18.1 Centro, diametri ed assi
18.1
* Sia γ l’iperbole equilatera che passa per i punti A(0,−1)e B(−2,−1)
ed avente come asintoto la bisettrice del I e I I I quadrante; trovare l’equazione di γ e le coordinate del suo centro.
[ L’iperbole appartiene al fascio(x+1)(x−y) +k(x−y−1)(x−y+1) =0; è equilatera se e solo se I1 = 1+k+k = 0 cioè se k = −1
2, quindi ha equazione x2−y2+2x−2y+1=0. Il centro è il polo della retta impropria, dunque il punto di incontro delle polari di X∞ed Y∞cioè le sue coordinate sono soluzione del sistema
∂ f ∂x =0 ∂ f ∂y =0
Nel nostro caso (
2x+2=0
−2y−2=0e qundi C(−1,−1). ]
18.2 Determinare le coordinate del centro delle coniche non degeneri che hanno equazione del tipo ax2+by2+cx+dy+ f =0. [
−c 2a,−d
2a
]
18.3 Si consideri l’iperbole γ di equazione xy=1. Siano:
A il punto(1, 1); a la tangente In A a γ; d il generico diametro di γ;
d0 il diametro coniugato a d rispetto a γ; P l’intersezione di a con d;
P0 l’intersezione di A con d0. 153
Verificare che P e P0 si corrispondono in una involuzione ω di cui si chiedono l’equazione ed i punti uniti.
[x= 2 1+m, x0= 2 1−m. . . eliminando m si ha xx0− (x+x0) =0. . .(0, 2)e 2, 0)] 18.4 Siano: γ l’ellisse di equazione x 2 a2 + y 2 b2 =1; V un vertice di γ; t la tangente a γ in V;
p e q due diametri coniugati di γ distinti dagli assi.
verificare che p e q tagliano t in due punti P e Q tali che VP·VQ è costante comunque vari la coppia p q.
18.5
* Trovare l’equazione della conica γ che ha centro nelll’origine, un vertice sulla circonferenza di equazione x2+y2 =4 e quale polare del punto A(0, 1)la retta r di equazione x+y−2=0.
Figura 18.1
[ Se uno dei vertici sta su γ sarà su di essa anche il suo simmetrico rispetto all’origine. Un asse sarà allora la retta y=mx (si vede subito che i vertici non appartengono all’asse y). La polare di A passa per C quindi la pola-re di C passa per A e non può essepola-re la pola-retta y =2. La generica conica che ha come asse y=mx, appartiene al fascio (in coordinate omogenee) x2+y2−4u2+k(y−mx)2. Imponiamo che la polare pAdi A rispetto alla
18.1. centro 155
generica conica sia r. pAha equazione 1· [2y+2k(y−mx)] +1· [−8u] =0 che diventa kmx− (k+1)y+4u=0. I coefficienti di quest’ultima devo-no essere proporzionali a quelli dell’equazione di r: otteniamo il sistema km 1 = 4 −2 −(k+1) 1 = 4 −2
che ha come soluzione k=1 e m=−2, quindi la conica ha equazione 5x2−4xy+2y2−4=0. Vedi la Figura 18.1 a fronte ]
18.6 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha centro in C(1, 2), passa per il punto A(−1,−1) e subordina sull’asse x l’involuzione dei punti reciproci xx0−x−x0 =0
[ L’iperbole passa anche per il simmetrico di A rispetto a C e per i due punti uniti dell’involuzione. . . 5x2−3y2−10x+12y=0. ]
18.7 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ha centro in C(1, 1)e tale che la polare dell’origine sia l’asse x.
[ L’asse x è tangente. . . l’iperbole passa per A(2, 2)con tangente y=2. . . x2−
2xy−y2+4y=0. ]
18.8 Considerato il fascioF delle iperboli equilatere che passano per A(1,−2)
ed ammettono la retta di equazione x−2y=1 come asintoto, i) scrivere l’equazione diF ;
ii) Scrivere l’equazione dell’iperbole appartenente adF che ha centro nel punto C(3, 1).
