Problemi di Fisica II. Elettromagnetismo, Onde Meccaniche e Ottica

Problemi di Fisica II

Elettromagnetismo, Onde Meccaniche e Ottica

Sommario

Capitolo 1 Onde ... 4

Capitolo 2 : Ottica ... 15

Capitolo 3 : Elettrostatica e conduttori ... 41

Capitolo 4 : Campo magnetico ... 87

Capitolo 5 : Circuiti in corrente continua ... 130

Capitolo 6 : Circuiti in corrente alternata ... 160

Ringraziamenti ... 167

Versione 3.0 (Fino a Settembre 2015)

Legenda per l’interpretazione della difficoltà dei problemi Problema semplice

Problema medio Problema difficile Problema da provetto Problema top

Capitolo 1 Onde

1.1. Un punto materiale è soggetto a due moti oscillatori aventi la stessa frequenza e fasi iniziali uguali. Le ampiezze delle oscillazioni sono A1= 6 cm e A2=8 cm. Si determini l’ampiezza A dell’oscillazione risultante e l’istante di tempo in cui questa si osserva nei casi in cui

(a) le oscillazioni avvengono nella stessa direzione (b) le oscillazioni avvengono in direzioni ortogonali

(c) Cosa succede se, in quest’ultimo caso, le oscillazioni sono sfasate di /2 ?

Consideriamo un moto oscillatorio di tipo sinusoidale e pulsazione . Nel caso (a), indicata con x la direzione di moto, il punto materiale è soggetto alla legge oraria

1 2 1 2

( ) sin( ) sin( ) ( )sin( ) x t =A t +A t = A +A t

per il principio di sovrapposizione. L’oscillazione massima (in modulo) si ottiene per (2 1)

2 ,

t k  k



= −  e vale A₁+A₂ =14cm.

(b) Nel caso di moto bi-dimensionale, dette x e y le direzioni di oscillazione della particella si ha che l’equazione oraria è

1

2

( ) sin

( ) sin

x t A t

y t A t





=

=

Ad ogni istante di tempo, l’ampiezza dell’oscillazione è data dalla posizione della particella

2 2 2 2

1 2 sin

r= x +y = A +A t. Come nel caso precedente l’oscillazione massima in modulo si ottiene per (2 1)

2 ,

t k  k



= −  e vale A₁² +A₂² =10cm.

Infine se le oscillazioni sono sfasate di  / 2 l’equazione oraria è

1

2

( ) sin

( ) cos

x t A t

y t A t





=

=

la cui traiettoria è un’ellisse. Poiché A₂  A₁, il semiasse maggiore è lungo l’asse y e l’ampiezza massima di oscillazione si ottiene per , ₀

2 t k k

=   e vale A₂ =8cm. Formalmente il modulo dell’ampiezza di oscillazione è dato da ^{A12sin2t+A22cos2t = A22−}

(

)

massimo allorquando la funzione seno si annulla, dunque nelle condizioni definite sopra.

1.2. Si considerino due onde sinusoidali, progressive. L’ampiezza massima della prima onda è il doppio dell’ampiezza massima della seconda e la differenza di fase tra la prima onda e la seconda vale . Si determini il massimo dell’ampiezza relativa alla sovrapposizione delle due onde in funzione dello sfasamento  

Assumendo che la prima onda abbia un’ampiezza A, la sovrapposizione delle due onde sinusoidali

è data da ( , ) sin sin

2

x A x

u x t A t t

c c

  

      

=   − +   − + . In questo caso, poiché l’ampiezza è diversa non è immediato utilizzare le formule di prostaferesi e conviene sviluppare le funzioni armoniche. Sia t ^x

 = ^ −c^

  , si ha che

( )

( ) sin sin cos cos sin 2 cos sin sin cos

2 2 2

A A A

u  = A +  +  =  +  +  

Il massimo della funzione u( ) si ottiene imponendo la derivata prima di u pari a zero. In tal caso si ha la condizione

0

2 cos tan sin

 



= +

L’ampiezza corrispondente nel punto  è, mettendo in evidenza ₀ sin cos ₀

2 0

max 0 0 2

0

1 tan 2 cos

sin cos 1 tan sin 5 4 cos

2 sin 2 1 tan 2

A A A

A       

 

 +  +

=  + = = +

+

 

In particolare l’ampiezza è massima per =0, vale 3

2A e corrisponde al caso in cui le due onde sono in fase, mentre è minima per  = , vale

2

A, caso in cui le due onde sono in opposizione di fase. L’ampiezza della sovrapposizione decresce tra 0 e .

1.3. Si considerino due onde piane sinusoidali, progressive, di pari ampiezza A=2cm, di frequenze 1 = 3 Hz e 2 = 2 Hz, che viaggiano lungo l’asse x a velocità c=20 m/s e che per t=0 hanno ampiezza nulla e crescente nell’origine degli assi. Scrivere l’espressione analitica delle singole onde considerate, e calcolare la sovrapposizione. Si calcoli l’ampiezza nell’origine per t=0.1s.

Le due onde considerate hanno espressione

1 1

2 2

sin 2 sin 2

u A t x

c

u A t x

c





  

=   − 

  

=   − 

La sovrapposizione delle onde è data da

1 2 1 2 1 2

( , ) 2 sin ( ) x cos[ ( ) x ]

u x t u u A t t

c c

     

    

= + =  +  −  −  − 

Il valore (0,1)u =3.8cm .

1.4. Si consideri una corda molto lunga da potersi considerare infinita, di densità lineare

=0.2kg/m e tensione E=80N, che giace sull’asse x. Si calcoli la velocità di propagazione di una perturbazione lungo la corda. La corda, fotografata all’istante t=0s presenta due perturbazioni di forma triangolare(Figura 1). La prima ha massimo in x1=0cm, ampiezza A1=1cm, apertura di D1=10cm e viaggia verso destra, la seconda ha minimo in x2=60cm, con ampiezza A2=0.2 cm e apertura D2=2cm e viaggia verso sinistra. Si calcoli la forma della corda dopo un tempo t1=15ms.

Si calcoli il più piccolo tempo t2 per cui la perturbazione piccola appare interamente alla sinistra di quella grande.

Figura 1

La velocità di propagazione delle onde lungo la corda è 20 /

c E m s

=  =

Dopo un tempo t1, i due massimi sono sovrapposti. Poiché i triangoli sono simili, la forma della corda è un trapezio isoscele, centrato in x=30cm, con base minore di 2cm e base maggiore di 10cm.

Per il calcolo del tempo t2, conviene sfruttare i moti relativi e assumere che la perturbazione grande sia ferma sulla corda mentre quella piccola avanza verso sinistra con velocità 2c. Il tempo più piccolo si ottiene appena la perturbazione piccola appare interamente in basso a sinistra di quella grande, ovvero quando il massimo della perturbazione piccola si trova alla coordinata di -6cm. Tale tempo è dato da ₂ ( ^{2 1 2}/ 2 ¹/ 2)

2 16.5

x x D D

t ms

c

− + +

= = .

