2.1. Una videocamera è posta sul fondo di una piscina ad una profondità h=2m e punta verso l’alto. L’indice di rifrazione dell’acqua è n=1.33. (a) Quale parte del cielo è in grado di osservare?
(b) A quale angolo si vede la linea dell’orizzonte ? (c) A che distanza minima d deve trovarsi un sasso posato sul fondo affinché la camera lo possa inquadrare ?
Figura 8
Si consideri un raggio luminoso diretto verso l’alto che, partendo dalla videocamera, emerge in aria.
Indicando con i l’angolo di incidenza del raggio con la superficie di separazione acqua-aria e con r l’angolo di rifrazione (Figura 8), vale la legge di Snell
12
sin 1
sin
i n
r = = n
dove n12è il rapporto tra gli indici di rifrazione dell’aria è dell’acqua. Quello dell’aria è assunto pari ad 1 essendo la velocità della luce in aria prossima a quella nel vuoto. Poiché n 12 1, si ha che l’angolo di rifrazione è maggiore dell’angolo di incidenza ed il raggio luminoso si allontana dalla normale emergendo in aria. Per ogni angolo di emergenza 0
r 2
, esiste dunque un raggio incidente che verifica la legge di Snell. In particolare un raggio verticale incide ed emerge ad angolo nullo, mentre un raggio che emerge con angolo di / 2 incide con angolo di incidenza ic
(detto angolo critico) tale che:
sinic 1
= n
(a) Dunque la telecamera è in grado di osservare l’intero cielo (0 r / 2), con angolo di vista compreso tra 0 e ic.
(b) La linea dell’orizzonte (r= / 2) si vede all’angolo critico, che nel caso specifico vale arcsin1 49
ic
= n = .
(c) Oltre l’incidenza critica, i raggi non penetrano più nell’aria ma vengono riflessi fino a raggiungere il fondo della piscina nuovamente (riflessione totale). In tal caso, un oggetto posto sul fondo della piscina ed intercettato da un raggio luminoso riflesso ad un angolo di incidenza supercritico (iic) è visto dalla telecamera. Al crescere dell’angolo di incidenza, il raggio luminoso
raggiunge distanze sempre maggiori, dunque la distanza minima d è la distanza orizzontale raggiunta dal raggio incidente con incidenza critica1. In tal caso
2 2
2.2. Un pescatore è seduto sul bordo di un molo, con l’occhio ad una quota h=1.5m rispetto al pelo dell’acqua. Osservando una carpa ferma sul fondo del lago, profondo 2.5m, con angolo di vista pari a 45°, il pescatore decide di colpirla sparando con l’arpione, dalla stessa quota h. Si stabilisca in che direzione lanciare l’arpione, assumendo la traiettoria rettilinea e la velocità costante. L’indice di rifrazione dell’acqua è 1.33, mentre quello dell’aria lo si può assumere pari a 1.
Figura 9
Sia O la posizione del pescatore, P del pesce e A il punto di impatto del raggio luminoso che connette il pescatore al pesce sulla superficie del lago (Figura 10). Sebbene il pescatore osservi la carpa a 45°, questa non si trova esattamente a 45°, perché il raggio luminoso, rifratto in acqua si avvicina alla normale. La distanza orizzontale tra O e P è
tan 45 tan
. Sostituendo si ha che
2 2 1
1 Formalmente, in corrispondenza dell’incidenza critica il raggio emerge in aria e si muove parallelamente alla superficie. Soltanto per angoli strettamente maggiori di ic il raggio viene totalmente riflesso. Quindi la distanza minima non esiste ed il valore calcolato è inf
ic
d d
= , l’estremo inferiore delle distanze raggiunte dai raggi ad incidenza supercritica.
Figura 10
2.3. Un osservatore sul bordo di una piscina, da una quota h=1.5m, vede un’asta sul fondo di una piscina, profonda d=2m. L’estremo B appare all’osservatore con un angolo di vista =41°
rispetto alla verticale, mentre l’angolo di rifrazione misura i2=30°(Figura 11). Si calcoli (a) l’indice di rifrazione dell’acqua, assumendo che l’indice di rifrazione dell’aria sia pari ad 1; (b) la lunghezza dell’oggetto considerato; (c) la profondità apparente del punto A.
