: Campo magnetico

4.1. Si consideri un filo cilindrico indefinito, di raggio R=5cm, all’interno del quale scorre una corrente nella direzione positiva delle x, con densità di corrente j=250 A/m². In un sistema di riferimento cartesiano, il filo è orientato parallelamente all’asse x, in z=2m, y=0 (Figura 60). Si calcoli il campo magnetico in tutti i punti dello spazio all’interno e all’esterno del filo. Si valuti numericamente il campo nell’origine del riferimento. Si aggiunga un secondo filo, parallelo all’asse y, in x=-1m, z=0, in cui scorre una corrente i=2A nella direzione positiva delle y. Si calcoli il modulo e la direzione del campo magnetico risultante nell’origine .

Figura 60

Considerando un riferimento cilindrico con asse nell’asse del filo il campo magnetico dipende soltanto dalla distanza r dall’asse del filo, dove r= y²+ −(z 2)² . Utilizzando il teorema di Ampere, e circonferenze di raggio r, concentriche all’asse del filo di ha che la circuitazione di B vale 2 rB , mentre la corrente concatenata cambia se si è all’interno del filo o all’esterno. Si ha che il modulo del campo magnetico vale

0 nella direzione negativa delle z.

4.2. Si consideri un circuito nel piano cartesiano xy, costituito dalle due semirette x=a y, 0 e

, 0

x= −a y , raccordate dall’arco di circonferenza y= a²−x² x  , a=10cm. Nel circuito a scorre una corrente di intensità i=2A che circola in senso orario nell’arco di circonferenza. Si calcoli il campo magnetico nell’origine del sistema di riferimento (Figura 61a) sia prodotto dalla sola semicirconferenza che dall’intero circuito. Il circuito viene modificato in modo tale che le semirette formino un angolo

2

  rispetto alla direzione orizzontale e l’arco di circonferenza

esteso in modo tale che le semirette continuino ad essere tangenti alla circonferenza (Figura 61b).

Si calcoli l’angolo  in modo tale che il campo magnetico al centro della circonferenza prodotto dai due tratti rettilinei sia la metà di quello relativo all’arco di circonferenza.

Figura 61 dove  è la curva dello spazio occupata dal filo e r la posizione del punto in cui si misura il campo.

Sia l’asse z uscente dal piano.

Soluzione 1. E’ possibile considerare un secondo circuito che sia l’immagine speculare del primo rispetto all’asse x (Figura 62). Per simmetria i campi magnetici prodotti dai due circuiti sono uguali in modulo e concordi in verso, il campo totale dunque è il doppio di quello del singolo dispositivo.

Figura 62

Il campo di questo nuovo circuito è la somma del campo di due fili percorsi da corrente in verso opposto, più il campo di una spira circolare. Applicando le formule di Biot-Savart e della spira si ha

che ^{0 0 0}

(

²

)

secondo quello della semi-circonferenza.

Nel secondo caso il campo prodotto dai due tratti rettilinei non cambia mentre nel primo caso la lunghezza dell’arco di circonferenza varia e vale ⁽⁾=²

(

 −

)

^a. Il campo della porzione di

circonferenza considerata è ( ) ⁰

Soluzione 2: Per l’arco di circonferenza considerato, dr' è tangente alla circonferenza, ortogonale a

− '

r r , che ha modulo costante pari ad a. In tal caso, utilizzando la regola della mano destra il campo magnetico è diretto lungo z, entrante, e vale

0 0 0

Difatti, poiché la funzione integranda nel secondo integrale è pari, l’integrale di interesse è pari alla metà dell’integrale relativo all’intero filo (terzo integrale). Il campo magnetico dell’intero filo può essere calcolato usando la relazione di Biot Savart. Sfruttando questa relazione e osservando che il campo dei due tratti rettilinei è lo stesso, il campo totale vale

( )

La seconda parte è analoga a quella svolta nella soluzione 1.

Soluzione 3 :Procedendo come per la soluzione 2, il calcolo dell’integrale

( )

B può essere svolto analiticamente. Con la sostituzione y tan

x =  si

La seconda parte è analoga a quella svolta nella soluzione 1.

4.3. Si consideri un circuito nello spazio, costituito da tre fili: un filo indefinito che occupa la

y= x= cm z . Nel circuito scorre una corrente i=2A, tale che il verso della corrente nella semicirconferenza è orario. Si calcoli il campo magnetico nell’origine del sistema di riferimento.

