3.1. Tre cariche uguali q1=q2=q3=q sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato L e tenute bloccate in questa posizione. Si discuta se questa rappresenta una posizione di equilibrio per il sistema. In caso contrario, stabilire dove e quale carica Q deve essere posta affinché ciascuna carica resti in equilibrio.
Figura 35
Tre cariche positive nello spazio non costituiscono una configurazione stabile. Esse tendono ad allontanarsi le une dalle altre indefinitamente. Sulla carica q3 le forze prodotte dalle cariche q1 e q2
sono repulsive e dunque dirette verso l’esterno del triangolo. Il modulo della forza prodotta dalle due cariche è lo stesso ma la direzione è differente ed è la stessa individuata dai lati del triangolo con vertice in q3. La forza risultante è dunque diretta lungo la bisettrice e può essere disegnata interna del triangolo, altrimenti deve essere positiva. Per simmetria, lo stesso vale per le forze agenti sulle altre due cariche. Dunque tale carica deve trovarsi nell’intersezione delle bisettrici del triangolo (incentro) che nel caso di un triangolo equilatero coincide con il baricentro. Poiché tale
3.2. Si considerino due cariche Q1=4C e Q2=-2C, distanti d=15cm. Si calcoli, in sistema di riferimento fissato, il potenziale in tutti i punti dello spazio. Si determino le posizioni di equilibrio
per una carica positiva q. Se la carica è vincolata a muoversi lungo la direzione parallela al vettore congiungente le due cariche Q1 e Q2, si dica se l’equilibrio è stabile o instabile.
Scelto un sistema di riferimento centrato nella carica Q1 e con asse x diretto lungo la carica Q2 , e assi y e z lungo due direzioni ortogonali, il potenziale, nel punto P di coordinate (x,y,z) vale
1 2 nello spazio per simmetria. Nel piano xy nessuna posizione P’ al di fuori dell’asse x è di equilibrio, perché la risultante delle forze non può mai annullarsi, visto che la direzione delle forze non è mai parallela. Lungo l’asse x, l’unica regione per cui è possibile avere un bilanciamento delle forze è il dominio x>d. Infatti, nella regione compresa fra le due cariche, entrambe le forze hanno direzione positiva, e nel dominio x<0 l’intensità della forza repulsiva è sicuramente maggiore di quella attrattiva, perché Q1>-Q2 e la carica q è più prossima a Q1 che a Q2. Nella regione x>d, la condizione di equilibrio si ottiene quando
1 2
La cui soluzione ammissibile è
1 1 2
negativa. L’altra soluzione non è ammissibile perché
2
E’ possibile risolvere formalmente il problema dell’equilibrio, a partire dalla definizione del potenziale. Per la simmetria discussa prima, è possibile ridurre il problema al piano xy, per cui il
( ) ( )
Si consideri un riferimento polare centrato nel centro della circonferenza, con angolo nullo nella direzione della carica negativa e angolo crescente in verso antiorario. Si consideri un punto A, posto sulla circonferenza in modo tale che la sua posizione angolare sia . Utilizzando la formula di Carnot, le distanze di A dalle cariche positiva e negativa sono rispettivamente 5 4 cos
2
L’azione risultante delle forze sulla carica Q, per simmetria è diretta lungo l’asse delle ascisse positivo (tangenziale alla circonferenza) e dunque tende a spostare la carica dalla posizione iniziale.
Utilizzando il teorema di conservazione dell’energia meccanica si ha che
2 2
3.4. Una carica Q=4C è poggiata su di un piano ed una carica q=1nC si trova sospesa ad una quota h=2cm, in virtù della repulsione elettrostatica. Determinare la massa della carica q. Si stabilisca il tipo di equilibrio.
All’instante iniziale la forza peso è bilanciata dalla forza di Coulomb: si ha che
2 orientato lungo la direzione verticale e xy due direzioni ortogonali nel piano orizzontale, si osserva che spostato debolmente il corpo dalla sua posizione di equilibrio lungo una qualsiasi direzione orizzontale, l’azione della proiezione della forza repulsiva lungo la componente orizzontale non si annulla, ma tende ulteriormente ad allontanare la sferetta. Formalmente il potenziale associato alla sferetta nella generica posizione r è
2 2 2 tipo di equilibrio dobbiamo definire le caratteristiche dell’estremale. Avremo equilibrio stabile se il punto è di minimo, altrimenti l’equilibrio è instabile. Osserviamo che la restrizione di V lungo l’asse x, fissando y=0;z=hè
Tale funzione è pari rispetto alla variabile x e presenta un massimo in corrispondenza di x =0, laddove il denominatore è minimo. Una particella che si muove dalla posizione di equilibrio lungo l’asse x tende ad allontanarsi dal punto iniziale. Si può concludere che l’equilibrio è instabile.