[(x−2y−u)(2x+y) +k(x−2y−5u)u=0; k=−7]
18.9 Determinare l’equazione dell’involuzione dei punti reciproci subordina-ta sulla retsubordina-ta x=y dalla conica di equazione x2+2y2=1.
[È la simmetria rispetto al centro, cioè O(0, 0). . . x+x0=0.]
18.10 Scrivere l’equazione della conica che passa per i punti O(0, 0), A(4, 0)e B(0, 2), è tangente alla retta r : 2x−y+2= 0 ed ammette la retta AB come diametro.
[ Le tangenti agli estremi di un diametro sono tra loro parallele. . . r contiene A . . . quindi la tangente in B è . . . x2+y2−4x−2y=0. ]
18.11 Siano:
γ la conica di equazione y2−x2−2y=0; C il centro di γ;
A e B rispettivamente i punti(−1, 0)e(0,−2);
D il punto della retta di equazione y=2 reciproco di A rispetto a γ; p la retta DB;
p0 la retta DC.
Verificare che le rette p e p0sono reciproche rispetto a γ.
[ La polare di A è la retta x=y. . . D(2, 2). . . il diametro coniugato a DC è parallelelo a DB. . . ]
18.12 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ammette l’asse y come polare del punto improprio della bisettrice del I I e IV quadrante e subordina sull’asse x l’involuzione dei punti reciproci di equazione xx0−1=0.
[ Sull’asse x, l’origine è il reciproco di X∞. . . O sta sul diametro x=0 dun-que è il centro. . . gli asintoti sono le bisettrici di ogni coppia di diametri co-niugati. . . la conica passa per(1, 0). . .
y+ (1+√
2)x
y+ (1−√2)x
+
1=0. ]
18.13 Dimostrare che tutte le iperboli equilatere che hanno centro nell’origine e tagliano la retta di equazione y=1 in due punti simmetrici rispetto al punto −4
3, 1
hanno gli stessi asintoti.
[ AO è coniugato all’ax. . . gli asintoti sono le bisettrici di ogno coppia di diametri coniugati. . . . ]
18.14
* Sia γ l’iperbole equilatera che ha centro in C(2, 1), passa per l’origine ed ivi ammette come tangente la retta r di equazione y+2x=0; trovare la retta passante per il punto(−1, 1)che è reciproca dell’asse x rispetto a γ.
[ Basta trovare il polo dell’asse x: esso sarà l’intersezione della polare di O, che è r con quella di X∞Per trovare quest’ultima consideriamo l’in-voluzione dei diametri coniugati: il diametro CO è coniugato a quello in direzione di r dunque ad m = −2 corrisponde m0 = 1
2 e quindi consi-derando l’equazione mm0+α(m+m0) +β = 0 si ottiene la condizione
18.1. centro 157
−1−3
2α+β=0; ora, poiché si tratta di un’iperbole equilatera, gli asintoti, che sono le bistttrici di ogni coppia di diametri coniugati, sono perpen-dicolari e sono le rette unite nell’involuzione dei diametri coniugati e si ottengono quindi dall’equazione m2+2αm+β=0 dunque dalle due re-lazioni ora determinate abbiamo che l’involuzione dei diametri coniugati di γ è mm0−4(m+m0)−3 = 0 la polare di X∞ ha quindi coefficiente angolare che è soluzione dell’equazione 3·0·m0−4(0+m0)−3=0 da cui m0=−3
4. Il polo dell’asse x ha allora coordinate che sono soluzione del sistema y+2x=0 y−1=−3 4(x−2) quindi è P
0(−2, 4); la retta richiesta, che è PP0, ha dunque equazione y=−3x−2. ]
18.15
* Sia γ una conica che ammette come polare dell’origine la retta r di equazione x=1, come involuzione dei punti reciproci su r la simmetria rispetto al punto S(1, 0)e la retta y= −1 come diametro. Determinare gli asintoti della γ.
