_h+ ^∂ξ

lnc

∂t (q, t), t; λⁱ

 , (7.14) con

dF^l_i : Q×^Rℓ×^I×^Λ∗i → ^R3.

 Saremo interessati soprattutto alle dF^l_i. Si noti che esse dipendono dalle coordinate λⁱ di ciascun punto solidale con il moto di Si (pensato come punto di applicazione della forza), dalla configurazione e dall’atto di moto dell’intero sistema, mediante le q, ˙q = p, oltre che dal tempo t in modo anche esplicito.

Nel seguito considereremo solo i casi seguenti:

F.1 forze concentrate in punti isolati;

F.2 forze concentrate su curve;

F.3 forze concentrate su superfici;

F.4 forze distribuite in domini di R³.

Esempio 7.14. (7.F.1,7.F.2.) Asta omogenea soggetta al peso e a una forza applicata a una estremità.

Consideriamo un’asta di lunghezza L vincolata a muoversi nel piano fisso x3 =0 con un estremo nell’origine O.

In questo caso la rappresentazione lagrangiana del moto è X^l(ϕ; λ(s)) = (scos ϕ, s sin ϕ, 0),

con s ∈ D = [0, L]e ϕ ∈ (−^{π, π})coordinata lagrangiana. La parametriz-zazione nel senso della Sottosezione6.1.3è

λ(s) =s, s ∈^D.

La densità sia data dalla costante ρ0 = m/L, con m massa dell’asta. Con la notazione della Definizione6.3, possiamo scegliere

X_O(t) =0 , u(t) =cos ϕe₁+sin ϕe₂. (7.15) L’asta quindi ha la direzione di u. Il peso, che assumiamo diretto come e2, agisce come

dF^l_peso(ϕ, ˙ϕ, t; λ) =ρ0ge2dµ(λ).

106 DANIELE ANDREUCCI

La forza applicata all’estremo s =Lsarà data dalla

dF^l_L =ke3×^uδ(L,0,0)(λ)dλ , (7.16) ove con δ_(L,0,0)indichiamo la massa di Dirac nel punto solidale(L, 0, 0). Si tratta quindi di una forza sempre ortogonale all’asta.

Calcoliamo la risultante delle forze date:

F =

Z

Λ^∗

dF^lpeso+ dF^lL

=

Z

R

ρ0ge2dµ(λ) +

Z

R

ke3×uδ(L,0,0)(λ)

=mge2+ke3×^u.

 Esempio 7.15. (7.F.3.) Disco soggetto a forze tangenziali.

Consideriamo un disco di raggio R > 0 vincolato a muoversi nel piano fisso x₃=0, con il centro nell’origine O.

In questo caso la rappresentazione lagrangiana è

X^l(ϕ; λ(s)) = (s1cos ϕ−s2sin ϕ, s₁sin ϕ+s2cos ϕ, 0), con

s= (s1, s2)∈ ^D={^s|^s21+s²₂≤ ^R2}^,

e ϕ ∈ (−^{π, π}) coordinata lagrangiana. La parametrizzazione nel senso della Sottosezione6.1.3è

λ(s) = (s1, s2, 0), s∈ ^D. Il sistema di riferimento solidale S ^è(O, u_h), con

u₁ =cos ϕe₁+sin ϕe₂, u₂ =−^{sin ϕe}1+cos ϕe₂, u3 =e3.

(7.17) La forza, se è applicata in un punto, sarà per esempio data proprio dalla (7.16). Si noti che può risultare 0< _L≤ R, o anche L> _R.

In alternativa, volendo rappresentare una distribuzione continua di forze sul disco, per esempio proporzionale in modulo alla distanza dal centro, si avrà

dF^l= kχD(λ1, λ2)δ_{λ3=0}u3×^Xldλ1dλ2dλ3, ove χ_D è la funzione caratteristica dell’insieme D.

Calcoliamo il momento di quest’ultima distribuzione di forze, con polo O:

M =

Z

Λ^∗

X^l× ^dFl

=

Z

D

k{s1u1+s2u2} × {^u3× [s1u1+s2u2]}^ds1ds2

=

Z

D

k(s²₁+s²₂)u3ds1ds2

= ^π

2kR⁴u₃.