1.5. Si consideri una corda molto lunga da potersi considerare infinita che giace sull’asse x.

Lungo la corda la velocità di propagazione di una perturbazione sia v=10m/s. La corda, all’istante t=0s presenta due perturbazioni. La prima, di forma triangolare, ha massimo in x1=0cm, ampiezza A1=3cm, apertura di D1=6cm e viaggia verso destra. La seconda ha forma di un trapezio isoscele, con il punto B in x2=1m, altezza A2=3cm base maggiore D21=12cm e base minore D22=6cm e viaggia verso sinistra(Figura 2). Si calcoli l’istante di tempo in cui comincia l’interferenza e quello in cui finisce. Si discuta la forma della perturbazione durante l’interferenza.

Figura 2

La minima distanza tra le perturbazioni a t=0s è _{2 1} ^{1 21 22} 94

2 2

D D D

d =x − −x − − = cm. Il tempo a cui comincia l’interferenza è

1 47

2

t d ms

= v =

Poiché la velocità relativa è il doppio della velocità delle onde. L’interferenza termina al tempo

1 21 22

2 2 1 22

1 56

2 2 2

D D D

t x x D ms

v

 − 

=  − + + + =

  . La forma dell’interferenza è data dalla somma di due trapezi che possono essere disegnati seguendo la figura in basso. Disegnando la forma del triangolo capovolto in una fase generica dell’interferenza, questo individua due punti sull’asse x.

Siano P e Q i punti del trapezio ABCD che hanno per ascisse questi punti. Si consideri anche quel vertice del trapezio (nel caso della figura il vertice B), da cui tracciando l’altezza si ha un’intersezione non nulla con il triangolo (punto R). Sia S infine il punto medio della base del triangolo. L’interferenza è data dai trapezi APRS e SQCD nel caso di Figura 3. Infine i trapezi degenerano in due triangoli nel caso in cui il punto S è esattamente il punto medio del segmento AD.

Figura 3

1.6. Uno studente sulla riva di un lago lancia una pietra in acqua con l’obiettivo di farla rimbalzare. La pietra si muove di moto rettilineo in prossimità della superficie dell’acqua a velocità costante v=2.83m/s , impattando, la prima volta ad una distanza d=5m dalla riva.

L’impatto produce una singola onda circolare isotropa che si propaga sulla superficie dell’acqua.

Lo studente vede arrivare l’onda alla riva dopo un tempo t0=4.27s dal momento del lancio. (a) Si calcoli la velocità c di propagazione dell’onda. Dopo il rimbalzo, la pietra avanza alla stessa velocità e rimbalza una seconda volta ad una distanza 2d. (b) Si calcoli l’insieme dei punti sulla congiungente i due impatti in cui si ha il massimo dell’ampiezza ed il tempo a cui l’ampiezza massima viene raggiunta. Si assuma che la pietra compia i primi rimbalzi avanzando sempre alla stessa velocità e impattando sempre a distanza d dal rimbalzo precedente. (c) Si calcoli la frequenza con la quale lo studente osserva i massimi di ampiezza. (d) Si calcoli, infine, per i primi

due rimbalzi (caso b) il luogo dei punti nel piano in cui si ha il massimo dell’ampiezza dell’onda.

Nel problema si trascuri l’effetto della gravità sul moto della pietra.

Figura 4

Il tempo totale dal momento del lancio è il tempo necessario alla pallina per impattare sulla superficie del lago più il tempo richiesto dall’onda per raggiungere lo studente dal punto di impatto:

0

d d

t = + . La velocità di propagazione dell’onda è data da v c

0

2.0 /

c v d m s

vt d

= =

−

Assumiamo un riferimento con origine nel punto del primo impatto e asse x nella direzione di moto della pietra. Si assuma t=0 al momento del primo impatto. Il secondo impatto avverrà nel punto di coordinate (x+d y, ). La prima sorgente emette un’onda circolare che al tempo t si trova su di una circonferenza di raggio ct. La seconda sorgente emette una seconda onda circolare, al tempo ^d

v , che al tempo t si trova su una circonferenza di raggio (c t−d v/ ). Il nostro obiettivo è calcolare, per ogni tempo, l’intersezione delle due circonferenze, ovvero risolvere l’equazione

2

2 2 2 2 2

( ) d

x c t x d c t

v

 

− = − −  − 

Sulla congiungente i due impatti (y=0), si ha che

; ( ) d

x ct d x c t v

 

= − =  − 

Le soluzioni del sistema sono

1 4.26 ; 1 2.14

2 2

d c d c

x m t s

v c v

   

=  + = =  + =

   

L’equazione generale ha soluzione per t

2

2 1 2

2

v d c

t x

c v

  

=  −  − 

 

 

Sostituendo il valore di t trovato nell’espressione della circonferenzay²+x² =c t^{2 2} si ha

2 2 2

2 2

2 1 2

2

v d c

y x x

c v

  

+ =  −  − 

 

 

Da cui, posto  =c²/v² 1/ 2 attraverso una serie di passaggi si ottiene

2 2 2

2 1 4 0

d y d

x  



 −  − − =

  −

 

Soltanto il ramo di iperbole nel semipiano 2

x  d è accettabile perché garantisce la condizione d t v (Figura 5).

Figura 5

Infine il tempo di arrivo dell’onda prodotta dall’i-esimo al ricevitore è dato da

i

d d v c

t i i id

v c vc

 + 

= + =  

  . Dunque la frequenza di osservazione delle ampiezze massime è data da

1

1 1 1 1

0.23 1

i i

vc Hz

t t d v c T v c



+

= = = =

− + +

Dove abbiamo posto 1 /T =c d/ . Questa relazione è la stessa che si ottiene applicando la formula dell’effetto Doppler, con un angolo di vista pari a . In questo caso, però la formula dell’effetto doppler non vale per tutti gli angoli, perché la velocità di moto della sorgente è maggiore di quella di propagazione delle onde.

1.7. Due automobili viaggiano in direzioni opposte a velocità di 100 km/h e 50 km/h. I clacson delle auto emettono dei suoni a lunghezze d’onda di 0.76m. Si calcoli la frequenza alla quale i clacson emettono i loro suoni. Si calcoli la frequenza del suono del clacson percepita dai due guidatori, sia in assenza di vento, sia nel caso in cui il vento spira ad una velocità di 80 km/h, nella

direzione di moto dell’auto più veloce. Si assuma la velocità del suono in aria pari a 343m/s.