Una spira circolare di raggio R=0.5cm viene disposta in modo tale che il suo centro coincida con l’origine del sistema di riferimento. Si stabilisca la corrente che deve circolare nella spira e la direzione della spira stessa affinché il campo magnetico nell’origine sia nulla.

Nel riferimento x x x si consideri un filo che occupa la semiretta _{1 2 3} x₁=x₃ =0;x₂  . Il campo 0



+



. Il campo elettrico prodotto da una semicirconferenza di raggio a nell’origine vale

Il campo elettrico prodotto dalla configurazione assegnata si può ottenere per sovrapposizione.

Posto a=3cm si ha che normale la corrente scorre in senso antiorario e, dato che il campo della spira vale ⁰

2

4.4. Una spira circolare di raggio r, percorsa da una corrente continua di intensità i si trova in un campo magnetico uniforme di induzione B; la direzione di B è parallela al piano della spira. Sia CD il diametro della spira perpendicolare a B; si calcoli il modulo della risultante delle forze magnetiche agenti sopra una metà della spira avente i punti C e D come estremi ed il momento assiale rispetto alla retta CD delle forze agenti sopra l’intera spira.

Figura 63

Si consideri un sistema di riferimento polare per cui ogni punto della spira resta individuato dall’angolo , misurato rispetto alla direzione orizzontale in verso antiorario. La densità lineare di corrente in un punto della spira è tangente alla spira stessa. L’intensità della forza, relativa al tratto di spira compresa tra gli angoli  e  +d è

( ) dF=i ds B

La forza è ortogonale al piano della spira. Inoltre in coordinate polari si ha che ds=rd. Per la metà destra della spira (alla destra del segmento CD) la forza è entrante, mentre è uscente per la metà sinistra. Usando come determinazione dell’angolo l’intervallo ,

2 2

−  

 

  per la metà destra della spira, l’angolo compreso tra ds e B è

 2 + . Il modulo della forza sul tratto considerato

sin cos( )

dF =iRB ^  2+ ^d =iRB  d

Il modulo della forza sulla metà della spira si ottiene integrando l’espressione di sopra

2 2

2 2

cos( ) 2

F dF iRB d iRB

 

 

 

− −

=



=



=

Si consideri un tratto infinitesimo di filo compreso tra gli angoli  e  +d , il momento associato alla forza è dM= R dF, dove R è la distanza dall’asse. Osserviamo che per due angoli simmetrici

C

D

B

rispetto all’asse, il momento è lo stesso perché sia R che dF cambiano segno. Per simmetria possiamo limitarci al calcolo del momento per la semicirconferenza a destra dell’asse e moltiplicare il risultato per due. Inoltre poiché R è sempre diretto lungo x come il campo magnetico e F è nel piano ortogonale alla spira. Si ha che il modulo dM =RdF =rcosdF =iBr²cos² d , il momento complessivo è diretto lungo l’asse e vale

2 2

4.5. Si consideri una spira rettangolare, di lati l=20 cm d=10cm, momento di inerzia I=1.2 10^-3 kg m², sospesa ad un filo inestensibile di massa trascurabile, libera di ruotare intorno all’asse verticale contenente il filo. Il filo è legato nel punto medio di uno dei due lati corti. Ai capi della spira la differenza di potenziale produce una corrente costante i=2A, durante il moto. La spira è immersa in un campo magnetico B=0.1T orizzontale. All’istante iniziale B è parallelo alla spira, che possiede una velocità angolare 0=1rad/s (Figura 64). Si calcoli il momento delle forze risultante e si calcoli il verso della corrente affinché la forza magnetica sia frenante. Si calcoli l’angolo massimo percorso dalla spira. Si trascuri l’effetto della forza elettromotrice indotta

Figura 64

Durante il moto, due punti simmetrici lungo il lato corto producono la stessa forza e dunque il loro contributo al momento sia annulla. Si noti anche che la forza risultante lungo uno dei due lati corti è opposta a quella lungo l’altro lato, producendo anche una forza netta nulla. Lungo i lati lunghi, il campo, orizzontale è sempre ortogonale alla direzione del filo. Supponiamo di considerare un riferimento cartesiano, per cui l’asse x è diretto come B, l’asse z verticale, e y tale che il sistema di riferimento xyz sia levogiro. La forza, nel caso in cui la corrente sia nella direzione positiva delle z è F=ile_z =B ilBe , dove e_y i rappresenta il versore dell’asse i. Nel caso in cui la rotazione è antioraria (  ), tale forza deve essere diretta lungo la direzione positiva delle y per il ramo a 0 sinistra e negativa per quello a destra. Il verso della corrente deve essere orario. In tal caso il

dove  è l’angolo di rotazione e r è la posizione di un punto generico della spira rispetto all’asse. Il lavoro fatto dalla forza frenante è pari alla variazione di energia cinetica:

2 2

Per piccoli angoli, la funzione seno è stata approssimata con l’argomento.

