Onde

1.1. Un punto materiale è soggetto a due moti oscillatori aventi la stessa frequenza e fasi iniziali uguali. Le ampiezze delle oscillazioni sono A1= 6 cm e A2=8 cm. Si determini l’ampiezza A dell’oscillazione risultante e l’istante di tempo in cui questa si osserva nei casi in cui

(a) le oscillazioni avvengono nella stessa direzione (b) le oscillazioni avvengono in direzioni ortogonali

(c) Cosa succede se, in quest’ultimo caso, le oscillazioni sono sfasate di /2 ?

Consideriamo un moto oscillatorio di tipo sinusoidale e pulsazione . Nel caso (a), indicata con x la direzione di moto, il punto materiale è soggetto alla legge oraria

1 2 1 2 che l’equazione oraria è

1

Ad ogni istante di tempo, l’ampiezza dell’oscillazione è data dalla posizione della particella

2 2 2 2

Infine se le oscillazioni sono sfasate di  / 2 l’equazione oraria è

1

massimo allorquando la funzione seno si annulla, dunque nelle condizioni definite sopra.

1.2. Si considerino due onde sinusoidali, progressive. L’ampiezza massima della prima onda è il doppio dell’ampiezza massima della seconda e la differenza di fase tra la prima onda e la seconda vale . Si determini il massimo dell’ampiezza relativa alla sovrapposizione delle due onde in funzione dello sfasamento  

Assumendo che la prima onda abbia un’ampiezza A, la sovrapposizione delle due onde sinusoidali

è data da ( , ) sin sin

Il massimo della funzione u( ) si ottiene imponendo la derivata prima di u pari a zero. In tal caso si ha la condizione fase. L’ampiezza della sovrapposizione decresce tra 0 e .

1.3. Si considerino due onde piane sinusoidali, progressive, di pari ampiezza A=2cm, di frequenze 1 = 3 Hz e 2 = 2 Hz, che viaggiano lungo l’asse x a velocità c=20 m/s e che per t=0 hanno ampiezza nulla e crescente nell’origine degli assi. Scrivere l’espressione analitica delle singole onde considerate, e calcolare la sovrapposizione. Si calcoli l’ampiezza nell’origine per t=0.1s.

Le due onde considerate hanno espressione

1 1

La sovrapposizione delle onde è data da

=0.2kg/m e tensione E=80N, che giace sull’asse x. Si calcoli la velocità di propagazione di una perturbazione lungo la corda. La corda, fotografata all’istante t=0s presenta due perturbazioni di forma triangolare(Figura 1). La prima ha massimo in x1=0cm, ampiezza A1=1cm, apertura di D1=10cm e viaggia verso destra, la seconda ha minimo in x2=60cm, con ampiezza A2=0.2 cm e apertura D2=2cm e viaggia verso sinistra. Si calcoli la forma della corda dopo un tempo t1=15ms.

Si calcoli il più piccolo tempo t2 per cui la perturbazione piccola appare interamente alla sinistra di quella grande.

Figura 1

La velocità di propagazione delle onde lungo la corda è 20 /

c E m s

=  =

Dopo un tempo t1, i due massimi sono sovrapposti. Poiché i triangoli sono simili, la forma della corda è un trapezio isoscele, centrato in x=30cm, con base minore di 2cm e base maggiore di 10cm.

Per il calcolo del tempo t2, conviene sfruttare i moti relativi e assumere che la perturbazione grande sia ferma sulla corda mentre quella piccola avanza verso sinistra con velocità 2c. Il tempo più piccolo si ottiene appena la perturbazione piccola appare interamente in basso a sinistra di quella grande, ovvero quando il massimo della perturbazione piccola si trova alla coordinata di -6cm. Tale tempo è dato da ₂ ( ^{2 1 2}/ 2 ¹/ 2)

Lungo la corda la velocità di propagazione di una perturbazione sia v=10m/s. La corda, all’istante t=0s presenta due perturbazioni. La prima, di forma triangolare, ha massimo in x1=0cm, ampiezza A1=3cm, apertura di D1=6cm e viaggia verso destra. La seconda ha forma di un trapezio isoscele, con il punto B in x2=1m, altezza A2=3cm base maggiore D21=12cm e base minore D22=6cm e viaggia verso sinistra(Figura 2). Si calcoli l’istante di tempo in cui comincia l’interferenza e quello in cui finisce. Si discuta la forma della perturbazione durante l’interferenza.