La frequenza del clacson è c 451

f Hz

= = . Per effetto Doppler, la frequenza percepita dal ricevitore in moto a velocità vr verso la sorgente in moto a velocità vs vale ' ^r

s

f c v f

c v

 + 

=  −  . La frequenza percepita, in assenza di vento, dal guidatore dell’auto più lenta è f_L =511Hz, mentre quella percepita dal guidatore dell’auto più veloce è f_V =508Hz. Nel caso in cui c’è vento, la velocità del vento varia ed è 365m/s nella direzione del vento e 321m/s nella direzione opposta. La nuova frequenza percepita dal guidatore lento è f_L^*=507Hz mentre l’altra è f_V^* =513Hz.

1.8. Un tifoso (non dell’Italia), in ritardo per la partita di calcio, viaggia in direzione del Maracanà con la sua automobile. Alla radio ascolta il gol della sua squadra e percepisce il boato provenire direttamente dallo stadio dopo un tempo t=9s. Si calcoli a che distanza si trova il tifoso dallo stadio. Si stabilisca la velocità v a cui viaggia il tifoso se la frequenza dominante di emissione del segnale emesso allo stadio è 620Hz e quella percepita dal tifoso è 695Hz. Si assuma che il segnale radio viaggi in linea retta alla velocità della luce c, mentre la velocità delle onde sonore nell’aria sia V=345m/s. Si stabilisca l’errore che si commette assumendo l’arrivo del segnale radio istantaneo.

La distanza del tifoso dallo stadio può essere calcolata dal ritardo nel tempo di arrivo del boato rispetto al segnale radio

c 3.1

d tV km

= c V =

−

Poiché il tifoso viaggia verso lo stadio, la frequenza percepita dal tifoso per effetto Doppler è

0 1

t

f f v

V

 

=  +  . Da cui la velocità a cui viaggia il tifoso è

0

1 41 / 150 /

ft

v V m s km h

f

 

=  − = =

 

L’errore che si commette sulla distanza assumendo istantanea la propagazione del segnale radio è 10 6

d tV V

e d c

− −

= =  .

1.9. Una boa avvista un sottomarino ad un angolo di vista rispetto al piano orizzontale di 45°, inviando un segnale acustico alla frequenza di f=850Hz. Il segnale viene riflesso dal sottomarino e ricevuto dalla boa dopo un tempo T=0.75s, alla frequenza f’ =820Hz. Si calcolino la velocità di moto del sottomarino e la sua posizione rispetto alla boa. Si assuma la velocità del suono in acqua pari a c=1.5km/s.

La distanza del sottomarino è 0.56 2

d =cT = km. Assumendo un riferimento con asse x orientato parallelamente alla superficie dell’acqua e nella direzione del sottomarino e z diretto verso il basso, le coordinate del sottomarino sono ( ,x x_{0 0}) con ₀ 0.40

2

x = d = km . La frequenza a cui il

sottomarino riceve il segnale è ^{fs = f }^1−v_c^cos⁼ _c^f

(

)

( )

' 2 2

fs c v

f f

c v

c c v

= = −

+ + . Da cui

' 19 / 2 '

c f f

v m s

f f

= − =

+

1.10. Un treno metropolitano lascia la stazione A per raggiungere, lungo un tratto rettilineo la stazione B, distante da A d=0.8km. Durante il percorso da A a B, il treno emette un fischio, che viene percepito dall’osservatore posto in A dopo tA=1.6s e da quello in B dopo tB=0.7s. Si calcoli la posizione del treno nell’istante in cui emette il fischio e la velocità con cui si propaga il suono in galleria. Il segnale emesso, che può essere assunto monocromatico, viene sentito dall’osservatore in A ad una frequenza di fA=455Hz, mentre da quello in B ad una frequenza fB =500 Hz. Si calcoli la velocità di moto del treno e la frequenza di emissione del segnale.

La velocità con cui si propaga il segnale è data da c=d/ (t_A+t_B)=0.348km s/ . La distanza del treno dall’osservatore in B è d_B=t c_B =240m. Si ha che per effetto Doppler la frequenza registrata in B è f_B ^{f c0}

=c v

− , mentre in A è _A f c⁰ f = c v

+ . Da cui, dividendo membro a membro si ha che la velocità del treno è

16 /

B A

B A

f f

v c m s

f f

= − =

+

Da cui la frequenza alla quale era stato emesso il segnale è _{0 A}c v 476

f f Hz

c

= + = .

1.11. Una rottura sismica si propaga lungo una linea retta ad una velocità v= 3km/s, emettendo due tipi di onde P ed S, la cui frequenza dominante è f=0.5 Hz. La frattura avviene ad una profondità h=5km, e si estende parallelamente alla superficie della Terra. Si calcolino le frequenze percepite da un osservatore per l’onda P e l’onda S, se questo si trova in superficie, ad una distanza epicentrale d=10km, nella direzione di propagazione della rottura. Si assuma per epicentro la proiezione dell’origine della frattura in superficie, le dimensioni della frattura trascurabili rispetto alla profondità dell’evento e la velocità delle onde P ed S rispettivamente cP= 5 km/s cS = 3.3 km/s.

L’angolo di vista dell’osservatore è arctan h 27

 = ^{ }  d   . La frequenza percepita per effetto Doppler è

1 cos f f

v

c 

=

− . I valori delle frequenze percepite sono

1.1 ; 2.7

P S

f = Hz f = Hz

1.12. Un’auto viaggia in città lungo una strada rettilinea a velocità v=50km/h (Figura 6). Essa emette un suono di lunghezza d’onda =0.68m. Si calcoli la frequenza del clacson. Un osservatore si trova a tre isolati di distanza e su una strada parallela, ad un blocco di distanza dalla strada dove si muove la macchina; al momento del primo suono, l’auto si avvicina all’osservatore.

Successivamente l’auto emette un secondo segnale sonoro, quando si trova alla stessa distanza dall’osservatore, ma con l’osservatore alle spalle. Si calcoli la frequenza percepita dall’osservatore per i due suoni. Si assumano gli isolati dei blocchi a base quadrata e la velocità del suono in aria c=343 m/s.

Figura 6

La frequenza del clacson è

c 504

f Hz

= =

La frequenza percepita per effetto Doppler è

1 cos

c

f f

v

c 

=

−

, dove ₁ arctan ¹ 18

 = ^{ }  3 =  è l’angolo di vista inziale, mentre quello finale è ₂ = − . I valori delle frequenze percepite sono  ₁

1 525 ; 2 486

f = Hz f = Hz

1.13. Un sonar sulla superficie dell’acqua individua un sottomarino lanciando un segnale acustico a =60° rispetto al pelo dell’acqua e ricevendo il segnale riflesso dopo un tempo t=8s. Si stabilisca la posizione del sottomarino rispetto al sonar. Il sottomarino lancia un segnale acustico ad una frequenza di emissione di f0=1.50 kHz, che viene ricevuto dal sonar ad una frequenza fv=1.48 kHz. Si stabilisca la velocità di moto del sottomarino, assumendo il moto del sottomarino parallelo alla superficie dell’acqua. Si assuma la velocità del suono in acqua pari a c=1500m/s.