4.6. Un conduttore cilindrico pieno di raggio R = 20 cm è percorso per una frazione pari a metà del raggio da una corrente i = 4A diretta verso l’alto e nella restante parte da una corrente -2i diretta verso il basso. Si calcoli il valore dell’induzione magnetica in funzione della distanza r dall’asse del cilindro. Si calcoli il flusso di B attraverso una spira rettangolare di base b = 10 cm ed altezza h=6cm, aderente con quest’ultima al cilindro ed avente la base diretta lungo il raggio come in Figura 65

Figura 65

Per il calcolo dell’induzione magnetica possiamo utilizzare il teorema di Ampere sfruttando le proprietà di simmetria associate alla configurazione geometrica assegnata. Infatti, per analogia con un filo percorso da corrente, l’induzione magnetica dipende in modulo dalla distanza dall’asse mentre la sua direzione è nel piano orizzontale ortogonale al raggio che connette ciascun punto all’asse. Utilizzando come percorso una circonferenza  di raggio r, il prodotto scalare del campo per la variazione di distanza è costante e la circuitazione lungo la circonferenza (r) vale

( )

Tale circuitazione è pari alla permettività magnetica per la corrente concatenata. Dobbiamo quindi distinguere tre casi. Per

2

r  R , si ha che la corrente concatenata è legata soltanto alla frazione che

scorre verso l’alto. La densità di corrente in tal caso vale ₂

1

4

i i

j^{+ =} A ⁼R , dove A1 è l’area del cerchio interno al cilindro. Applicando il teorema di Ampere si ha che

2

dove  è il cerchio che ha per bordo la circonferenza selezionata. Il campo magnetico vale

0 2

Nel caso in cui la distanza è compresa tra 2

R r R , la circuitazione del campo è prodotta dalla corrente interna e dalla frazione di corrente esterna che attraversa la circonferenza selezionata. La densità di corrente nella corona circolare vale ₂

2

Per il calcolo del flusso del campo magnetico bisogna considerare solo l’ultima espressione per B, perché la spira è esterna al cilindro. Il campo è ortogonale alla spira e varia solo nella direzione radiale, mentre per ogni valore di r fissato esso è costante. Si ha che

0 1 0 8 corrente. Si calcoli il campo magnetico ad una distanza r>R dall’asse del cilindro ed il flusso del campo attraverso una superficie quadrata di lato L, con un lato appoggiato alle pareti del cilindro, in direzione opposta rispetto alla cavità.

Figura 66

Il valore del campo magnetico all’esterno del cilindro può essere calcolato utilizzando il principio di sovrapposizione. La configurazione data infatti può essere decomposta nel contributo prodotto da un cilindro pieno di raggio R e asse coincidente con l’asse del cilindro e nel contributo di una corrente di segno contrario che scorre in un cilindro che riempirebbe la parte cava. Per il calcolo del campo prodotto dal cilindro pieno, fissiamo un riferimento polare (r,) centrato nell’asse del cilindro pieno e scegliamo come cammino una circonferenza concentrica con l’asse. Per il teorema di Ampere, il campo magnetico dipende solo da r e per r>R si ha che 2 rB ₁=₀i= ₀j R², da cui il primo contributo è

2 0 1( )

2 B r jR

r

= 

Fissato un riferimento polare (r’,’) centrato nell’asse della parte cava, per ogni punto esterno alla regione cava l’espressione del campo è analoga, ma di segno opposto:

2 0 2( ')

2 ' B r jd

r

= − . Dobbiamo ora riscrivere la distanza r’ nel riferimento iniziale (r,). Per un punto esterno al cilindro di coordinate (r,) si ha che r'² =r²+d²+2rdcos, da cui il valore del campo rispetto a questo riferimento è

2 0

2( , ) 2 2

2 2 cos

B r jd

r d rd

 

= − 

+ +

Figura 67

I due vettori B1 e B2 non hanno la stessa direzione come si vede dalla rappresentazione in pianta di Figura 67. Indicando con  l’angolo compreso tra i due vettori, si ha che, per il teorema dei seni:

2 2

Dunque le componenti del campo nel riferimento polare sono

2 2 2 2

In particolare per = si ha che il campo magnetico non ha componente radiale, mentre il valore della componente trasversa è

2 2 attraverso la superficie considerata vale

2 2 v=300m/s. La capacità del condensatore con la guida è C=1F. Si studi il moto della carica e si calcoli la reazione vincolare sulla guida. Quando la carica arriva al centro del condensatore, si applica un campo magnetico ortogonale al piano contenente la guida ed il campo elettrico. Si

calcoli il valore e verso di B necessario per allontanare la carica dalla guida e consentire che esca dal condensatore senza impattare su una delle armature.