7.4. FORZE CONSERVATIVE 107

 Esempio 7.16. (7.F.3, 7.F.4.) Cubo soggetto al peso e a forze applicate su una faccia.

Consideriamo un cubo di spigolo L vincolato ad avere uno spigolo sul-l’asse fisso x₃, libero di scorrere su di esso e di ruotare intorno all’asse medesimo.

In questo caso la rappresentazione lagrangiana dei moti solidali con il corpo rigido è

X^l(ϕ, z; λ(s)) = (s1cos ϕ−^s2sin ϕ, s1sin ϕ+s2cos ϕ, s3+z), con

s= (s1, s2, s3)∈ D= [0, L]³,

e ϕ ∈ (−^{π, π}), z ∈ ^R coordinate lagrangiane. La parametrizzazione nel senso della Sottosezione6.1.3è

λ(s) = (s1, s2, s3), s ∈D. Il sistema di riferimento solidale S ^è(A, u_h), con

XA=ze3,

e(u_h)come in (7.17). La densità sia data dalla funzione ρ(λ) =αλ²₁,

con α>0 costante. Il peso, che assumiamo diretto come−^u3, agisce come dF^l_peso(ϕ, ˙ϕ, z, ˙z, t; λ) =−^αλ21ge3dµ(λ).

La distribuzione superficiale di forze sulla faccia λ₃ = 0 sia, per β > ₀ costante,

dF^l_sup(ϕ, ˙ϕ, z, ˙z, t; λ) =β|^z|^u1δ_{λ3=0}χD(λ)dλ ,

che quindi risulta in pratica una misura di superficie sulla faccia stessa.

 7.4. Forze conservative

Questa Sezione è collocata qui per coerenza di presentazione del materiale, ma troverà la sua motivazione con l’introduzione dell’ipotesi dei lavori virtuali nel Capitolo 8.

Nel contesto dei sistemi di corpi rigidi il concetto di forze conservative si può tradurre come segue.

Definizione 7.17. Un sistema di forze {^dFi}ⁿ_i=1 si dice conservativo se esiste una distribuzione di potenziale

dU(x₁, . . . , x_n; λ¹, . . . , λⁿ), x_i ∈ ^{R3, λi} ∈^Λ∗i , (7.18) tale che per ogni i=1, . . . , n,

dF_i(ξ1, . . . , ξnc; λⁱ) =

Z

Λ^∗₁

. . .f^iZ

Λ^∗_n

∇xi dU X₁, . . . , X_n; λ¹, . . . , λⁿ
, (7.19)

108 DANIELE ANDREUCCI

ove l’integrale è ripetuto sui Λ^∗_j, j6=i; questo è indicato dalla notazione Z

Λ^∗₁

. . .f^iZ

Λ^∗_n

.

Inoltre nell’integrale per brevità si è indicato con X_j =X_j(ξ1, . . . , ξ_nc; λ^j)

la funzione che esprime i moti solidali con il j-esimo rigido in dipendenza delle coordinate locali necessarie tra le ξ_i e delle coordinate solidali λ^j.  Esempio 7.18. Il sistema è costituito da due aste rigide C1 di lunghezza R1 e C₂ di lunghezza R₂, vincolate entrambe al piano fisso x₃ = 0, con un estremo nell’origine. Dunque il sistema ha nc = 10 coordinate locali e ℓ=2 gradi di libertà.

Descriviamo intuitivamente la sollecitazione che vogliamo modellare: cia-scun elemento x1dλ¹di C1è attratto da ciascun elemento x2dλ² di C2con una forza

−^k(x₁−^x2)dλ¹dλ². (7.20) Qui k>0 è una costante.