Il tempo con cui viene ricevuto il segnale acustico è il tempo di andata e ritorno dell’onda sonora, tra il sonar e il sottomarino. La distanza tra i due vale d =ct/ 2=6km. Considerando il piano verticale che contiene il sonar ed il sottomarino, e considerando in questo piano un riferimento tale che l’asse y è verticale, x è orizzontale e l’origine è nel sonar, la posizione del sottomarino è

cos 3 ; sin 4.2

xs =d = km y=d = km

Poiché la frequenza ricevuta è inferiore a quella di emissione, il sottomarino si allontana dal sonar.

L’angolo di vista è 120°. La velocità di moto del sottomarino è

1 0 40 / 145 /

cos _v

f

v c m s km h

 f

 

=  − = =

 

1.14. Un sottomarino si muove ad una profondità fissa di H=750m e a velocità costante v in direzione del ricevitore R, fermo alla stessa profondità, nel canale oceanico SOFAR (Figura 7). Il canale SOFAR è una guida d’onda in cui la velocità delle onde acustiche vale c=1.47 km/s, che si estende tra 500m e 1000m. Il sottomarino invia un segnale acustico ad una frequenza di =550 Hz che viene registrato da R dopo un tempo t=0.34s e alla frequenza ’=565 Hz. Si calcoli la distanza tra il sottomarino ed il ricevitore e la velocità di moto del sottomarino. Si consideri anche il raggio riflesso ai bordi del canale SOFAR, che verrà ricevuto anch’esso contestualmente al segnale diretto. Si calcoli la frequenza di battimento associata. Il segnale acustico può riflettersi più volte ai bordi del canale SOFAR prima di essere ricevuto. Si scriva la formula generale per la frequenza relativa al segnale registrato al ricevitore che viene riflesso n volte ai bordi del canale

Figura 7

La distanza tra il sottomarino ed il ricevitore è D= =ct 500m, mentre la velocità può ricavarsi per effetto Doppler. Poiché la frequenza aumenta, il sottomarino si avvicina al ricevitore è la velocità v

vale 1 39 /

v c ' m s



 

=  − = . Poiché lo spessore del canale è circa pari a D il raggio riflesso viene inviato ad un angolo di 45°, e la frequenza associata per effetto Doppler è

'' 560

1 / cos 45 Hz

v c

 =  =

−  . La frequenza di battimento è   _b = −' '' 5= Hz. Infine per avere n riflessioni nel canale, si ha che l’angolo di emissione è tale che 2

tan 2

D n n

 = D = da cui la formula ricorsiva è

( )

1 2

1

n

v

c n

 = 

− +

Capitolo 2 : Ottica

2.1. Una videocamera è posta sul fondo di una piscina ad una profondità h=2m e punta verso l’alto. L’indice di rifrazione dell’acqua è n=1.33. (a) Quale parte del cielo è in grado di osservare?

(b) A quale angolo si vede la linea dell’orizzonte ? (c) A che distanza minima d deve trovarsi un sasso posato sul fondo affinché la camera lo possa inquadrare ?

Figura 8

Si consideri un raggio luminoso diretto verso l’alto che, partendo dalla videocamera, emerge in aria.

Indicando con i l’angolo di incidenza del raggio con la superficie di separazione acqua-aria e con r l’angolo di rifrazione (Figura 8), vale la legge di Snell

12

sin 1

sin

i n

r = = n

dove n₁₂è il rapporto tra gli indici di rifrazione dell’aria è dell’acqua. Quello dell’aria è assunto pari ad 1 essendo la velocità della luce in aria prossima a quella nel vuoto. Poiché n ₁₂ 1, si ha che l’angolo di rifrazione è maggiore dell’angolo di incidenza ed il raggio luminoso si allontana dalla normale emergendo in aria. Per ogni angolo di emergenza 0

r 2

  , esiste dunque un raggio incidente che verifica la legge di Snell. In particolare un raggio verticale incide ed emerge ad angolo nullo, mentre un raggio che emerge con angolo di  / 2 incide con angolo di incidenza ic

(detto angolo critico) tale che:

sini_c 1

= n

(a) Dunque la telecamera è in grado di osservare l’intero cielo (0 r / 2), con angolo di vista compreso tra 0 e ic.

(b) La linea dell’orizzonte (r= / 2) si vede all’angolo critico, che nel caso specifico vale arcsin1 49

ic

= n =  .

(c) Oltre l’incidenza critica, i raggi non penetrano più nell’aria ma vengono riflessi fino a raggiungere il fondo della piscina nuovamente (riflessione totale). In tal caso, un oggetto posto sul fondo della piscina ed intercettato da un raggio luminoso riflesso ad un angolo di incidenza supercritico (ii_c) è visto dalla telecamera. Al crescere dell’angolo di incidenza, il raggio luminoso

raggiunge distanze sempre maggiori, dunque la distanza minima d è la distanza orizzontale raggiunta dal raggio incidente con incidenza critica¹. In tal caso

2 2

sin 2

2 tan 2 4.6

1 sin 1

c c

c

i h

d h i h m

i n

= = = =

− −

2.2. Un pescatore è seduto sul bordo di un molo, con l’occhio ad una quota h=1.5m rispetto al pelo dell’acqua. Osservando una carpa ferma sul fondo del lago, profondo 2.5m, con angolo di vista pari a 45°, il pescatore decide di colpirla sparando con l’arpione, dalla stessa quota h. Si stabilisca in che direzione lanciare l’arpione, assumendo la traiettoria rettilinea e la velocità costante. L’indice di rifrazione dell’acqua è 1.33, mentre quello dell’aria lo si può assumere pari a 1.

Figura 9

Sia O la posizione del pescatore, P del pesce e A il punto di impatto del raggio luminoso che connette il pescatore al pesce sulla superficie del lago (Figura 10). Sebbene il pescatore osservi la carpa a 45°, questa non si trova esattamente a 45°, perché il raggio luminoso, rifratto in acqua si avvicina alla normale. La distanza orizzontale tra O e P è

tan 45 tan xOP =h  +d 

dove  è l’angolo di rifrazione. Per la legge di Snell si ha che 1 sin sin 45

2

n =  = , da cui

2 2

sin 1 1

tan cos 1 2 1

2 1 2 n n

n

 

=  = =

− −

. Sostituendo si ha che

2 2 1

OP

x h d n

= + − e l’angolo di tiro

è

2

2

2 1

arctan arctan 37

2 1( )

xOP h n d

d h n d h

 = = ^{− +} = 

+ − +

1 Formalmente, in corrispondenza dell’incidenza critica il raggio emerge in aria e si muove parallelamente alla superficie. Soltanto per angoli strettamente maggiori di ic il raggio viene totalmente riflesso. Quindi la distanza minima non esiste ed il valore calcolato è inf

ic

d d_

=  , l’estremo inferiore delle distanze raggiunte dai raggi ad incidenza supercritica.