[ Nell’involuzione dei punti reciproci su r i punti uniti sono S e R∞. . . le tangenti uscenti da O sono quindi l’asse y (che è uno degi asintoti) e l’asse x . . . il centro è C(0,−1)e l’ax è coniugato a CS . . . l’altro asintoto è l’elemento unito nell’involuzione dei diametri coniugati. . . Ha coefficiente angolare m= 1
2. . . . ]
18.16 Rispetto ad un’iperbole equilatera γ, l’involuzione delle rette reciproche uscenti da O(0, 0)ha equazione mm0+m+m0+3=0 e la polare di O è la retta di equazione x =2; scrivere l’equazione della γ e quelle dei suoi assi.
[ Le tangenti uscenti da O sono le rette unite. . . x2−2xy−y2−16x+16=0;
±x+ (√
2±1)y+4√
2=0. ]
18.17 Un’iperbole equilatera γ ammette come polare del punto P(1, 1)la retta p : x = 2 e taglia la p nei punti A(2, 1)3 B(2, 3); scrivere l’equazione della γ e dei suoi assi.
[x2+2xy−y2−6x+5=0; x−3 2 = (−1±√2) x−3 2 ]
18.18 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ammette i punti O ed A(0, 1)come reciproci ed ha per asintoti gli assi dell’ellisse di equazione 2x2−2xy+5y2−4x+2y=0. [(x−1)2−3(x−1)y−y2=5
18.19 Si consideri la conica γ : x2−2xy+2y2−x+2y=0; scrivere l’equazio-ne della parabola avente come asse la retta di equaziol’equazio-ne x+y+2=0 e che subordina sull’asse y la stessa involuzione dei punti reciproci subor-dinata da γ.
[Le intersezioni con l’asse y sono le stesse di γ. . .(x+y)2+−x+9y=0]
18.20 Si consideri la parabolaP di equazione x2+2xy+y2−4x+1 = 0; scrivere l’equazione di una parabola che passa per l’origine ed ha lo stesso asse diP. [L’asse è x+y+1=0. . . ]
18.21 Scrivere l’equazione della conica che passa per l’origine, per A(1, 0)e per B(0, 1), è tangente in B alla retta r : x−2y+2 = 0 ed ha un asse parallelo alla retta di equazione x−3y=0.
Figura 18.2: Esercizio 18.21
[ La polare di(3 : 1 : 0)deve passare per(1 :−3 : 0). . . si ottiene l’equa-zione 2x2+3xy−2y2−2x+2y=0 che rappresenta un’iperbole. (vedi figura 18.2) ]
18.22 Scrivere l’equazione della parabola che ha come asse la retta di equa-zione x+y+1=0 e che subordina sull’asse x l’involuzione dei punti reciproci ω : xx0−1=0
[ La parabola passa per i punti uniti di ω che sono A(−1, 0)e B(1, 0), quindi A è il vertice. Dunque appartiene al fascio(x+y+1)2+λ(x−y−1) =
0. . . ]
18.23 Riconoscere le seguenti coniche e determinarne centro, assi e vertice: 3x2−xy+3y2−6x+y−22=0,
18.2. Triangoli autopolari 159
4x2−10xy+4y2−18=0.
[La prima conica è un’ellisse che ha centro nel punto(1, 0)e come assi le rette y=x−1 e y=1−x; intersecando tali assi con la conica si ottengono le coordinate dei quattro vertici(1±√5,±√5). La seconda è un’iperbole di centro
−169,−209
]
18.24 Nel piano si considerino i punti A(2, 0)e B(−1, 1)e la retta r : x+y=0. Scrivere l’equazione della parabolaK che passa per A di vertice B ed asse r e l’equazione della tangente in A aK
18.25 Si consideri la conica γ di equazione x2+4y2−2x=0. Determinare i diametri della conica che intercettano su di essa segmenti di lunghezza
3
2. [d1≡√7x−2√
5y−√7=0 e d2≡√7x+2√
5y−√7=0]
18.2 Triangoli autopolari
18.26 Si consideri la conica γ di equazione xy−y2−x = 0; verificare che il triangolo avente come vertici i punti A(1, 0), B(0, 1) e C(−1, 0) è autopolare per la γ.