Figura 11
(a) L’angolo di vista è anche l’angolo di incidenza del raggio che dall’occhio raggiunge il punto B.
L’indice di rifrazione dell’acqua dalla legge di Snell è dato da
2
sin 1.31 n sin
i
=
(b) La lunghezza dell’asta misura
tan tan 2 2.45
l=h +d i = m
(c) Per la legge del diottro sferico, nel limite per il raggio di curvatura che tende all’infinito, si ha
che 1
n 0
p− = , dove p=d è la posizione del punto A e q l’immagine. Si ha che q d 1.52
q m
= =n
Tale posizione è la stessa che si avrebbe assumendo il percorso fatto dalla luce rettilineo ed interamente in aria.
2.4. Si consideri una moneta sul fondo di un lago, ad una profondità di h=1m. Si assuma l’indice di rifrazione dell’acqua pari a n=1.33 e quello dell’aria pari a n0=1.0. Si calcoli la minima distanza dalla moneta a cui deve essere posto uno specchio piano sul fondo del lago per riflettere l’immagine della moneta. Si calcoli l’angolo di inclinazione dello specchio, affinché l’immagine della moneta, riflessa attraverso lo specchio, possa essere vista da un osservatore ad un angolo di 45° rispetto alla normale.
Figura 12
La moneta è visibile sul fondo del lago a partire dall’incidenza critica. L’angolo di incidenza critica alla superficie dell’acqua è dato dalla condizione 1
sinic 49
= = . La distanza minima a cui n l’immagine è di nuovo visibile sul fondo del lago è
min 2
2 tani 2 2.3
c 1
d h h m
n
= = =
−
Se l’angolo di vista rispetto alla normale è 45°, l’angolo di incidenza del raggio riflesso allo specchio è tale che 1
sin
2 i
n
= , da cui i =32. L’angolo totale formato tra raggio incidente sullo specchio e raggio riflesso è it = + = i ic 81 , l’angolo di inclinazione dello specchio è
( ) ( )
2 2 8.5
c c
S
i i i i
i + i −
= − = =
2.5. Un prisma di vetro, con sezione triangolare ad angolo retto, come in Figura 13, viene utilizzato per riflettere un raggio di luce incidente normalmente sulla faccia del prisma di maggiore superficie; sulle facce del prisma la riflessione è totale. (a) Si calcoli il valore minimo dell’indice di rifrazione del vetro nm, per cui almeno per una coppia di angoli e vi sia riflessione totale. (b) Sia n>nm. Si calcoli l’intervallo di valori permesso per .
Figura 13
Su ciascuna delle facce del prisma è verificata la legge di Snell
0; 0
0; sin sin
r i
se i r
n se i i
r n
= =
=
dove i e r sono rispettivamente gli angoli di incidenza e di emissione del raggio luminoso e n l’indice di rifrazione. Il pedice indica che il valore di n è quello per il mezzo in cui la luce incide o viene rifratta. L’indice di rifrazione dell’aria è pari a 1. Per la prima incidenza, quella all’interfaccia aria-vetro, l’angolo di incidenza è nullo (l’angolo è misurato rispetto alla normale). In tal caso anche l’angolo di rifrazione è nullo: un raggio che incide ortogonalmente su di un interfaccia non viene deviato. All’interno del vetro si ha riflessione totale, dunque il raggio luminoso incide con un angolo maggiore rispetto a quello critico, che è definito dalla relazione:
sinic 1
= n
Osserviamo che l’angolo di incidenza del raggio sulla prima interfaccia DPRˆ misura ancora perché complementare dello stesso angolo APDˆ = . Per la legge della riflessione si ha che anche QPRˆ = . Inoltre l’angolo ˆ CPQ= e l’angolo ˆ RQP= perché complementari dello stesso angolo CQP . Infine anche ˆ RQEˆ = per la legge della riflessione, e sommando gli angoli interni di un quadrilatero si osserva che il raggio esce dal prisma ortogonalmente alla superficie.