Analoga situazione, per simmetria si ha lungo l’asse y. Lungo l’asse z, per z>0 invece si ha che la restrizione di V è
indicando che lungo z il punto è di minimo. Il punto considerato è dunque un punto di sella per il potenziale ed il comportamento della carica in un intorno della posizione di equilibrio dipende dalla direzione lungo cui essa viene spostata.
3.5. Una carica q è distribuita uniformemente su un anello di raggio R. Si calcoli il periodo delle piccole oscillazioni di un elettrone (con carica e, massa me) in moto sull’asse della spira.
Si consideri un riferimento cilindrico centrato nel centro dell’anello, con coordinate polari
( )
r, nelpiano dell’anello e asse z ortogonale. La densità di carica lineare dell’anello è 2
q
R
= . Consideriamo un punto sull’asse. Il campo elettrico per un tale punto è diretto lungo l’asse z. Difatti per ogni regione infinitesima dell’anello con estremo alle coordinate polari
(
R,0)
, la regione simmetrica intorno al punto(
R, + 0)
produce un campo con componente orizzontale opposta.Inoltre il campo è una funzione dispari rispetto all’asse z, poiché cambia di segno attraversando l’anello. La componente z del campo è, per definizione
( ) ( ) ( )
L’equazione di un elettrone in moto attraverso l’anello è3
che corrisponde ad un moto armonico con pulsazione
Il periodo delle piccole oscillazioni misura
3 3
3.6. Si calcoli il campo elettrico generato da un disco omogeneo S di raggio R, con carica totale Q, in funzione della distanza dall’asse. Si dica in quale punto questo valore è massimo. Se ne deduca il valore del campo elettrico per un piano infinito.
Si consideri un riferimento cilindrico centrato nel centro del disco, con coordinate polari
( )
r, nelpiano del disco e asse z ortogonale al disco. La densità di carica superficiale del disco è Q2
R
= . Consideriamo un punto sull’asse. Il campo elettrico è diretto lungo l’asse z. Difatti per ogni punto di coordinate polari
(
r0,0)
, il punto simmetrico(
r0, + 0)
produce un campo che ha componente orizzontale opposta. Inoltre il campo è una funzione dispari rispetto all’asse z, visto che cambia di segno attraversando il disco. La componente z del campo è, per definizione3/ 2
dove x− rappresenta la generica distanza del punto del disco rispetto al punto x considerato, mentre d( ) rappresenta la misura della superficie considerata. In coordinate polari il campo è
( )
Per z>0 si ha che il campo elettrico misura
2 2 2 2 2
Il campo è massimo per z=0. Al crescere di R si ha che il valore del campo elettrico per il piano è indipendente da z, e per valori positivi di z vale
2 0
. Si noti che nell’espressione del campo associato al disco l’unica distanza che conta è la quantità normalizzata z
R . Il caso del piano è anche equivalente a quello del per z →0, dove il campo continua a valere
2 0
indipendentemente da R.
3.7. Si consideri un disco forato, di raggio interno R1=10cm e raggio esterno R2=20cm, abbastanza sottile da poter trascurare la dimensione verticale. La densità di carica superficiale sul disco è =20C/m2. Si calcoli il potenziale elettrico lungo l’asse verticale, passante per il centro del disco ed ortogonale al piano del disco stesso. Si calcoli il periodo delle piccole oscillazioni di una carica q = -1C di massa m= 20g che si muove lungo l’asse verticale intorno al centro del disco.