Figura 2 triangolo capovolto in una fase generica dell’interferenza, questo individua due punti sull’asse x.

Siano P e Q i punti del trapezio ABCD che hanno per ascisse questi punti. Si consideri anche quel vertice del trapezio (nel caso della figura il vertice B), da cui tracciando l’altezza si ha

L’impatto produce una singola onda circolare isotropa che si propaga sulla superficie dell’acqua.

Lo studente vede arrivare l’onda alla riva dopo un tempo t0=4.27s dal momento del lancio. (a) Si calcoli la velocità c di propagazione dell’onda. Dopo il rimbalzo, la pietra avanza alla stessa velocità e rimbalza una seconda volta ad una distanza 2d. (b) Si calcoli l’insieme dei punti sulla congiungente i due impatti in cui si ha il massimo dell’ampiezza ed il tempo a cui l’ampiezza massima viene raggiunta. Si assuma che la pietra compia i primi rimbalzi avanzando sempre alla stessa velocità e impattando sempre a distanza d dal rimbalzo precedente. (c) Si calcoli la frequenza con la quale lo studente osserva i massimi di ampiezza. (d) Si calcoli, infine, per i primi

due rimbalzi (caso b) il luogo dei punti nel piano in cui si ha il massimo dell’ampiezza dell’onda.

Nel problema si trascuri l’effetto della gravità sul moto della pietra.

Figura 4

Il tempo totale dal momento del lancio è il tempo necessario alla pallina per impattare sulla superficie del lago più il tempo richiesto dall’onda per raggiungere lo studente dal punto di impatto:

0

Assumiamo un riferimento con origine nel punto del primo impatto e asse x nella direzione di moto della pietra. Si assuma t=0 al momento del primo impatto. Il secondo impatto avverrà nel punto di coordinate (x+d y, ). La prima sorgente emette un’onda circolare che al tempo t si trova su di una circonferenza di raggio ct. La seconda sorgente emette una seconda onda circolare, al tempo ^d

v , che al tempo t si trova su una circonferenza di raggio (c t−d v/ ). Il nostro obiettivo è calcolare, per ogni tempo, l’intersezione delle due circonferenze, ovvero risolvere l’equazione

2

Sulla congiungente i due impatti (y=0), si ha che

; ( ) d

x ct d x c t v

 

= − =  − 

Le soluzioni del sistema sono

1 4.26 ; 1 2.14

L’equazione generale ha soluzione per t

2

Sostituendo il valore di t trovato nell’espressione della circonferenzay²+x² =c t^{2 2} si ha

2 2 2

Soltanto il ramo di iperbole nel semipiano 2

x  d è accettabile perché garantisce la condizione d t v

  . Dunque la frequenza di osservazione delle ampiezze massime è data da

1

Dove abbiamo posto 1 /T =c d/ . Questa relazione è la stessa che si ottiene applicando la formula dell’effetto Doppler, con un angolo di vista pari a . In questo caso, però la formula dell’effetto doppler non vale per tutti gli angoli, perché la velocità di moto della sorgente è maggiore di quella di propagazione delle onde.