Utilizzando l’invertibilità del cammino ottico si può notare che il problema è simmetrico e nella soluzione è possibile scambiare gli angoli e . Poiché uno dei due è sicuramente maggiore o uguale di
4
, mentre l’altro è minore o uguale (i due angoli sono complementari), per simmetria la
condizione di minimo deve corrispondere ad un’incidenza di 4
. In tal caso l’indice di rifrazione minimo è
1 2 1.41 sin / 4
nm
= = =
Per provare il risultato formalmente, poiché si ha riflessione totale, si ha che
1 1
Dunque una soluzione è ammissibile se
1 1 che il sistema (1) deve essere verificato. I valori permessi per l’angolo sono tali che
1 1
arcsin arccos
n n
che rappresenta un intervallo simmetrico intorno al valore = / 4.
2.6. Si consideri un oggetto lineare di lunghezza L=2cm disposto ortogonalmente all’asse ottico a distanza d=4cm da due specchi piani S ed S’ disposti simmetricamente intorno ad esso come in Figura 14. Si calcolino le immagini dell’oggetto assegnato.
Figura 14
Se avessimo un singolo specchio, l’oggetto si rifletterebbe, restando verticale e diritto e formando un’immagine virtuale nello specchio, a distanza d dallo specchio stesso. Considerando i due specchi separatamente, avremo dunque due immagini virtuali, nei singoli specchi, ciascuna distante d dallo specchio considerato. Gli specchi però interagiscono fra di loro, e ciascuna delle immagini virtuali prodotte da uno specchio si riflette nell’altro formando una nuova immagine. Ciascuna nuova immagine continua a riflettersi nell’altro specchio e così via, formando una successione di immagini sempre diritte della stessa dimensione e a distanze dal singolo specchio sempre maggiori. Bisogna dunque calcolare le posizioni alle quali si formano le varie immagini. Fissato un riferimento centrato nell’oggetto con asse x positivo verso S’, la posizione della prima immagine in S’ è
'1 2
q = d , mentre quella in S è q1 = −2d Quest’ultima immagine dista 3d da S’ e dunque la posizione di questa nuova immagine in S’ sarà q'2 =4d . Analogamente per simmetria avremo un’immagine in S prodotta dalla prima immagine in S’ alla posizioneq2 = −4d. Per induzione, le immagini in S’ si formeranno nei punti di coordinate
'n 2 ;
q = nd nN mentre quelle in S alle posizioni simmetriche (Figura 15)
2 ;
qn = − nd nN
Figura 15
2.7. Si consideri una coppia di specchi piani orientati ortogonalmente l’uno rispetto all’altro ed un oggetto orientato posto in maniera simmetrica rispetto ai due specchi, come in Figura 16, con il baricentro ad una distanza L=10cm dal punto di congiunzione degli specchi. La dimensione dell’oggetto è L. Si calcolino le immagini di tale oggetto attraverso gli specchi.
Figura 16
Per simmetria è possibile considerare la riflessione attraverso uno solo dei due specchi. Uno specchio piano lascia invariate le distanze e non deforma gli oggetti, per cui l’oggetto sarà lineare e delle stesse dimensioni di quello originario. Consideriamo un riferimento con l’origine nel punto di giunzione degli specchi. Il punto A (vedi Figura 17) ha coordinate , rappresenta lo specchio piano di sinistra è la bisettrice del secondo e quarto quadrante ed un punto simmetrico rispetto a questa retta si ottiene scambiando le coordinate e cambiandone i segni: il punto A’ avrà dunque coordinate ,
2 l’immagine è verticale e capovolta rispetto a questa.
Figura 17
2.8. Si consideri uno specchio sferico concavo con fuoco f. Si consideri un oggetto posto sull’asse ottico ad una distanza p dal vertice. L’immagine si forma ad una distanza q dal vertice.
Sia la somma delle distanze di oggetto e immagine pari a 60cm, ed il prodotto pari a 864cm2. Si calcoli la distanza focale dello specchio. Sia la dimensione verticale dell’oggetto pari a 2cm. Si calcoli la dimensione dell’immagine e si stabilisca se è diritta o capovolta.