Figura 68

Durante il moto ed in assenza di campo magnetico le forze che agiscono sulla carica sono verticali.

Poiché la carica si muove lungo la guida orizzontale il moto è rettilineo uniforme a velocità v. La legge di Newton lungo la direzione verticale indica che

510 3

N qE mg q Q mg N

Cd

= + = + = −

Sotto l’azione di un campo magnetico orizzontale, normale al piano individuato da v e E, si ha che la forza di Lorentz F=qv B è verticale. Affinché la carica possa allontanarsi dalla guida, tale  forza deve essere diretta verso l’alto. Dunque B deve essere entrante. In tal caso la pallina si allontanerà dalla guida se N=0, ovvero qvB=qE+mg. Da cui

Q mg N 1.6

B T

Cdv qv qv

= + = =

4.9. Si consideri un solenoide di lunghezza L=15cm, con N=500 spire circolari di raggio R=20cm, all’interno del quale scorre una corrente di intensità i=5° (Figura 69). Si assuma il comportamento del solenoide ideale. Una carica q=0.1mC, di massa m=0.1g, entra nel solenoide ad una distanza dall’asse pari alla metà del raggio, con una velocità iniziale v=1 cm/s e componenti dirette una parallelamente all’asse del solenoide e una nel piano della prima spira, ortogonale al raggio. Si stabilisca il valore della componente assiale della velocità affinché la proiezione della traiettoria nel piano delle spire sia una circonferenza di raggio R/2. Si stabilisca il tipo di moto della carica, a che istante di tempo essa esce dal solenoide, di che angolo ha ruotato nel solenoide al momento dell’uscita

Figura 69

Il campo magnetico di un solenoide è nullo all’esterno del solenoide e costante all’interno, diretto lungo l’asse, di intensità ₀ N 0.02

B i T

 L

= = . La carica all’interno del solenoide è soggetta alla forza di Lorentz. Nella direzione assiale la velocità è costante, mentre nel piano delle spire il moto è centrale. Il moto complessivo è elicoidale. Sia vp la proiezione della velocità nel piano della spira.

Affinché il moto sia circolare si ha che qv BR_p =2mv²_p , da cui 2.1 / Il tempo di uscita dal solenoide vale

/ _a 15 T =L v = s

Poiché la proiezione del moto nel piano è circolare uniforme, la variazione di angolo tra l’uscita e l’inizio vale 2v^p 18 magnetico è ortogonale alla spira e spazialmente costante, il flusso vale ^{2 0}

0

( ) B

BS r t

 t

 B = = . La

forza elettromotrice indotta vale :

2 0

Il verso della corrente è tale da opporsi all’aumento del flusso: poiché il campo esterno cresce, al corrente deve produrre un campo magnetico indotto che si oppone al campo iniziale. In questo caso

il verso è orario. Poiché la forza elettromotrice è costante, la potenza dissipata è costante e l’energia R=1 come in Figura 70, immerso in un campo magnetico B = 1T. Si assuma tutta la resistenza concentrata nell’asticella, mentre quella della restante parte del circuito si consideri trascurabile.

Partendo da ferma, l’asticella si muove con accelerazione costante a = 1m/s². Si calcoli la forza elettromotrice indotta nel circuito, il verso della corrente e l’energia dissipata nel circuito fino ad un tempo t = 1s.

Figura 70

Il flusso del campo magnetico all’interno del circuito vale ( ) BS B = . La superficie aumenta nel tempo con la legge S =S₀+x t l( ) , dove S0 è la superficie iniziale e x(t) l’equazione oraria della sbarretta. Per la legge di Faraday-Neumann, la forza elettromotrice indotta nel circuito vale

( ) dS ( )

Il verso della corrente è tale da ridurre il contributo del campo magnetico esterno all’interno della spira: poiché il campo è proporzionale a k r dove k è la direzione della spira e r la distanza, il verso della corrente è orario. La potenza dissipata nel circuito vale

2

P R

= . Poiché la potenza

dipende dal tempo, l’energia si ottiene per integrazione:

0 2 2 2 0 2 2 2 3

4.12. Un filo di rame di forma rettangolare è immerso in un campo magnetico uniforme B=0.1T, ortogonale al piano individuato dal filo. Uno dei suoi lati minori di lunghezza l=20cm, si cui è concentrata tutta la resistenza R=10 è libero di scorrere lungo i due lati maggiori e sotto l’azione di una forza esterna F si muove a velocità costante v=2m/s verso l’altro lato minore. Si calcoli l’intensità di corrente che circola nel circuito e l’intensità della forza F da applicare affinché il filo possa muoversi a velocità costante

Per il teorema di Faraday-Neumann-Lenz, poiché la superficie circuitale attraversata dal campo magnetico varia nel tempo, si crea una forza elettromotrice indotta. Assumendo che la superficie iniziale del circuito sia S0, la superficie definita dal circuito all’istante di tempo t è S t( )=S₀−vlt.

Poiché il campo magnetico è ortogonale al piano definito dal circuito, la forza elettromotrice indotta

La corrente che attraversa il circuito è

Blv 4

i mA

R R

=  = =

La potenza associata alla forza esterna, che consente alla sbarretta di muoversi è pari a quella dissipata dalla corrente nella resistenza: Fv=i R² , da cui il modulo della forza è

2 2

Per far muovere la sbarretta a velocità costante, tale forza è uguale in modulo e opposta alla forza magnetica, che può essere calcolata attraverso la legge di Ampere F= −ilk B , dove k rappresenta  la direzione del filo nel verso della corrente.

4.13. Si consideri un circuito immerso in un campo magnetico B=10^-3 T ortogonale al circuito. Il circuito è costituito da due binari molto lunghi, paralleli, distanti l=30cm e collegati ad un’estremità da un filo, su cui può scorrere un’asta metallica in cui è concentrata tutta la resistenza R=2 del circuito. L’asta si muove a velocità costante v=10m/s. Si calcoli la forza elettromotrice indotta e la forza magnetica sull’asta. Si mostri che la potenza dissipata nella resistenza è pari alla potenza associata a questa forza.

Per la legge di Faraday-Neumann-Lenz la forza elettromotrice indotta vale

( ) dA 3

dove A rappresenta l’area racchiusa dal circuito. La corrente Blv

i R R

=  = circola in senso orario, la forza prodotta dal campo magnetico sull’asta è diretta verso il centro del circuito, parallela ai binari e vale

La potenza associata a questa forza vale

( )

^{2 2}

Essa è esattamente uguale alla potenza dissipata nel circuito per effetto ohmico.

4.14. Si consideri un tratto di circuito con tre rami fissi e resistenza trascurabile: un segmento di lunghezza d=10cm lungo l’asse positivo delle y, con un estremo nell’origine, e due semirette, una corrispondente all’asse positivo delle x e una parallela, uscente dall’altro estremo del segmento e di coordinate y=d, x>0(vedi Figura 71). Il circuito viene chiuso da un’asta mobile, di resistenza R=10, parallela all’asse y, che si trova inizialmente nella posizione di ascissa x0=20cm. L’asta si muove a velocità costante v=3m/s, mantenendosi parallela all’asse x, in un campo magnetico circuito. Si calcoli la potenza dissipata al variare del tempo e l’energia dissipata in un tempo T=2s.

Figura 71

Il flusso del campo magnetico ad un istante generico t è, per definizione

0 0

L’equazione oraria dell’asta mobile è x t( )=x₀+vt. La forza elettromotrice è la derivata del flusso del campo rispetto al tempo

( ) ( )

La potenza dissipata nel tempo è

( )

4.15. Si consideri un circuito costituito da due binari, un ramo fisso ed un asta mobile che chiude il circuito. La lunghezza del ramo fisso e dell’asta è l=10cm. L’intera resistenza del circuito è concentrata nel ramo fisso e vale R=3. L’asta, di massa m=5g si muove verso destra con velocità

iniziale v0=2 m/s ed all’istante di tempo t=0 entra in una regione in cui è presente un campo magnetico ortogonale al circuito, di intensità costante B=0.8T, come mostrato in Figura 72 . Nel caso in cui la velocità dell’asta è costante, si calcoli la corrente indotta nel circuito, la potenza dissipata e la forza necessaria a far muovere l’asta di moto uniforme. Si descriva invece il moto dell’asta nel caso in cui sia lasciata libera di muoversi con velocità iniziale v0.

Figura 72

Figura 72

Nel documento Problemi di Fisica II. Elettromagnetismo, Onde Meccaniche e Ottica (pagine 87-130)