1.7. Due automobili viaggiano in direzioni opposte a velocità di 100 km/h e 50 km/h. I clacson delle auto emettono dei suoni a lunghezze d’onda di 0.76m. Si calcoli la frequenza alla quale i clacson emettono i loro suoni. Si calcoli la frequenza del suono del clacson percepita dai due guidatori, sia in assenza di vento, sia nel caso in cui il vento spira ad una velocità di 80 km/h, nella

direzione di moto dell’auto più veloce. Si assuma la velocità del suono in aria pari a 343m/s. velocità del vento varia ed è 365m/s nella direzione del vento e 321m/s nella direzione opposta. La nuova frequenza percepita dal guidatore lento è f_L^*=507Hz mentre l’altra è f_V^* =513Hz.

1.8. Un tifoso (non dell’Italia), in ritardo per la partita di calcio, viaggia in direzione del Maracanà con la sua automobile. Alla radio ascolta il gol della sua squadra e percepisce il boato provenire direttamente dallo stadio dopo un tempo t=9s. Si calcoli a che distanza si trova il tifoso dallo stadio. Si stabilisca la velocità v a cui viaggia il tifoso se la frequenza dominante di emissione del segnale emesso allo stadio è 620Hz e quella percepita dal tifoso è 695Hz. Si assuma che il segnale radio viaggi in linea retta alla velocità della luce c, mentre la velocità delle onde sonore nell’aria sia V=345m/s. Si stabilisca l’errore che si commette assumendo l’arrivo del segnale radio istantaneo.

La distanza del tifoso dallo stadio può essere calcolata dal ritardo nel tempo di arrivo del boato rispetto al segnale radio

c 3.1

L’errore che si commette sulla distanza assumendo istantanea la propagazione del segnale radio è 10 6

d tV V

e d c

− −

= =  .

1.9. Una boa avvista un sottomarino ad un angolo di vista rispetto al piano orizzontale di 45°, inviando un segnale acustico alla frequenza di f=850Hz. Il segnale viene riflesso dal sottomarino e ricevuto dalla boa dopo un tempo T=0.75s, alla frequenza f’ =820Hz. Si calcolino la velocità di moto del sottomarino e la sua posizione rispetto alla boa. Si assuma la velocità del suono in acqua pari a c=1.5km/s.

La distanza del sottomarino è 0.56 2

d =cT = km. Assumendo un riferimento con asse x orientato parallelamente alla superficie dell’acqua e nella direzione del sottomarino e z diretto verso il basso, le coordinate del sottomarino sono ( ,x x_{0 0}) con ₀ 0.40

2

x = d = km . La frequenza a cui il

sottomarino riceve il segnale è ^{fs = f }^1−v_c^cos⁼ _c^f

(

^{c− 2v}

)

. La frequenza di riemissione del segnale è fs. Il segnale arriva alla boa con frequenza

( )

² viene percepito dall’osservatore posto in A dopo tA=1.6s e da quello in B dopo tB=0.7s. Si calcoli la posizione del treno nell’istante in cui emette il fischio e la velocità con cui si propaga il suono in galleria. Il segnale emesso, che può essere assunto monocromatico, viene sentito dall’osservatore in A ad una frequenza di fA=455Hz, mentre da quello in B ad una frequenza fB =500 Hz. Si calcoli la velocità di moto del treno e la frequenza di emissione del segnale.

La velocità con cui si propaga il segnale è data da c=d/ (t_A+t_B)=0.348km s/ . La distanza del

Da cui la frequenza alla quale era stato emesso il segnale è _{0 A}c v 476

f f Hz

c

= + = .

1.11. Una rottura sismica si propaga lungo una linea retta ad una velocità v= 3km/s, emettendo due tipi di onde P ed S, la cui frequenza dominante è f=0.5 Hz. La frattura avviene ad una profondità h=5km, e si estende parallelamente alla superficie della Terra. Si calcolino le frequenze percepite da un osservatore per l’onda P e l’onda S, se questo si trova in superficie, ad una distanza epicentrale d=10km, nella direzione di propagazione della rottura. Si assuma per epicentro la proiezione dell’origine della frattura in superficie, le dimensioni della frattura trascurabili rispetto alla profondità dell’evento e la velocità delle onde P ed S rispettivamente cP= 5 km/s cS = 3.3 km/s.