Figura 10

2.3. Un osservatore sul bordo di una piscina, da una quota h=1.5m, vede un’asta sul fondo di una piscina, profonda d=2m. L’estremo B appare all’osservatore con un angolo di vista =41°

rispetto alla verticale, mentre l’angolo di rifrazione misura i2=30°(Figura 11). Si calcoli (a) l’indice di rifrazione dell’acqua, assumendo che l’indice di rifrazione dell’aria sia pari ad 1; (b) la lunghezza dell’oggetto considerato; (c) la profondità apparente del punto A.

Figura 11

(a) L’angolo di vista è anche l’angolo di incidenza del raggio che dall’occhio raggiunge il punto B.

L’indice di rifrazione dell’acqua dalla legge di Snell è dato da

2

sin 1.31 n sin

i

=  

(b) La lunghezza dell’asta misura

tan tan 2 2.45

l=h +d i = m

(c) Per la legge del diottro sferico, nel limite per il raggio di curvatura che tende all’infinito, si ha

che 1

n 0

p− = , dove p=d è la posizione del punto A e q l’immagine. Si ha che q d 1.52

q m

= =n

Tale posizione è la stessa che si avrebbe assumendo il percorso fatto dalla luce rettilineo ed interamente in aria.

2.4. Si consideri una moneta sul fondo di un lago, ad una profondità di h=1m. Si assuma l’indice di rifrazione dell’acqua pari a n=1.33 e quello dell’aria pari a n0=1.0. Si calcoli la minima distanza dalla moneta a cui deve essere posto uno specchio piano sul fondo del lago per riflettere l’immagine della moneta. Si calcoli l’angolo di inclinazione dello specchio, affinché l’immagine della moneta, riflessa attraverso lo specchio, possa essere vista da un osservatore ad un angolo di 45° rispetto alla normale.

Figura 12

La moneta è visibile sul fondo del lago a partire dall’incidenza critica. L’angolo di incidenza critica alla superficie dell’acqua è dato dalla condizione 1

sini_c 49

= =  . La distanza minima a cui n l’immagine è di nuovo visibile sul fondo del lago è

min 2

2 tani 2 2.3

c 1

d h h m

n

= = =

−

Se l’angolo di vista rispetto alla normale è 45°, l’angolo di incidenza del raggio riflesso allo specchio è tale che 1

sin

2 i

n

= , da cui i =32. L’angolo totale formato tra raggio incidente sullo specchio e raggio riflesso è i_t = + = i i_c 81 , l’angolo di inclinazione dello specchio è

( ) ( )

2 2 8.5

c c

S

i i i i

i + i −

= − = = 

2.5. Un prisma di vetro, con sezione triangolare ad angolo retto, come in Figura 13, viene utilizzato per riflettere un raggio di luce incidente normalmente sulla faccia del prisma di maggiore superficie; sulle facce del prisma la riflessione è totale. (a) Si calcoli il valore minimo dell’indice di rifrazione del vetro nm, per cui almeno per una coppia di angoli  e  vi sia riflessione totale. (b) Sia n>nm. Si calcoli l’intervallo di valori permesso per .

Figura 13

Su ciascuna delle facce del prisma è verificata la legge di Snell

0; 0

0; sin sin

r i

se i r

n se i i

r n

= =

 =

dove i e r sono rispettivamente gli angoli di incidenza e di emissione del raggio luminoso e n l’indice di rifrazione. Il pedice indica che il valore di n è quello per il mezzo in cui la luce incide o viene rifratta. L’indice di rifrazione dell’aria è pari a 1. Per la prima incidenza, quella all’interfaccia aria-vetro, l’angolo di incidenza è nullo (l’angolo è misurato rispetto alla normale). In tal caso anche l’angolo di rifrazione è nullo: un raggio che incide ortogonalmente su di un interfaccia non viene deviato. All’interno del vetro si ha riflessione totale, dunque il raggio luminoso incide con un angolo maggiore rispetto a quello critico, che è definito dalla relazione:

sini_c 1

= n

Osserviamo che l’angolo di incidenza del raggio sulla prima interfaccia DPR^ˆ misura ancora  perché complementare dello stesso angolo APDˆ = . Per la legge della riflessione si ha che anche  QPRˆ = . Inoltre l’angolo ˆ CPQ= e l’angolo ˆ RQP= perché complementari dello stesso  angolo CQP . Infine anche ˆ RQEˆ = per la legge della riflessione, e sommando gli angoli interni  di un quadrilatero si osserva che il raggio esce dal prisma ortogonalmente alla superficie.

Utilizzando l’invertibilità del cammino ottico si può notare che il problema è simmetrico e nella soluzione è possibile scambiare gli angoli  e . Poiché uno dei due è sicuramente maggiore o uguale di

4

 , mentre l’altro è minore o uguale (i due angoli sono complementari), per simmetria la

condizione di minimo deve corrispondere ad un’incidenza di 4

 . In tal caso l’indice di rifrazione minimo è

1 2 1.41 sin / 4

nm

=  = =

Per provare il risultato formalmente, poiché si ha riflessione totale, si ha che

1 1

sin ; sin

n n

  

Poiché 2

 = − , tale sistema può essere scritto come  

1 1

sin ; cos

n n

 

Dunque una soluzione è ammissibile se

1 1

max ,

sin cos

n  

 

  

 

Per   / 4 si ha che sin cos, ed il massimo del secondo membro è 1

sin . Sfruttando il fatto che la funzione seno è crescente 1 1

sin sin / 4 2

n^  ^  ⁼ . Analogamente, per   / 4 si ha che sin cos , ed il massimo è invece 1

cos . Poiché il coseno è decrescente

1 1

cos cos / 4 2

n^  ^  ⁼ . Il valore minimo per n è dunque n =_m 2.

Consideriamo un valore dell’indice di rifrazione nn_m. Allora, per avere riflessione totale si ha che il sistema (1) deve essere verificato. I valori permessi per l’angolo  sono tali che

1 1

arcsin arccos

n  n

che rappresenta un intervallo simmetrico intorno al valore  = / 4.

2.6. Si consideri un oggetto lineare di lunghezza L=2cm disposto ortogonalmente all’asse ottico a distanza d=4cm da due specchi piani S ed S’ disposti simmetricamente intorno ad esso come in Figura 14. Si calcolino le immagini dell’oggetto assegnato.