Introducendo la distribuzione di potenziale

dU(x₁, x₂; λ¹, λ²) =−₂^k|^x1−^x2|^2χC₁(λ¹)χC₂(λ²)dλ¹dλ², si vede subito che

∇x₁ dU(x1, x2; λ¹, λ²) =−k(x1−^x2)χC1(λ¹)χC2(λ²)dλ¹dλ², ossia la forza data in (7.20). Calcoliamo dunque rigorosamente, usando la (7.19), la distribuzione di forze dF₁:

dF1(ξ1, . . . , ξ10; λ¹) =

Z

Λ^∗₂

h−^k(x1−^x2)χ_C1(λ¹)χ_C2(λ²)dλ¹dλ²i

=−^kχC₁(λ¹)dλ¹

R₂

Z

0

(X₁(t; λ¹)−^X2(t; λ²))dλ²

=−kR2(X1(t; λ¹)−^X2(t; λ²_M))χC1(λ¹)dλ¹. Qui si sono usati nell’ultima uguaglianza i seguenti semplici fatti: X₁(t; λ¹) è costante in λ²; l’integrale della posizione X2(t; λ²) lungo C2 è uguale a R2X2(t; λ²_M), ove X2(t; λ²_M)è la posizione del centro geometrico dell’asta C2.

Simmetricamente si trova dF2.

Si noti che la forza totale esercitata da C₂su C₁è espressa da Z

Λ^∗₁

h−kR2(X1(t; λ¹)−^X2(t; λ²_M))χC1(λ¹)dλ¹i

=

−^kR1R2(X₁(t; λ¹_M)−^X2(t; λ²_M)), ove ovviamente X₁(t; λ¹_M) è la posizione del centro geometrico dell’asta

C1. 

7.4. FORZE CONSERVATIVE 109

In effetti nell’ambito della meccanica lagrangiana più che le dF_i han-no importanza le seguenti funzioni, per motivi che diverranhan-no chiari nel Capitolo 8.

Definizione 7.19. Se dF^l_i è una distribuzione di forze per (Ci, ρ_i,Si), allora si definiscono le componenti lagrangiane delle forze come

Qh(q, p, t) = Anche per le Q_h si introduce un concetto di conservatività; premettiamo che tale proprietà è collegata alla conservatività delle dF_i, ma non è a essa del tutto equivalente.

Definizione 7.20. Il sistema di componenti lagrangiane delle forze{^Qh}^ℓ_h=1

si dice conservativo se esiste una funzione U^l∈ ^C1(Q×^I)tale che Q_h(q, p, t) = ^∂U

l

∂q_h (q, t), h =1 , . . . ,ℓ_{. (7.22)} La funzione U^lsi dice potenziale lagrangiano.  In particolare quindi in un sistema conservativo, le Q_h non dipendono dalle ˙q.

Esempio 7.21. Torniamo all’Esempio 7.18. Mostreremo con argomenti del tutto indipendenti da quelli lì svolti che la sollecitazione è conservativa nel senso della Definizione7.20.

Le due aste rigide C₁ e C₂ sono parametrizzate in coordinate lagrangiane ϕ, θ ∈ (−^{π, π})da

X^l₁(ϕ; λ¹(s)) =scos ϕe₁+ssin ϕe2, 0≤ s≤R1, X^l₂(θ; λ²(σ)) =σcos θe1+σsin θe2, 0≤ σ≤R2.

In particolare ciascun elemento di C1è attratto da ciascun elemento di C2

con una forza Nello stesso modo si ottiene

dF^l₂(ϕ, θ; λ²) =R1kR1

2 cos ϕ−^{σcos θe}1+^{ R1}

2 sin ϕ−^{σsin θe}2

 dλ².

110 DANIELE ANDREUCCI

Per esempio il momento (rispetto all’origine) delle forze su C₁è dato da Z

Λ^∗₁

X^l₁× ^dFl1 = ^k

4R²₁R²₂sin(θ−^ϕ)e3.

Torniamo però alla verifica della conservatività. Secondo la Definizio-ne 7.19si ottiene

Qϕ=

Z

Λ^∗₁

∂X^l₁

∂ϕ ·^dFl1+

Z

Λ^∗₂

∂X^l₂

∂ϕ ·^dFl2 =

Z

Λ^∗₁

∂X^l₁

∂ϕ ·^dFl1 = ¹

4R²₁R²₂ksin(θ−ϕ), come si vede con una semplice integrazione. Simmetricamente si ottiene anche

Qθ = ¹

4R²₁R²₂ksin(ϕ−^θ),

Si osservi la notazione di uso frequente Q_ϕ, Q_θ al posto di Q₁, Q₂. Si vede subito che ponendo

U^l(ϕ, θ) = ¹

4R²₁R²₂kcos(ϕ−^θ), (7.24) si ha

∂U^l

∂ϕ = Qϕ, ∂U^l

∂θ =Q_θ,

confermando che le forze assegnate sono conservative in senso

lagrangia-no. 