In un riferimento con centro nel vertice e asse positivo nella direzione del fuoco dello specchio, l’equazione degli specchi si scrive 1 1 1
p+ =q f . Da questa si ricava pq 14.4
f cm
= p q =
+
p e q sono soluzioni dell’equazione x2−(p q x+ ) + pq= , che ha come soluzioni0
1 24 ; 2 36
x = cm x = cm . Due casi sono possibili. Se p=x q1; =x2 , l’ingrandimento vale q 1.5
G= − =p e l’immagine misura 3cm. Se p=x q2; = allora l’ingrandimento è 'x1 G = −0.67 e l’immagine misura 1.33cm. In ogni caso l’immagine è capovolta.
2.9. Uno specchietto retrovisore di una macchina che viaggia ad una velocità costante v=60 km/h di è uno specchio sferico convesso con fuoco f=5m. Una seconda macchina, in procinto di superare la prima, viene vista nello specchio ad una distanza q1= 4m. Si calcoli la posizione della seconda macchina rispetto alla prima e l’ingrandimento. Dopo un tempo pari 1s, l’ingrandimento è aumentato a 0.33. Si calcoli la nuova posizione della macchina e la velocità, assunta costante, con cui si muove.
In un riferimento con centro nel vertice dello specchio, e asse positivo nella direzione del fuoco, l’equazione per gli specchi si scrive 1 1 1
p+ =q f . La posizione della macchina all’istante iniziale è
1 Combinando l’espressione dell’ingrandimento e quello della legge degli specchi per eliminare q si ha che I f
. La velocità relativa della seconda macchina è 10 / 36 /
vr = m s= km h. La velocità assoluta della seconda macchina è v2 =96km h/ .
2.10. Una freccia, approssimabile ad un segmento di lunghezza l=6cm, viene inviata verso uno specchio sferico concavo di raggio R=30cm. La freccia, inizialmente sull’asse ottico, si muove a velocità costante v=40m/s lungo il medesimo asse. All’istante t=0 la punta della freccia si trova ad una distanza d=55cm dal vertice dello specchio. Si calcoli l’istante di tempo t1 in cui la freccia comincia ad apparire nello specchio. Infine si calcoli l’immagine della freccia all’istante t2=1.2s e la sua lunghezza apparente.
La freccia comincia ad essere riflessa nello specchio non appena la punta supera il fuoco. La punta raggiunge il fuoco all’istante
1 d f 0.01
t s
v
= − =
All’istante t2 la freccia ha già raggiunto il vertice, dunque la posizione della coda è a 6cm dal vertice e la sua immagine, scegliendo un riferimento con asse positivo nella regione occupata dall’oggetto, è alla coordinata pf 10
q cm
p f
= = −
− . Poiché l’intera freccia si trova oltre il fuoco l’immagine è virtuale. La lunghezza apparente è − =q 10cm. L’immagine della freccia è invertita nello specchio.
2.11. Si consideri uno specchio sferico convesso con fuoco f=10cm. Si consideri un oggetto che si trova inizialmente a t=0, nel punto p1=15cm e che si sposta a velocità costante v=0.1 m/s verso il
vertice. Calcolare la posizione dell’immagine e l’ingrandimento all’istante t1=1s. Calcolare la velocità media con cui si muove l’immagine fino al tempo t1.
In un riferimento con centro nel vertice e asse positivo nella direzione del fuoco dello specchio, l’equazione degli specchi si scrive 1 1 1
p+ =q f . La posizione dell’immagine si ricava dalla relazione pf
q= p f
− . La posizione dell’oggetto è negativa rispetto al riferimento considerato. Per p0= -15cm, si ha che q0 =6cm. Dopo un tempo t1 l’oggetto si trova nel punto p1= p0+ = −vt 5cm . In tal caso la posizione dell’immagine è q1=3.3cm . L’ingrandimento è 1
1
q 0.55 I = − p = . L’immagine è diritta, rimpicciolita. La velocità media con cui si muove l’immagine è
1 0
2.12. Si consideri uno specchio concavo, con raggio di curvatura R=20cm, ed un oggetto posto come in Figura 18. La distanza lungo l’asse ottico più breve dallo specchio è CP=8cm, quella maggiore BP=12cm. Le dimensioni verticali sono di 2cm. Si calcoli l’immagine dell’oggetto assegnato.