18.27 Determinare i triangoli aventi un vertice nell’origine che sono autopolari rispetto alle coniche γ : x2−xy+2y−1=0 e γ0 : y2−2xy−2y+1=0.
[ La polare dell’origine è, rispetto ad entrambe le coniche, la retta p : y−1=
0,. . . le polari di un punto di p rispetto alle due coniche coincidono solo per i punti(±1, 1),. . . i terzi vertici dei triangoli così ottenuti sono(∓1, 1). ]
18.28 Si consideri il fascioF di coniche aventi come punti base A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0)e D(0,−1).
Verificare che il triangolo avente come lati le bisettrici dei quadranti e la retta impropria è autopolare per tutte le coniche diF .
[ Considerando l’involuzione dei punti reciproci sui due assi otteniamo che il centro è O(0, 0). . . considerando la retta x−y+1=0 si ha che la polare di(1 : 1 : 0)passa per
1 2,12
. . . ]
18.29 Si consideri il fascioF delle circonferenze tangenti alla bisettrice del I e III quadrante nel punto A(1, 1); determinare la circonferenza diF rispetto alla quale è autopolare il triangolo avente per lati la retta y=1 e gli assi coordinati.
[ Il centro sta sulla polare di X∞, cioè l’asse y . . . è C(0, 2). . . x2+ (y−2)2=2 . . . verifica tutte le condizioni richieste. ]
18.30 Siano dati i punti C(1, 1), A(1, 0)e B(0, 1); scrivere l’equazione della conica che ha centro in C ed ammette come autopolare il triangolo OAB.
[2xy−2x−2y+1=0. . . del resto gli asintoti sono x=1 e . . . ]
18.31 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ammette come autopolare il trian-golo di vertici O, A(8, 0)e B(0, 8)e come asintoto la retta di equazione y=3x−16: [15x2−2xy−y2+16x+16y−64=0]
18.32 SiaF la famiglia di circonferenze tangenti alla retta di equazione y−
x−1=0; trovare la circonferenza diF rispetto alla quale è autopolare il triangolo avente per lati le rette x=1, x=0 e y=1.
[ Il centro della circonferenza sta sulla polare di Y∞, che è la retta y=1.
Figura 18.3
La tangenza avviene in A(1, 2), dal momento che il punto di tangenza deve stare sulla polare di(0, 1)(V. Fig. 18.3) che appartiene alla tangente, cioè sulla retta x=1. Il centro si ottiene dunque come intersezione della y=1 e della perpendicolare in A alla y=x+1, cioè la x+y−3=0. Pertantio il centro è C(2, 1)ed il raggio r=CA=√
2 da cui x2+y2−4x−2y−2=0. ]
18.33 Scrivere l’equazione della parabola non degenere che ammette come autopolare il triangolo di vertici O(0, 0), A(2, 0)e B(0, 1)e che ha la
18.2. Triangoli autopolari 161
tangente nel vertice parallela alla retta AB.
[4x2−4xy+y2+4x+8y−4=0]
18.34 Scrivere l’equazione della parabola che ha come asse la retta di equa-zione x−y+1 =0 e rispetto alla qualle il triangolo di vertici O(0, 0), P(5 : 7 : 4) e Q(0 : −2 : 1) è autopolare dopo aver stabilito se le condizioni assegnate sono indipendenti.
[ Le condizioni sono 6, non indipendenti. . . ; la rete(5y+7x)2+αx2+
β(3x−y−2)2 = 0 deve essere del tipo k(x−y)2+· · · = 0. . . β = −5,
α=16. . . 2(x−y)2+6x−2y−2=0. ]
18.35 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ha come asse la retta di equazione 7x−y=0 ed è tangente in A(2, 0)all’asse x.