Sistemi di riferimento mobili. Le forze fittizie

Allora vale

˙ξ(t) = G(t)˙q(t) +^∂ξ

l

∂t , (9.24)

che permette di trovare l’atto di moto espresso nelle ξ noto che sia nelle q, in ogni istante e quindi anche all’istante iniziale.

Definizione 9.11. Il vettore ˙q(t) in (9.24) è detto atto di moto lagrangiano

del sistema olonomo. 

Il sistema (4.7) si può riscrivere come F_˙ξ = F G˙q+ F^∂ξ

l

∂t = −^{ ∂ f}_∂t^{j, (9.25)} che del resto si ottiene anche derivando direttamente per ogni j ∈ {1, . . . , m}

fj ξ^l(q(t), t), t

=0 , t ∈ ^I.

9.4. Sistemi di riferimento mobili. Le forze fittizie.

Consideriamo un sistema di corpi rigidi come nella Sezione9.1.

Nelle ipotesi del Teorema 9.2, ossia in sostanza se vale l’ipotesi dei lavori virtuali, si ricavano le equazioni di Lagrange (9.1).

Qui esaminiamo le conseguenze su queste equazioni di un cambiamento di sistema di riferimento.

Notazione 9.12. Introduciamo dunque un sistema di riferimento mobile S = (^XO, u_h). Si noti in particolare che questo nuovo sistema di riferi-mento è lo stesso per tutti i corpi rigidi del sistema olonomo, ossia non dipende da i. Supponiamo inoltre che sia X_O che la velocità angolare ω della terna(u_h)siano assegnate come funzioni del tempo. 

9.4. SISTEMI DI RIFERIMENTO MOBILI. LE FORZE FITTIZIE. 129

È chiaro che per le velocità e accelerazioni relative a S si possono ottene-re rappottene-resentazioni analoghe a quelle della Sezione 7.1. Tuttavia è faci-le intuire che faci-le equazioni di moto devono essere diverse nel sistema di riferimento fisso e in quello mobile.

Teorema 9.13. Vale per ogni h ∈ {1 , . . . ,ℓ} Qui a^l_ti e a^l_ciindicano le accelerazioni di trascinamento e di Coriolis inS. Dimostrazione. Secondo la (2.36) si ha, per ogni i=1, . . . , n,

a^l_i =a^l_ti+a^l_ci+a^l_Si. (9.28) Usando l’ipotesi dei lavori virtuali (8.11) si ottiene dunque, sostituendo la (9.28), da cui le (9.26) seguono secondo la stessa dimostrazione del Teorema9.2.

 Osservazione 9.14. Nella (9.27) gli argomenti delle varie funzioni sono stati omessi per semplicità, ma è bene notare in modo esplicito che nelle ipotesi stabilite all’inizio della Sezione anche le a^l_ti e a^l_ci, oltre che le dF^l_i, risultano funzioni di (q, ˙q, t) (e non di ¨q), il che giustifica la notazione in

(9.26). Si veda infatti la Definizione2.37. 

Consideriamo di seguito alcuni casi in cui l’accelerazione di Coriolis dà contributo nullo alle equazioni di Lagrange.

Metodo 9.15. (Moto relativo funzione di una sola coordinata la-grangiana) È il caso in cui

130 DANIELE ANDREUCCI Esempio 9.16. Punto vincolato a una curva solidale con S^.

Sia γ una curva solidale conS, parametrizzata dall’ascissa curvilinea ψ(s, t) =X_O(t) +

3

∑

j=1

ψ^S_j (s)u_j(t), s∈ ^J.

Se il punto P è vincolato a γ si può usare s come coordinata lagrangiana, cosicché Metodo 9.17. (Piano ruotante intorno a un asse che giace sul piano medesimo) Supponiamo qui che

ω(t) =ω(t)u₃(t), u₃(t) =e₃, t∈ ^I,

e che O sia fisso, coincidente con l’origine del sistema di riferimento fisso.

Dunque il moto di S è una rotazione (non uniforme, in genere) intorno all’asse fisso per O parallelo a e3. Sia Π(t) il piano passante per O e Si noti che, come prevedibile, ^∂X_∂q^li

h e v^l_Si giacciono su Π(t) e quindi sono

9.4. SISTEMI DI RIFERIMENTO MOBILI. LE FORZE FITTIZIE. 131

Esempio 9.18. Un piano mobile Π(t) ha equazione nel sistema di riferi-mento fisso(O, e_i)

x1cos ωt+x2sin ωt+x3=0 .

Si tratta dunque di un piano passante per l’origine e con normale ν= √¹

2(cos ωt, sin ωt, 1).

Un punto materiale P di massa m è vincolato a Π(t)e sottoposto alla forza peso, diretta nel verso negativo dell’asse x₃.

Scriviamo le equazioni di Lagrange del punto nel sistema di riferimento mobileS = (^{O, u}i), ove

u₁(t) = √¹

2(−^{cos ωt,}−^{sin ωt, 1}), u2(t) = (sin ωt,−^{cos ωt, 0}), u₃(t) =ν(t).

Quindi(u₁(t), u₂(t))è una base di Π(t), per ogni fissato t.