Figura 37
Utilizzando un sistema di coordinate cilindriche, con l’asse z diretto lungo l’asse del disco ed un sistema polare nel piano del disco, il potenziale relativo alla distribuzione di cariche presenti sul
Il campo elettrico lungo l’asse ha componente diretta lungo l’asse z per simmetria e vale
2 2 2 2
Tale forza è attrattiva perché la carica è negativa, ed è proporzionale allo spostamento. Il periodo associato al moto è
3.8. Si consideri un disco non conduttore di raggio R=10cm. Su metà del suo raggio è distribuita uniformemente una carica Q=1C, per l’altra metà è distribuita uniformemente una carica -Q/2. Si calcoli il potenziale elettrico lungo l’asse del disco, si consideri una piccola sfera carica di massa m=0.5g, e carica q=-5nC, inizialmente nel centro del disco. Si calcoli il lavoro necessario a potenziale lungo l’asse del disco, prodotto dalla distribuzione di cariche è
2 / 2 2 2 portare la carica ad una quota R è opposto al lavoro fatto dalle forze elettrica e gravitazionale
( ( ) (0)) 1.0
L=q V R −V +mgR= mJ
3.9. Si consideri un disco carico posto nel piano orizzontale, avente densità superficiale di carica uniforme e raggio R=30cm. Si calcoli il valore di se il campo elettrico misurato sull’asse del disco ad una distanza z0=20cm dal centro vale E0= 2 105 N/C. Si calcoli la massa m di una carica puntiforme q=40nC, in equilibrio alla distanza z0 lungo l’asse. Si calcoli il periodo delle piccole oscillazioni della carica intorno alla posizione di equilibrio.
Il campo elettrico prodotto dal disco uniformemente carico in un punto dell’asse del disco, posto a distanza z dall’asse vale in modulo
2 2
0 0.8
m qE g
= g =
Infine l’equazione della dinamica associata al moto della carica è
0 0 densità di carica diminuisce con la distanza r dal centro del disco secondo la relazione ( ) 0R
r r
=
, dove 0 =10−4C m/ 2. Si calcoli (1) la carica totale sul disco, (2) il potenziale ed il campo elettrico sull’asse del disco, (3) il lavoro necessario per spostare lungo l’asse una carica q=100 nC dall’infinito ad una distanza 2R dal centro del disco (Si trascuri il contributo delle forze diverse da quella elettrostatica)
Assumendo un riferimento cilindrico con asse z ortogonale al disco D, centrato nel centro del disco, la carica totale sul disco è data da
2 5 Il potenziale lungo l’asse vale
0 0
Il campo elettrico lungo l’asse è diretto soltanto lungo l’asse z per simmetria, è simmetrico rispetto a z e vale per z>0 Il lavoro necessario a portare la carica q dall’infinito a distanza 2R vale
0
Problema 2: Per la legge di Faraday-Neumann-Lenz la forza elettromotrice indotta vale
( ) dA 3
3.11. Si consideri un piano uniformemente carico con densità superficiale di carica =1.8 10-6 C/m2. Il piano presenta un foro di forma circolare di raggio R=10cm. Si calcoli il campo elettrostatico lungo l’asse del foro. Una carica q=-10-9 C, di massa m=20g, posta a distanza
3
d = Rdal centro del foro viene lasciata avanzare verso il foro. Trascurando la gravità, si calcoli la velocità di attraversamento del foro.
Figura 39
Il campo elettrico lungo l’asse del foro, per simmetria, è diretto anch’esso lungo l’asse ed è una funzione pari rispetto all’asse z, avendo preso come origine il centro del foro. Difatti i contributi orizzontali si annullano reciprocamente, per effetto delle cariche disposte simmetricamente sul piano rispetto all’asse. Il campo può essere ottenuto per sovrapposizione di un campo Ep prodotto da un piano (senza foro), uniformemente carico, con densità di carica ed il campo Ed prodotto da un disco di raggio R con densità di carica negativa - che rimpiazza il foro. Il campo elettrico prodotta dal piano vale
2 0
Ep
= . Il campo prodotto dal disco può essere calcolato a partire dal potenziale lungo l’asse associato al disco. Per definizione
0 punto sul disco D. Utilizzando coordinate polari sul disco e considerando z>0 si ha
( )
La componente verticale del campo elettrico associata a questo potenziale vale
2 2
Da cui il campo totale vale
2 2 approssimazione ritenuto coincidente con quello del piano. Il potenziale associato a questo campo può essere ottenuto per integrazione (vedi espressione precedente)
2 2
2 0
V R z
= − +
Nel moto della carica q, poiché il campo elettrostatico è conservativo, l’energia meccanica si conserva e la variazione di energia cinetica è pari all’opposto della variazione dell’energia potenziale. Si ha che 2
0 0 0 posizione in cui deve essere posta una carica Q=6 10-6C affinché il campo risultante in A sia nullo.
Per tale configurazione di cariche (barra e carica) si calcoli il calcoli il campo elettrico in tutti i punti del piano.
