6.1. Si consideri il circuito di Figura 136. Si calcoli l’intensità di corrente che circola nell’induttanza L2 e la differenza di fase tra questa ed il generatore in funzione della frequenza angolare. Si calcoli la frequenza angolare alla quale generatore e corrente in L2 sono in fase. Sia R=100 , L1 =0.1 H, L2 =0.4 H.
Figura 136
Nel circuito assegnato conviene calcolare la corrente richiesta con il metodo delle maglie (vedi Figura 137). Definite I1 e I2 le correnti di maglia, come in figura, le equazioni risultanti sono
La differenza di fase vale
1 2
La corrente è in fase con il generatore se la parte reale del numeratore si annulla
0
Figura 137
6.2. Nel circuito di Figura 138, sia una forza elettromotrice alternata, con =220V, R1=50, R2=70, C=1F, L=10mH. Si calcoli la pulsazione alla quale la corrente che attraversa la resistenza R1 sia sfasata di un quarto di periodo rispetto al generatore. Si stabilisca se, in questa condizione, la corrente in R1 anticipa o ritarda rispetto al generatore. Si calcoli il massimo della corrente e la potenza dissipata in R1.
Figura 138
Uno sfasamento di un quarto di periodo corrisponde ad una differenza di fase di 2
rispetto al generatore. Assumendo la fase del generatore nulla e applicando il metodo dei nodi per il potenziale V tra la capacità e la resistenza R1 si ha la seguente equazione:
1 2 questo fattore deve annullarsi, portando alla condizione
2 3
anticipa il generatore. Il valore massimo della corrente vale
0 costante. La spira parte da ferma, in una configurazione in cui il piano della spira è ortogonale al campo e ruota intorno ad un asse passante per il suo centro con accelerazione costante
=10rad/s2, per un tempo t0=0.2s. Successivamente, la velocità angolare di rotazione è mantenuta costante. Si calcoli la forza elettromotrice indotta sulla spira nel tempo. La spira può essere assimilata ad un circuito RL in parallelo con R=1 e L=0.1H. Si calcoli la differenza di fase tra la forza elettromotrice indotta e la corrente erogata.
L’equazione oraria della spira è
2 La forza elettromotrice indotta vale
2 2 una distanza d=5cm dal filo (Figura 139). Si calcoli la forza elettromotrice indotta nella spira. Si assuma che la spira si comporti come un circuito RL, con R=100 e L=100mH. Si valuti
l’ampiezza della corrente nella spira e la differenza di fase rispetto alla corrente nel filo.
Figura 139
Il campo magnetico generato dal filo è orientato secondo circonferenze concentriche al filo e varia con la distanza r dal filo secondo la legge di Biot-Savart : ( ) 0
2 B r i
r
= . Attraverso la spira il flusso di B varia nel tempo perché la corrente varia nel tempo. Il flusso del campo magnetico vale:
0 0 1 0 0
La forza elettromotrice indotta vale ( ) 0 0
6.5. Si consideri un sistema costituito da due binari conduttori assimilabili a semirette parallele, connessi all’estremità da un filo CP ortogonale ad entrambi i binari di lunghezza l. Filo e binari sono nello stesso piano. Nel punto A, distante l da C, sia fissato un pendolo semplice costituito da un filo conduttore di massa trascurabile ed una massa agganciata all’estremità. Il pendolo può oscillare senza attrito nello stesso piano dei binari dove la direzione verticale è indicata da CP e la lunghezza l0 del pendolo è sufficientemente maggiore di l in modo tale che il pendolo chiuda sempre il circuito. Il sistema è immerso in un campo magnetico costante B ortogonale al piano dei binari(Figura 140). Il pendolo viene lasciato libero di muoversi partendo da un angolo 0 e su di esso viene applicato un momento tale da annullare la resistenza prodotta dalla forza magnetica sul
filo, in modo tale che il pendolo oscilli senza smorzamento. Si assuma valida anche l’approssimazione di piccole oscillazioni. Si calcoli il flusso del campo magnetico attraverso il circuito e la forza elettromotrice indotta. Si consideri il circuito assimilabile ad un’induttanza L, in serie con un parallelo su i cui rami ci sono rispettivamente una resistenza R1 ed una serie R2-C (Figura 140). Si calcoli l’impedenza totale del circuito. Si calcoli il valore della frequenza per cui la corrente sia in fase o in opposizione di fase rispetto alla fem. Si definisca la condizione che lega gli elementi circuitali affinché questa frequenza esista. Nel caso in cui L=0 e C=0 si calcoli l’equazione oraria del pendolo, in assenza di momento esterno.
Figura 140
=l . Tale equazione del moto tiene conto anche delle condizioni iniziali.
Il flusso del campo magnetico vale
2 2 2 2
Nella seconda eguaglianza abbiamo imposto la condizione di piccole oscillazioni per cui tan . La forza elettromotrice indotta vale quindi
( , ) 1 2 0
La forza elettromotrice è una fem alternata. L’impedenza del circuito associata è
( )
La corrente è in fase o in opposizione di fase con il generatore se Zeq è reale. Tale condizione si ottiene imponendo Im(Zeq)= . Si ha che 0
Tale condizione esiste se
2 1
R L
C
Nel caso L=0, C=0, il circuito è puramente resistivo, con resistenza R1. La corrente che circola nel circuito è
= = . La forza magnetica che agisce sul filo ha modulo
2 3
e la sua proiezione lungo la direzione tangenziale è
2 3
Tale equazione è l’equazione di un oscillatore armonico smorzato e presenta tre classi di soluzioni.
Sia massima della corrente che attraversa la spira
Figura 141
Attraverso la spira si ha una variazione del flusso del campo magnetico sia perché nel moto, la spira attraversa regioni in cui il campo varia sia perché la sezione normale al campo varia a causa della rotazione. Indicando con l’angolo di rotazione della spira rispetto alla configurazione iniziale, la
legge oraria della spira è = t. L’angolo che la normale alla spira forma con il campo magnetico è ancora .
Figura 142
Per il calcolo del flusso del campo magnetico, consideriamo il caso generico in cui la posizione della spira forma un angolo rispetto all’asse x. Consideriamo un sistema di riferimento ( , ) y solidale alla spira (Figura 142). Il flusso del campo magnetico all’ angolo è:
0 0
In un circuito in corrente alternata, l’impedenza di una serie RC è 1
a
Ringraziamenti
Ringrazio in primis gli studenti del corso 2012, che mi hanno stimolato nella costruzione e risoluzione di questi problemi: senza il loro contributo questa raccolta non avrebbe visto la luce.
Tra questi, ringrazio, in particolar modo, Gennaro Ciampa, per avermi mostrato alcune inconsistenze e complessità, una delle quali anche durante il compito d’esame. Le grandi sfide, risolte egregiamente dal gruppo Domenico La Manna, Nicola Capone e Gennaro Ciampa, sono state prima di tutto sfide per me, nella costruzione e proposizione dei testi. Ma sono state anche sorprese nelle soluzioni, più semplici di quelle che io avessi ottenuto.
Ringrazio anche Antonio Esposito, per avermi segnalato alcuni errori nei risultati di un esercizio e Antonio Scala, che con la sua mente di fisico, ha segnalato imprecisioni e mancanze.
E ancora voi che lo utilizzerete: mettendovi alla prova mi darete sicuramente nuovi contributi.
Buona lettura. E buon lavoro.