Figura 18
Assumendo un sistema di riferimento con l’asse delle ascisse orientato in modo tale che il centro dello specchio abbia coordinata positiva, i punti lungo l’asse ottico si trasformano secondo la legge
1 1 2
p + = q R
dove p è l’ascissa dell’oggetto e q quella dell’immagine. Noti la posizione dell’oggetto ed il raggio di curvatura, la posizione dell’immagine è:
2 trasforma in B’, posto a 60 cm, ed il punto C si trasforma in C’ posto a -40 cm, dunque dall’altra parte dello specchio. La barra verticale A’B’ è capovolta con lunghezza 10 cm; la barra verticale
C’D’ è diritta (dunque orientata anch’essa verso il basso) con lunghezza 10 cm. Il tratto sull’asse ottico viene trasformato in un tratto che si estende tra B’ e +∞, -∞ e C’. La soluzione finale è mostrata inFigura 19.
Figura 19
2.13. Si consideri un quadro di forma quadrata di lato 2L poggiato sull’asse ottico, a cavallo del centro di un specchio concavo, come mostrato in Figura 20. Si studi la riflessione del quadro attraverso lo specchio, nel caso particolare in cui R=24 cm, L =R/4=6 cm.
Figura 20
Si assuma un sistema di riferimento, tale che il centro dello specchio abbia coordinata positiva. I punti lungo l’asse ottico si trasformano secondo la legge
1 1 2
p + = q R
dove p è l’ascissa dell’oggetto e q quella dell’immagine. Noti la posizione dell’oggetto ed il raggio di curvatura, la posizione dell’immagine è
2 q pR
p R
= −
e l’ingrandimento è
2 2
q R q R
I p p R R
= − = − = −
−
Indichiamo con A l’estremo del quadro sull’asse ottico più vicino al vertice dello specchio con ascissa pA=18cme con B l’estremo più lontano di ascissa pB=30cm. Tali punti sono trasformati rispettivamente in A’ e B’ di ascisse qA'=36cme qB'=20cm. Siano C e D rispettivamente i vertici del quadrato che non si trovano sull’asse ottico con coordinate pB e pA e C’ e D’ i punti coniugati attraverso lo specchio.
L’ingrandimento del segmento verticale A’D’ è I =A 2 , mentre quello del segmento B’C’ è trasforma nel punto di coordinate 2
, 2 q R
q L
R
−
che rappresenta il segmento congiungente i punti C’D’. L’ingrandimento rispetto alla variabile p risulta pari a
2 R
p−R: l’immagine risulta deformata secondo una trasformazione iperbolica.
2.14. Si consideri il sistema ottico di figura composto da uno specchio sferico di raggio R=10 cm ed uno specchio piano, con assi ottici ortogonali. La distanza tra il piano dello specchio e l’asse ottico dell’altro specchio è d = 5 cm. Un oggetto verticale AB di dimensione pari a 4cm, è tale che la distanza del punto A dal vertice dello specchio sferico è 15 cm. Si calcoli la posizione dell’immagine riflessa prima dallo specchio sferico poi da quello piano. E’ la sola immagine che si forma ?
Figura 21
Assumendo un riferimento con l’asse delle ascisse orientato verso sinistra, con coordinata del centro positiva, i punti coniugati si trasformano secondo la relazione 1 1 2
p+ =q R ,dove p e q sono le coordinate di oggetto e immagine e R è il raggio. L’immagine si forma alla coordinata
2 7.5
=− = − . L’immagine riflessa attraverso lo specchio piano A’’B’’ ha la stessa dimensione
|h’|, si trova lungo la retta A’B’, è tale che il punto A’’ dista da A’ 10cm, mentre B’’ dista da A’
8cm. Quando ci sono due specchi, ciascuna immagine diventa oggetto per l’altro specchio, quindi in principio dovremmo avere un numero infinito di immagini prodotte. Il numero effettivo dipende però dalla posizione e dalla dimensione dei due specchi reali. Nel caso di figura non vi sono altre immagini che si formano, perché AB non ha un’immagine rispetto allo specchio piano, mentre A’’B’’ non ha immagine rispetto allo specchio concavo.
Figura 22
2.15. L’immagine di un oggetto attraverso una lente è virtuale a distanza di 4cm dal vertice della lente ed è ingrandita di un fattore 1.33 rispetto all’oggetto. Si determini la posizione dell’oggetto e la distanza focale.