Come accennato, i due concetti di forze conservative sopra introdotti sono collegati. In sostanza, le componenti lagrangiane delle forze si calcolano come derivate dell’integrale di dU nella corrispondente coordinata lagran-giana, un po’ come la distribuzione dF_i è stata ottenuta nella (7.19) come gradiente dell’integrale di dU nelle coordinate cartesiane corrispondenti.

Tuttavia, nel caso delle componenti lagrangiane, si dovrà integrare su tutte le coordinate λⁱ, come risulta dalla Definizione7.19.

Questo è spiegato rigorosamente dal seguente risultato.

Teorema 7.22. Se il sistema di forze {^dFi}ⁿ_i=1 è conservativo nel senso della Definizione7.17, il sistema di componenti lagrangiane delle forze{^Qh}^ℓ_h=1è con-servativo nel senso della Definizione 7.20, e i rispettivi potenziali sono collegati da

U^l(q, t) =

Z

Λ^∗₁

· · ·

Z

Λ^∗_n

dU X^l₁(q, t; λ¹), . . . , X^l_n(q, t; λⁿ); λ¹, . . . , λⁿ
, (7.25)

ove l’integrale è calcolato in tutte le variabili λ^j, j= 1, . . . , n.

7.4. FORZE CONSERVATIVE 111

Esempio 7.23. Riprendiamo il sistema degli Esempi 7.18 e 7.21; in essi abbiamo svolto considerazioni indipendenti, ma qui vogliamo mostrare che i potenziali trovati sono collegati dalla (7.25).

Infatti calcoliamo, usando la (7.25), e il potenziale dU dell’Esempio7.18il potenziale lagrangiano:

Questa è la stessa funzione data in (7.24), a parte una inessenziale costante

additiva. 

Osservazione 7.24. Nelle ipotesi del Teorema7.22, e se i vincoli sono fissi, il potenziale U^l non dipende in modo esplicito dal tempo t, perché non

ne dipendono i moti X^l_i. 

Osservazione 7.25. Il Teorema7.22dà solo una condizione sufficiente af-finché il sistema delle componenti lagrangiane delle forze sia conservativo.

In alcuni casi, questo può accadere anche in presenza di sistemi di forze non conservativi nel senso classico (che poi è quello della Definizione7.17).

Un caso notevole è quello di sistemi con un solo grado di libertà; in questo caso si ha una unica coordinata lagrangiana q₁, e la componente lagran-giana delle forze dipende solo da essa, oltre che eventualmente dal tempo, cosicché

112 DANIELE ANDREUCCI

Esempio 7.26. Un punto materiale è vincolato a muoversi sul cilindro di asse coincidente con l’asse x₃ del sistema fisso e di raggio R. Su di esso agisce la forza

F₁(x₁) =αx1e₁+βx1e₂,

con α, β > 0. Qui indichiamo con x₁ = (x1, x2, x3) il vettore di coor-dinate nel sistema fisso. Si verifica facilmente che F₁ non è conservati-va nel senso della Definizione 7.17. Tuttavia scegliendo ad esempio la parametrizzazione lagrangiana

X^l₁(ϕ, z) =Rcos ϕe1+Rsin ϕe2+ze3, (ϕ, z)∈ (−^{π, π})×^R, si calcola

Qϕ(ϕ, z) = ^∂X

l1

∂ϕ (ϕ, z)·^F1(X^l₁(ϕ, z)) = ¹

2R²(−αsin(2ϕ) +β+βcos(2ϕ)), Qz(ϕ, z) = ^∂X

l1

∂z (ϕ, z)·^F1(X^l₁(ϕ, z)) =0 .

Dunque il potenziale lagrangiano sarà ad esempio U^l(ϕ, z) = ¹

2R² α

2 cos(2ϕ) +βϕ+ ^β

2sin(2ϕ)^.

Si consiglia di rivedere questo Esempio dopo aver svolto l’Esercizio ??. 

CAPITOLO 8

Nel documento Appunti per il corso di Meccanica Razionale (pagine 112-121)