Figura 14

Se avessimo un singolo specchio, l’oggetto si rifletterebbe, restando verticale e diritto e formando un’immagine virtuale nello specchio, a distanza d dallo specchio stesso. Considerando i due specchi separatamente, avremo dunque due immagini virtuali, nei singoli specchi, ciascuna distante d dallo specchio considerato. Gli specchi però interagiscono fra di loro, e ciascuna delle immagini virtuali prodotte da uno specchio si riflette nell’altro formando una nuova immagine. Ciascuna nuova immagine continua a riflettersi nell’altro specchio e così via, formando una successione di immagini sempre diritte della stessa dimensione e a distanze dal singolo specchio sempre maggiori. Bisogna dunque calcolare le posizioni alle quali si formano le varie immagini. Fissato un riferimento centrato nell’oggetto con asse x positivo verso S’, la posizione della prima immagine in S’ è

'1 2

q = d , mentre quella in S è q₁ = −2d Quest’ultima immagine dista 3d da S’ e dunque la posizione di questa nuova immagine in S’ sarà q'₂ =4d . Analogamente per simmetria avremo un’immagine in S prodotta dalla prima immagine in S’ alla posizioneq₂ = −4d. Per induzione, le immagini in S’ si formeranno nei punti di coordinate

'_n 2 ;

q = nd nN mentre quelle in S alle posizioni simmetriche (Figura 15)

2 ;

qn = − nd nN

Figura 15

2.7. Si consideri una coppia di specchi piani orientati ortogonalmente l’uno rispetto all’altro ed un oggetto orientato posto in maniera simmetrica rispetto ai due specchi, come in Figura 16, con il baricentro ad una distanza L=10cm dal punto di congiunzione degli specchi. La dimensione dell’oggetto è L. Si calcolino le immagini di tale oggetto attraverso gli specchi.

Figura 16

Per simmetria è possibile considerare la riflessione attraverso uno solo dei due specchi. Uno specchio piano lascia invariate le distanze e non deforma gli oggetti, per cui l’oggetto sarà lineare e delle stesse dimensioni di quello originario. Consideriamo un riferimento con l’origine nel punto di giunzione degli specchi. Il punto A (vedi Figura 17) ha coordinate ,

2 L L

− 

 

  . La retta che rappresenta lo specchio piano di sinistra è la bisettrice del secondo e quarto quadrante ed un punto simmetrico rispetto a questa retta si ottiene scambiando le coordinate e cambiandone i segni: il punto A’ avrà dunque coordinate ,

2 L L

− 

 

 . Il punto B ha coordinate , 2 L L

 

 

 ed il suo simmetrico B’

, 2 L L

− − 

 

  . L’immagine appare dunque verticale. Per simmetria anche nell’altro specchio l’immagine è verticale e capovolta rispetto a questa.

Figura 17

2.8. Si consideri uno specchio sferico concavo con fuoco f. Si consideri un oggetto posto sull’asse ottico ad una distanza p dal vertice. L’immagine si forma ad una distanza q dal vertice.

Sia la somma delle distanze di oggetto e immagine pari a 60cm, ed il prodotto pari a 864cm². Si calcoli la distanza focale dello specchio. Sia la dimensione verticale dell’oggetto pari a 2cm. Si calcoli la dimensione dell’immagine e si stabilisca se è diritta o capovolta.

In un riferimento con centro nel vertice e asse positivo nella direzione del fuoco dello specchio, l’equazione degli specchi si scrive 1 1 1

p+ =q f . Da questa si ricava pq 14.4

f cm

= p q =

+

p e q sono soluzioni dell’equazione x²−(p q x+ ) + pq= , che ha come soluzioni0

1 24 ; 2 36

x = cm x = cm . Due casi sono possibili. Se p=x q₁; =x₂ , l’ingrandimento vale q 1.5

G= − =p e l’immagine misura 3cm. Se p=x q₂; = allora l’ingrandimento è 'x₁ G = −0.67 e l’immagine misura 1.33cm. In ogni caso l’immagine è capovolta.

2.9. Uno specchietto retrovisore di una macchina che viaggia ad una velocità costante v=60 km/h di è uno specchio sferico convesso con fuoco f=5m. Una seconda macchina, in procinto di superare la prima, viene vista nello specchio ad una distanza q1= 4m. Si calcoli la posizione della seconda macchina rispetto alla prima e l’ingrandimento. Dopo un tempo pari 1s, l’ingrandimento è aumentato a 0.33. Si calcoli la nuova posizione della macchina e la velocità, assunta costante, con cui si muove.

In un riferimento con centro nel vertice dello specchio, e asse positivo nella direzione del fuoco, l’equazione per gli specchi si scrive ^{1 1 1}

p+ =q f . La posizione della macchina all’istante iniziale è

1 1

1

q f 20

p m

q f

= = −

− rispetto al vertice dello specchio. L’ingrandimento è ₁ q 0.2 I = − =p . Combinando l’espressione dell’ingrandimento e quello della legge degli specchi per eliminare q si ha che I ^f

f p

= − . Da cui ₂

2

1 1 10

p f m

I

 

= −  − = −

  . La velocità relativa della seconda macchina è 10 / 36 /

vr = m s= km h. La velocità assoluta della seconda macchina è v₂ =96km h/ .

2.10. Una freccia, approssimabile ad un segmento di lunghezza l=6cm, viene inviata verso uno specchio sferico concavo di raggio R=30cm. La freccia, inizialmente sull’asse ottico, si muove a velocità costante v=40m/s lungo il medesimo asse. All’istante t=0 la punta della freccia si trova ad una distanza d=55cm dal vertice dello specchio. Si calcoli l’istante di tempo t1 in cui la freccia comincia ad apparire nello specchio. Infine si calcoli l’immagine della freccia all’istante t2=1.2s e la sua lunghezza apparente.

La freccia comincia ad essere riflessa nello specchio non appena la punta supera il fuoco. La punta raggiunge il fuoco all’istante

1 d f 0.01

t s

v

= − =

All’istante t2 la freccia ha già raggiunto il vertice, dunque la posizione della coda è a 6cm dal vertice e la sua immagine, scegliendo un riferimento con asse positivo nella regione occupata dall’oggetto, è alla coordinata pf 10

q cm

p f

= = −

− . Poiché l’intera freccia si trova oltre il fuoco l’immagine è virtuale. La lunghezza apparente è − =q 10cm. L’immagine della freccia è invertita nello specchio.

2.11. Si consideri uno specchio sferico convesso con fuoco f=10cm. Si consideri un oggetto che si trova inizialmente a t=0, nel punto p1=15cm e che si sposta a velocità costante v=0.1 m/s verso il

vertice. Calcolare la posizione dell’immagine e l’ingrandimento all’istante t1=1s. Calcolare la velocità media con cui si muove l’immagine fino al tempo t1.