In un riferimento con centro nel vertice e asse positivo nella direzione opposta a quella dell’oggetto, l’equazione delle lenti sottili è 1 1 1
p q f
− + = e l’ingrandimento vale q
I = . Poiché l’immagine è p virtuale sia p che q sono negativi. In tal caso, si ha che la posizione dell’oggetto è alla distanza
q 3
p cm
= = −I Mentre il valore della distanza focale è
qp 12
f cm
= p q =
−
2.16. Si consideri una lente sottile, convergente, con fuoco f = 10 cm. Si definisca la posizione di un oggetto la cui immagine è quella di figura, posta a distanza q=15 cm dal centro della lente e avente altezza h=4 cm
Figura 23
Consideriamo un sistema di riferimento con l’asse delle ascisse orientato verso destra e l’origine nel vertice della lente. Con tale assunzione la legge dei punti coniugati è 1 1 1
p q f
− + = , dove p è la posizione dell’oggetto. Da cui
qf 30
L’oggetto è capovolto rispetto all’immagine e posto alla sinistra della lente.
2.17. Si consideri un oggetto di dimensioni verticali pari a 4cm. Si stabilisca a che distanza bisogna porre una lente convergente con fuoco f=10cm dall’oggetto, (1) affinché la distanza tra oggetto e immagine risulti di 50cm, (2) l’immagine sia capovolta e di dimensione 3cm
Si consideri l’equazione delle lenti, scritta per un riferimento centrato nella lente e con asse positivo verso destra. Si ponga l’oggetto a sinistra della lente. L’equazione delle lenti sottili è 1 1 1
p q f
− = . Si ha che sostituendo questa espressione nell’equazione delle lenti
7 23
p= −3 f = − cm.
2.18. Si consideri una lente convergente L con distanza focale f=16cm e un oggetto di estremi AB, che interseca l’asse ottico nel punto P. L’immagine CD interseca l’asse ottico nel punto Q (Figura 24). Sia OP=48cm. Si calcoli la distanza OQ. Sia BP=QD=2cm. Si calcolino le dimensioni dell’oggetto AB e dell’immagine CD. Si dica se l’immagine è diritta o capovolta .
Figura 24
Per una lente sottile, con un riferimento centrato nel centro della lente e asse positivo lungo l’asse ottico nella direzione di Q l’equazione dei punti coniugati è
1 1 1
L’immagine è capovolta ed il valore assoluto dell’ingrandimento vale OQ 0.5
G= OP = . Da cui si ha dell’immagine della pallina, fino al tempo in cui colpisce l’oggetto .
In un riferimento con centro nel vertice della lente e asse negativo nella direzione dell’oggetto, l’equazione delle lenti sottili si scrive 1 1 1
p q f
− + = . La posizione dell’oggetto è p= −20cm, e poiché si trova ad una distanza doppia del fuoco si ha che la posizione dell’immagine è q=20cm, l’ingrandimento vale 1, l’immagine ha la stessa dimensione dell’oggetto ( ' 2Y = cm) ed è capovolta.
La posizione della pallina nel tempo è p t( )= p0+vt , per tt1 , con p0 = −60cm e
0
1 p p 0.1
t s
v
= − = . L’immagine della pallina si forma nel tempo alla posizione
0 dimensione verticale pari a 1cm, uniti fra di loro alla base da un sottile pezzo di ferro di lunghezza d=2 cm. I due oggetti sono disposti ortogonalmente all’asse ottico, con il pezzo di giunzione sull’asse ottico. Si stabilisca a che distanza bisogna disporli dalla lente affinché la somma delle dimensioni verticali delle relative immagini, entrambe reali, sia pari alla somma delle dimensioni degli oggetti.
In un riferimento con centro nel vertice della lente e asse negativo nella direzione dell’oggetto, l’equazione delle lenti sottili si scrive 1 1 1
p q f poiché la dimensione degli oggetti è 1cm la condizione da imporre è
2 1 stesso asse e disposte ad una distanza d=10 cm l’una dall’altra. Un oggetto di dimensioni verticali
2 1 stesso asse e disposte ad una distanza d=10 cm l’una dall’altra. Un oggetto di dimensioni verticali