Il campo elettrico E0 prodotto dalla barra nel punto A ha due componenti nel piano: E0 =(E Ex0, y0) . Utilizzando la formula per il calcolo del campo si ha
0 0 carica deve essere posta ad una distanza d lungo la direzione del campo E0, tale che
2
Il campo elettrico totale è la somma dei campi elettrici delle due configurazioni. Nel punto generico (x,y) dello spazio il campo elettrico ha componenti (E Ex, y) somma dei contributi della barra e della carica puntiforme. Si ha che le componenti del campo elettrico della barra sono:
0 dimensioni sono trascurabili. La bacchetta è per metà carica positivamente con densità lineare di carica uniforme =20mC/m, per metà carica negativamente con densità uniforme – . Si calcoli il campo elettrico lungo l’asse x, come definito in Figura 40. Si stabilisca il valore della massa m di una carica q=-6nC affinché resti in equilibrio ad una distanza R=30cm dalla bacchetta lungo l’asse x sotto l’azione delle forze peso e elettrostatica
Figura 40
Indicando con y la direzione verticale, il campo elettrico lungo l’asse x è confinato nel piano xy.
Inoltre, per simmetria, la componente lungo x del campo è nulla (il relativo contributo proveniente dalla carica positiva è bilanciato da quello relativo alla carica negativa) mentre il contributo lungo y prodotto dalla parte negativa è esattamente uguale al contributo prodotto dalla parte positiva.
Utilizzando l’espressione del campo elettrico si ha che
0 sull’asse z, nel dominio z<0. Si calcoli il valore di affinché il campo elettrico risultante sia nullo in z=R. Si stabilisca, infine, il tipo di equilibrio nel punto z=R. Si calcoli il periodo delle piccole oscillazioni, nel caso in cui esistano, di una carica q=1C di massa m=30g, in un intorno del punto di equilibrio.
La carica totale sul disco vale
2
Dove è stata effettuata la sostituzione r tan
z = e tan 0 R
= z . Per il principio di sovrapposizione, si ha che il campo elettrico risultante è pari alla somma del campo elettrico del disco e del filo. Il campo elettrico del filo, nella regione z>0 è dato da
0
In un intorno di z=R il campo elettrico vale elettrico decresce in un intorno di z=R. Posta una carica q nel punto considerato l’equilibrio è stabile per una carica positiva (q>0) e instabile per una carica negativa (q<0). In un intorno del punto di equilibrio si ha che
Il periodo delle piccole oscillazioni vale
3
3.15. Si consideri una lamina quadrata di lato L=20cm ed un riferimento cartesiano con origine in uno dei vertici della lamina e assi x e y orientati lungo due dei lati della lamina che definiscono il piano orizzontale (Figura 41). Rispetto al riferimento considerato, la densità di carica superficiale vale 0 xy2
= L , dove 0 =0.2mC m/ 2 . Si calcoli la carica totale della lamina e il potenziale lungo l’asse z, asse passante per l’origine e ortogonale alla lamina. Una carica q=-200nC di massa m=1g è vincolata a muoversi lungo l’asse z. Si calcoli la velocità con cui attraversa l’origine se parte da ferma da una quota h=60cm
Figura 41
La carica totale, per definizione vale
2
Il potenziale elettrico lungo l’asse vale
( ) ( ) ( )
Sfruttando la conservazione dell’energia meccanica, poiché la pallina parte da ferma si ha che
distanza d2, dove il campo elettrico ha lo stesso valore di quello iniziale (le distanze sono misurate rispetto al centro della sfera).Figura 42
Il campo elettrico è a simmetria radiale; fissato un riferimento polare con centro nell’origine, questo dipende soltanto dalla distanza r dal centro della sfera. Per calcolarlo, è possibile applicare il teorema di Gauss utilizzando come superficie una sfera di raggio r : a distanze inferiori al raggio della sfera (r<R), si ha che 0 2 0 int 4 3
All’esterno della sfera, invece la carica interna non varia ed il campo è lo stesso che si avrebbe nel caso in cui la carica è tutta concentrata al centro della sfera:
3
Il potenziale nello spazio dipende anch’esso solo dalla distanza dal centro della sfera e vale, per campo elettrico in tutto lo spazio. All’interno della sfera, ad una distanza r=R/2 si trova una guida circolare, il cui effetto è trascurabile, dove si può muovere una carica negativa q=-100 nC, di massa m=2g di moto uniforme (Figura 43). Si calcoli la velocità di moto della carica.