In un riferimento con centro nel vertice e asse positivo nella direzione del fuoco dello specchio, l’equazione degli specchi si scrive 1 1 1

p+ =q f . La posizione dell’immagine si ricava dalla relazione pf

q= p f

− . La posizione dell’oggetto è negativa rispetto al riferimento considerato. Per p0= -15cm, si ha che q₀ =6cm. Dopo un tempo t1 l’oggetto si trova nel punto p₁= p₀+ = −vt 5cm . In tal caso la posizione dell’immagine è q₁=3.3cm . L’ingrandimento è ¹

1

q 0.55 I = − p = . L’immagine è diritta, rimpicciolita. La velocità media con cui si muove l’immagine è

1 0

1

' q q 0.027 /

v m s

t

= − =

2.12. Si consideri uno specchio concavo, con raggio di curvatura R=20cm, ed un oggetto posto come in Figura 18. La distanza lungo l’asse ottico più breve dallo specchio è CP=8cm, quella maggiore BP=12cm. Le dimensioni verticali sono di 2cm. Si calcoli l’immagine dell’oggetto assegnato.

Figura 18

Assumendo un sistema di riferimento con l’asse delle ascisse orientato in modo tale che il centro dello specchio abbia coordinata positiva, i punti lungo l’asse ottico si trasformano secondo la legge

1 1 2

p + = q R

dove p è l’ascissa dell’oggetto e q quella dell’immagine. Noti la posizione dell’oggetto ed il raggio di curvatura, la posizione dell’immagine è:

2 q pR

p R

= −

L’ingrandimento vale '

2

Y q R

Y = − = −p p R

− . Utilizzando la formula per l’immagine, il punto B si trasforma in B’, posto a 60 cm, ed il punto C si trasforma in C’ posto a -40 cm, dunque dall’altra parte dello specchio. La barra verticale A’B’ è capovolta con lunghezza 10 cm; la barra verticale

C’D’ è diritta (dunque orientata anch’essa verso il basso) con lunghezza 10 cm. Il tratto sull’asse ottico viene trasformato in un tratto che si estende tra B’ e +∞, -∞ e C’. La soluzione finale è mostrata inFigura 19.

Figura 19

2.13. Si consideri un quadro di forma quadrata di lato 2L poggiato sull’asse ottico, a cavallo del centro di un specchio concavo, come mostrato in Figura 20. Si studi la riflessione del quadro attraverso lo specchio, nel caso particolare in cui R=24 cm, L =R/4=6 cm.

Figura 20

Si assuma un sistema di riferimento, tale che il centro dello specchio abbia coordinata positiva. I punti lungo l’asse ottico si trasformano secondo la legge

1 1 2

p + = q R

dove p è l’ascissa dell’oggetto e q quella dell’immagine. Noti la posizione dell’oggetto ed il raggio di curvatura, la posizione dell’immagine è

2 q pR

p R

= −

e l’ingrandimento è

2 2

q R q R

I p p R R

= − = − = −

−

Indichiamo con A l’estremo del quadro sull’asse ottico più vicino al vertice dello specchio con ascissa p_A=18cme con B l’estremo più lontano di ascissa p_B=30cm. Tali punti sono trasformati rispettivamente in A’ e B’ di ascisse q_A'=36cme q_B'=20cm. Siano C e D rispettivamente i vertici del quadrato che non si trovano sull’asse ottico con coordinate pB e pA e C’ e D’ i punti coniugati attraverso lo specchio.

L’ingrandimento del segmento verticale A’D’ è I =_A 2 , mentre quello del segmento B’C’ è 2 0.67

B 3

I = = . Questo implica che A D' '=24cm mentre B C' '=8cm. Un punto del quadro che si trova tra A e B ha un’ascissa p tale che p_A  p p_B e si trasforma in un punto di ascissa q tale che

' '

B A

q  q q . Infine un punto che si trova sul segmento CD e che ha coordinate ( , 2 )p L , si trasforma nel punto di coordinate 2

, 2 q R

q L

R

 − 

 

  che rappresenta il segmento congiungente i punti C’D’. L’ingrandimento rispetto alla variabile p risulta pari a

2 R

p−R: l’immagine risulta deformata secondo una trasformazione iperbolica.

2.14. Si consideri il sistema ottico di figura composto da uno specchio sferico di raggio R=10 cm ed uno specchio piano, con assi ottici ortogonali. La distanza tra il piano dello specchio e l’asse ottico dell’altro specchio è d = 5 cm. Un oggetto verticale AB di dimensione pari a 4cm, è tale che la distanza del punto A dal vertice dello specchio sferico è 15 cm. Si calcoli la posizione dell’immagine riflessa prima dallo specchio sferico poi da quello piano. E’ la sola immagine che si forma ?

Figura 21

Assumendo un riferimento con l’asse delle ascisse orientato verso sinistra, con coordinata del centro positiva, i punti coniugati si trasformano secondo la relazione 1 1 2

p+ =q R ,dove p e q sono le coordinate di oggetto e immagine e R è il raggio. L’immagine si forma alla coordinata

2 7.5

q Rp cm

p R

= =

−

che rappresenta l’ascissa del punto A’ (vedi Figura 22), mentre la sua dimensione vale

' q 2

h h cm

p

=− = − . L’immagine riflessa attraverso lo specchio piano A’’B’’ ha la stessa dimensione

|h’|, si trova lungo la retta A’B’, è tale che il punto A’’ dista da A’ 10cm, mentre B’’ dista da A’

8cm. Quando ci sono due specchi, ciascuna immagine diventa oggetto per l’altro specchio, quindi in principio dovremmo avere un numero infinito di immagini prodotte. Il numero effettivo dipende però dalla posizione e dalla dimensione dei due specchi reali. Nel caso di figura non vi sono altre immagini che si formano, perché AB non ha un’immagine rispetto allo specchio piano, mentre A’’B’’ non ha immagine rispetto allo specchio concavo.

Figura 22

2.15. L’immagine di un oggetto attraverso una lente è virtuale a distanza di 4cm dal vertice della lente ed è ingrandita di un fattore 1.33 rispetto all’oggetto. Si determini la posizione dell’oggetto e la distanza focale.

In un riferimento con centro nel vertice e asse positivo nella direzione opposta a quella dell’oggetto, l’equazione delle lenti sottili è 1 1 1

p q f

− + = e l’ingrandimento vale q

I = . Poiché l’immagine è p virtuale sia p che q sono negativi. In tal caso, si ha che la posizione dell’oggetto è alla distanza

q 3

p cm

= = −I Mentre il valore della distanza focale è

qp 12

f cm

= p q =

−

2.16. Si consideri una lente sottile, convergente, con fuoco f = 10 cm. Si definisca la posizione di un oggetto la cui immagine è quella di figura, posta a distanza q=15 cm dal centro della lente e avente altezza h=4 cm

Figura 23

Consideriamo un sistema di riferimento con l’asse delle ascisse orientato verso destra e l’origine nel vertice della lente. Con tale assunzione la legge dei punti coniugati è 1 1 1

p q f

− + = , dove p è la posizione dell’oggetto. Da cui

qf 30

p cm

q f

= − = −

− Poiché l’ingrandimento vale

0

h q

h = p, dove h0 è l’altezza dell’oggetto si ha che

0 p 8

h h cm

= q = −

L’oggetto è capovolto rispetto all’immagine e posto alla sinistra della lente.

2.17. Si consideri un oggetto di dimensioni verticali pari a 4cm. Si stabilisca a che distanza bisogna porre una lente convergente con fuoco f=10cm dall’oggetto, (1) affinché la distanza tra oggetto e immagine risulti di 50cm, (2) l’immagine sia capovolta e di dimensione 3cm

Si consideri l’equazione delle lenti, scritta per un riferimento centrato nella lente e con asse positivo verso destra. Si ponga l’oggetto a sinistra della lente. L’equazione delle lenti sottili è 1 1 1

p q f

− + = ,

da cui fp q= p f

+ . (a) La distanza tra oggetto e immagine è q− =p d da cui

2

1 2

; 13.8 , 36.2

fp p

p d p cm p cm

p f − = −p f = = − = −

+ +

Nel caso (b) si ha che 3 4 q p

− = . Si ha che sostituendo questa espressione nell’equazione delle lenti

7 23

p= −3 f = − cm.

2.18. Si consideri una lente convergente L con distanza focale f=16cm e un oggetto di estremi AB, che interseca l’asse ottico nel punto P. L’immagine CD interseca l’asse ottico nel punto Q (Figura 24). Sia OP=48cm. Si calcoli la distanza OQ. Sia BP=QD=2cm. Si calcolino le dimensioni dell’oggetto AB e dell’immagine CD. Si dica se l’immagine è diritta o capovolta .

Figura 24

Per una lente sottile, con un riferimento centrato nel centro della lente e asse positivo lungo l’asse ottico nella direzione di Q l’equazione dei punti coniugati è

1 1 1

OP+OQ = f da cui

f OP 24

OQ cm

OP f

= =

−

L’immagine è capovolta ed il valore assoluto dell’ingrandimento vale OQ 0.5

G= OP = . Da cui si ha QD 4

BP cm

= G = e CQ=G AP=1cm. Si ha dunque AB=6cm e CD=3cm.

2.19. Si calcoli l’immagine di un oggetto attraverso una lente convergente di fuoco f=10cm, distante dalla lente d=20cm e di dimensioni verticali Y=2cm. Una pallina viene lanciata da una distanza d’=60cm viaggia a velocità costante v=4 m/s sull’asse ottico. Si calcoli il moto dell’immagine della pallina, fino al tempo in cui colpisce l’oggetto .

In un riferimento con centro nel vertice della lente e asse negativo nella direzione dell’oggetto, l’equazione delle lenti sottili si scrive 1 1 1

p q f

− + = . La posizione dell’oggetto è p= −20cm, e poiché si trova ad una distanza doppia del fuoco si ha che la posizione dell’immagine è q=20cm, l’ingrandimento vale 1, l’immagine ha la stessa dimensione dell’oggetto ( ' 2Y = cm) ed è capovolta.

La posizione della pallina nel tempo è p t( )= p₀+vt , per tt₁ , con p₀ = −60cm e

0

1 p p 0.1

t s

v

= − = . L’immagine della pallina si forma nel tempo alla posizione

0 0

( )

( ) f vt p q t f vt p

= +

+ +

2.20. Si consideri una lente convergente con fuoco f=12 cm. Si considerino due oggetti di dimensione verticale pari a 1cm, uniti fra di loro alla base da un sottile pezzo di ferro di lunghezza d=2 cm. I due oggetti sono disposti ortogonalmente all’asse ottico, con il pezzo di giunzione sull’asse ottico. Si stabilisca a che distanza bisogna disporli dalla lente affinché la somma delle dimensioni verticali delle relative immagini, entrambe reali, sia pari alla somma delle dimensioni degli oggetti.

In un riferimento con centro nel vertice della lente e asse negativo nella direzione dell’oggetto, l’equazione delle lenti sottili si scrive ^{1 1 1}

p q f

− + = . La posizione dell’immagine è alla coordinata q pf

p f

= + e l’ingrandimento vale I ^f p f

= + . Indichiamo con p1 e p2 le posizioni dei due oggetti, poiché la dimensione degli oggetti è 1cm la condizione da imporre è

2 1

1 2

f f 2;

p p d

p f + p f = − − =

+ +

Si noti che la soluzione richiede che entrambe le posizioni siano diverse dal fuoco. Dalla prima condizione otteniamo che 3 (f p₂+p₁) 4+ f²+2p p_{1 2} = . Senza perdere di generalità, possiamo 0 assumere p₂  p p₁; ₂−p₁ =d . Da cui, sostituendo si ha la seguente equazione per p1:

2

1 1

2p +2p(3f +d)+ f(3d+4 )f = 0 La soluzione è

2 2

1

1 1

(3 )

2 2

p = − f +d  f +d

Si hanno due soluzioni p₁⁽¹⁾= −12.9cm p; ₁⁽²⁾= −25.1cm . La prima soluzione implica

(1)

2 10.9

p = − cm − . L’immagine del secondo oggetto è dunque virtuale. Solo la seconda f soluzione è accettabile:

1 25.1 ; 2 23.1

p = − cm p = − cm

2.21. Si consideri il sistema ottico costituito da due lenti uguali con fuoco f = 8 cm, aventi lo stesso asse e disposte ad una distanza d=10 cm l’una dall’altra. Un oggetto di dimensioni verticali h=2cm, viene posto ad una distanza P=24 cm alla sinistra della prima lente. Si calcolino la posizione e la dimensione dell’immagine attraverso il sistema ottico considerato.

Figura 25

L’immagine dell’oggetto attraverso il sistema ottico può essere ottenuta analizzando le singole rifrazioni attraverso le due lenti separatamente e prendendo come oggetto per la seconda lente l’immagine fornita dalla prima. La posizione q dell’immagine di un oggetto che passa attraverso la lente si ottiene attraverso la legge dei punti coniugati. Assumendo un riferimento con asse positivo verso destra e centrato nel vertice della lente, la legge dei punti coniugati si scrive 1 1 1

p q f

− + = .

Per la prima lente si ha che p= − e la posizione dell’immagine prodotta dalla prima lente è data P

da ₁ pf 12

q cm

p f

= =

+ . L’ingrandimento vale q 0.5

p = − , dunque le dimensioni della prima immagine sono di 1cm e l’immagine è capovolta. Poiché la distanza tra le lenti è minore di q1, l’immagine della prima lente si forma a destra della seconda e ad una distanza p2=2cm dal vertice