Applicando l’espressione delle componenti della velocità angolare ω di S in funzione delle derivate dei versori u_i (si veda la dimostrazione del Lemma2.19) si ottiene subito

ω(t) = √^ω

2(u₁+u₃) =ωe3. Quindi il moto diS è una rotazione costante.

Scegliamo come coordinate lagrangiane x, y∈ ^{Rtali che}

−→OP= xu1+yu2.

Nel sistema di riferimento mobile agiscono su P oltre alla forza peso le forze fittizie di trascinamento Fte di Coriolis Fc. Si ha

Ft =−mω× [^ω×−→

OP] =mω²n x

2u₁+yu2− ^x₂^u3

o,

cosicché le corrispondenti componenti lagrangiane delle forze sono Ft·^∂X

l

∂x = Ft·^u1= mω²x 2 , Ft·^∂X

l

∂y = Ft·^u2= mω²y. Inoltre

Fc=−^2mω×^vS =−^mω√

2(u₁+u₃)× (^˙xu1+ ˙yu2)

= mω√

2(˙yu1− ^˙xu2− ^˙yu3), cosicché le corrispondenti componenti lagrangiane delle forze sono

Fc·^∂X

l

∂x =Fc·^u1=mω√ 2 ˙y , Fc·^∂X

l

∂y =Fc·^u2=−^mω√ 2 ˙x .

132 DANIELE ANDREUCCI

Infine, per quanto riguarda la forza peso, F_peso·^∂X

l

∂x =−^mge3·^u1 =−√^mg 2, F_peso·^∂X

l

∂y =−^mge3·^u2 =0 . L’energia cinetica è

T_S = ^m

2(˙x²+ ˙y²). Dunque le equazioni di Lagrange sono

m ¨x=mω²x

2+mω√

2 ˙y− ^mg√ 2, m ¨y =mω²y−mω√

2 ˙x .

 9.4.1. Moto su una sfera in un sistema di riferimento ruotante. Consi-deriamo un punto P di massa m vincolato alla superficie sferica di raggio R > 0 e centro l’origine del sistema di riferimento fisso. Sul punto non sono applicate forze.

Questo è un caso particolare dell’Esempio8.2, in cui prendiamo F =0.

Osservazione 9.19. Con la notazione dell’Esempio 8.2, si può sempre as-sumere, scegliendo opportunamente le coordinate lagrangiane ϕ, θ, che le condizioni iniziali siano

ϕ(0) = ϕ0∈ (−^{π, π}), θ(0) = ^π

2 , ˙ϕ(0) = ˙ϕ0∈ ^{R, ˙θ}(0) =0 . (9.32) Le (8.8)–(8.9) allora implicano subito che il moto si riduce a un moto cir-colare uniforme sulla circonferenza (massima) θ =π/2, o alla quiete.  Qui vogliamo scrivere le equazioni di moto in un sistema di riferimento ruotanteS = (^{O, u}h), ove

u₁(t) =cos(ωt)e₁+sin(ωt)e2, u2(t) =−^sin(ωt)e1+cos(ωt)e2, u₃(t) =e₃,

con ω >0 costante, e O coincidente con l’origine del sistema di riferimento fisso (e quindi con il centro della sfera). La velocità angolare diS ^è

ω(t) =ωe3= ωu3(t). Il moto sarà

X^l(ϕ, θ, t) =Rcos ϕ sin θu₁(t) +Rsin ϕ sin θu2(t) +Rcos θu3(t), (9.33) secondo l’usuale parametrizzazione di una superficie sferica con

ϕ∈ (−^{π, π}), θ∈ (^{0, π}).

Tuttaviale coordinate lagrangiane ϕ, θ hanno qui un significato diverso da quello che avevano sopra (nella notazione dell’Esempio8.2): infatti per ϕ, θ costanti, il punto risulta fermo non nel sistema di riferimento fisso, ma invece in quello mobile S^.

9.4. SISTEMI DI RIFERIMENTO MOBILI. LE FORZE FITTIZIE. 133

Inoltre, ora le curve di livello θ =costante (i ‘paralleli’) non sono più scelte ortogonali a una direzione arbitraria (il che aveva condotto alla possibilità di scrivere la (9.32)), ma piuttosto ortogonali alla direzione (fissata) di ω, cioè dell’asse di rotazione.

Scriviamo le equazioni di Lagrange inS; la velocità è data da v_S = ˙ϕ∂X^l Dunque un conto diretto dà

T_S = ¹

2m|^vS|² = ¹

2mR²[˙ϕ²sin²θ+ ˙θ²]. (9.35) Restano da valutare le componenti lagrangiane delle forze, che si riducono nel caso presente a quelle delle forze fittizie, secondo la (9.27).

Di nuovo, calcoli diretti danno

Fc= −^2mhωu3×^˙ϕ∂X^l Si verifica quindi che le equazioni di Lagrange sono

¨ϕ sin²θ= −^˙θ(˙ϕ+ω)sin(2θ), (9.42)

¨θ= ¹

2(˙ϕ+ω)²sin(2θ). (9.43) I seguenti esercizi si riferiscono alle equazioni di moto nel sistema di riferimento ruotante.

CAPITOLO 10