L’angolo di vista dell’osservatore è arctan h 27

− . I valori delle frequenze percepite sono

1.1 ; 2.7

P S

f = Hz f = Hz

1.12. Un’auto viaggia in città lungo una strada rettilinea a velocità v=50km/h (Figura 6). Essa emette un suono di lunghezza d’onda =0.68m. Si calcoli la frequenza del clacson. Un osservatore si trova a tre isolati di distanza e su una strada parallela, ad un blocco di distanza dalla strada dove si muove la macchina; al momento del primo suono, l’auto si avvicina all’osservatore.

Successivamente l’auto emette un secondo segnale sonoro, quando si trova alla stessa distanza dall’osservatore, ma con l’osservatore alle spalle. Si calcoli la frequenza percepita dall’osservatore per i due suoni. Si assumano gli isolati dei blocchi a base quadrata e la velocità del suono in aria c=343 m/s.

Figura 6

La frequenza del clacson è

c 504

f Hz

= =

La frequenza percepita per effetto Doppler è

1 cos

1.13. Un sonar sulla superficie dell’acqua individua un sottomarino lanciando un segnale acustico a =60° rispetto al pelo dell’acqua e ricevendo il segnale riflesso dopo un tempo t=8s. Si stabilisca la posizione del sottomarino rispetto al sonar. Il sottomarino lancia un segnale acustico ad una frequenza di emissione di f0=1.50 kHz, che viene ricevuto dal sonar ad una frequenza fv=1.48 kHz. Si stabilisca la velocità di moto del sottomarino, assumendo il moto del sottomarino parallelo alla superficie dell’acqua. Si assuma la velocità del suono in acqua pari a c=1500m/s.

Il tempo con cui viene ricevuto il segnale acustico è il tempo di andata e ritorno dell’onda sonora, tra il sonar e il sottomarino. La distanza tra i due vale d =ct/ 2=6km. Considerando il piano verticale che contiene il sonar ed il sottomarino, e considerando in questo piano un riferimento tale che l’asse y è verticale, x è orizzontale e l’origine è nel sonar, la posizione del sottomarino è

cos 3 ; sin 4.2

xs =d = km y=d = km

Poiché la frequenza ricevuta è inferiore a quella di emissione, il sottomarino si allontana dal sonar.

L’angolo di vista è 120°. La velocità di moto del sottomarino è

1 0 40 / 145 / direzione del ricevitore R, fermo alla stessa profondità, nel canale oceanico SOFAR (Figura 7). Il canale SOFAR è una guida d’onda in cui la velocità delle onde acustiche vale c=1.47 km/s, che si estende tra 500m e 1000m. Il sottomarino invia un segnale acustico ad una frequenza di =550 Hz che viene registrato da R dopo un tempo t=0.34s e alla frequenza ’=565 Hz. Si calcoli la distanza tra il sottomarino ed il ricevitore e la velocità di moto del sottomarino. Si consideri anche il raggio riflesso ai bordi del canale SOFAR, che verrà ricevuto anch’esso contestualmente al segnale diretto. Si calcoli la frequenza di battimento associata. Il segnale acustico può riflettersi più volte ai bordi del canale SOFAR prima di essere ricevuto. Si scriva la formula generale per la frequenza relativa al segnale registrato al ricevitore che viene riflesso n volte ai bordi del canale

Figura 7

La distanza tra il sottomarino ed il ricevitore è D= =ct 500m, mentre la velocità può ricavarsi per effetto Doppler. Poiché la frequenza aumenta, il sottomarino si avvicina al ricevitore è la velocità v

vale 1 39 / riflessioni nel canale, si ha che l’angolo di emissione è tale che 2

tan 2

D n n

 = D = da cui la formula ricorsiva è

( )

1 2

1

n

v

c n

 = 

− +

Nel documento Problemi di Fisica II. Elettromagnetismo, Onde Meccaniche e Ottica (pagine 4-15)