Figura 43
La carica contenuta all’interno di una sfera di raggio r, può essere calcolata per integrazione della densità di carica. Per r<R si ha
Il campo elettrico applicando il teorema di Gauss e scegliendo come superfici delle sfere si ottiene come
2
3.18. Si consideri una sfera di raggio R=10cm, con una cavità sferica di raggio 2
R, il cui centro
dista 2
R dal centro della sfera come in Figura 44. La densità di carica nella sfera cava è costante e la carica totale è Q=10-5C. (a) Si calcoli il potenziale all’esterno della sfera, lungo l’asse positivo delle x, passante per i centri della sfera e della cavità. Una carica negativa q=-10-7C di massa m=10g si trova inizialmente nel punto di coordinate x1=2R con velocità v0 e si allontana dalla sfera lungo l’asse x. (b) Si calcoli v0 se la distanza massima percorsa dalla carica è d=2R. (c) Si calcoli il campo elettrico in tutti i punti dello spazio esterni alla sfera. (d) Si calcoli la densità di carica necessaria a riempire la cavità affinché il campo elettrico a grandi distanze sia un campo di
dipolo
Figura 44
La sfera cava è carica uniformemente. Il volume della sfera cava è pari al volume dell’intera sfera meno il volume della cavità:
negativamente che riempie la cavità, con densità di carica -. Le cariche totali delle due sfere sono concentrata nel centro delle sfere. Assumendo il riferimento di figura si ha che:
0 0 cinetica è pari alla variazione dell’energia potenziale cambiata di segno. La posizione finale della carica è x2 = + =d x1 4RSi ha che 02
dove x2 è la posizione finale della carica. La velocità iniziale della carica vale
0
(c) Per il calcolo del campo elettrico in tutti i punti dello spazio esterni alla sfera possiamo utilizzare il riferimento polare di Figura 45
Figura 45
Il potenziale nel punto P di coordinate (r,) è
2 2 2 2
Il campo elettrico ha componenti
( )
3(
2 2)
32 esattamente –Q, in tal caso la densità di carica corrispondente è3
3.19. Sia data una distribuzione di carica all’interno di una sfera di raggio R=20 cm, distribuita secondo la legge 0 1 r , 0 , 0 0.01 / 3
r R C m
= −R = (Figura 46) (a) Si calcoli la carica totale QTOT della sfera. (b) Si determini il campo elettrico in tutti i punti dello spazio. (c) Si calcoli il lavoro svolto per portare una carica
10 coordinate sferiche, la carica vale
2 3 4 3
Per il calcolo del campo elettrico, osserviamo che, data la simmetria sferica del problema, esso ha direzione radiale e dipende soltanto dalla distanza r dal centro della sfera. Distinguiamo due casi.
All’esterno della sfera, si può calcolare il campo assumendo che la carica sia concentrata nel centro della sfera: carica interna alla sfera di Gauss. Si ha che
2 3 4 maggiore dal centro della sfera può essere calcolato attraverso il potenziale. Poiché la carica si trova all’esterno della sfera
3
3.20. Si consideri una sfera non conduttrice di raggio R=30cm, in cui la densità di carica varia radialmente, secondo la relazione 1
1 potenziale in tutti i punti dello spazio. Si calcoli il lavoro minimo compiuto per spostare una carica q=-100nC inizialmente ferma al centro della sfera ad una distanza d=68.3cm dal centro della sfera. Si stabilisca se posta la carica q in questo punto, essa resterà ferma.
Per il teorema di Gauss il campo elettrico è nullo all’esterno della sfera se la carica totale presente all’interno della sfera è zero. La carica totale vale
1
La condizione di carica nulla equivale a
3
Il campo elettrico può essere ricavato utilizzando la legge di Gauss e sfere di raggio r. In tal caso il flusso del campo vale 4r E r2 ( ) e questo deve essere eguagliato alla carica contenuta nella sfera di raggio r. Si distinguono 4 casi:
2 3
Il potenziale nello spazio si ottiene per integrazione del campo lungo la direzione radiale, imponendo la condizione di continuità nei punti di raccordo del campo. Assumendo che il potenziale sia nullo all’infinito, esso è nullo anche all’esterno della sfera. Si ha che
3 2
Il lavoro minimo necessario a spostare la carica si ottiene assumendo che carica nel punto di arrivo sia ferma. In tal caso, poiché il lavoro è fatto contro il campo elettrico si ha che
2 semiretta uscente dal centro della sfera. Si valuti l’energia potenziale elettrostatica in questa configurazione, assumendo nulla l’energia potenziale a distanza infinita dal centro della sfera. Si stabilisca a che velocità la carica q2 di massa m=10g, attraversa il punto diametralmente opposto rispetto a quello iniziale, partendo da ferma, se non vi sono forze dissipative nel moto.
La carica totale della sfera si ottiene per integrazione della densità di carica:
La carica totale della sfera si ottiene per integrazione della densità di carica: