In questo e nei successivi capitoli, salvo avviso contrario, i parametri ed i coefficienti delle equazioni che compaiono si intendono reali; il sistema di riferimento si intende cartesiano ortogonale e, se non altrementi specificato, lunghezze ed aree si intendono in senso elementare.
11.1 Coordinate cartesiane
11.1 Sia P(−2)trovare una nuova origine in modo che P abbia ascissa 3.
[O0(−5)]
11.2 dati A(a)e B(b)trovare una nuova origine in modo che l’ascissa di A sia tripla di quella di B. [O0
3b−a 2
]
11.3 Dati i punti A(0, 3)e B(5, 0), determinare le coordinate del punto C che divide il segmento AB in modo che sia AC=2BC.
Figura 11.1: Esercizio 11.3
[ Indicate con H e K (vedi Figura 11.1 nella pagina precedente) rispetti-vamente le proiezioni di C sull’asse x e sull’asse y, il teorema di Talete garantisce che se è AC=2BC si ha anche OH=2HB e AC=2OK. Visto che è
0<xC<5 e 0<yC<3,
le relazioni precedenti diventano rispettivamente xC−0 = 2(5−xC) e 3−yC=2(yC−0); da cui C
10 3, 1
. ]
11.4 Trovare le coordinate dei vertici di un rombo che non abbia né i lati né le diagonali paralleli agli assi coordinati.
11.5 Determinare i punti aventi ascisssa ed ordinata opposte e tali che con A(1, 0)e B(−1, 0)formino un triangolo di perimetro 6.
[ ±2 q 3 7,∓2 q 3 7 ]
11.6 Dati A(1, 1) e B(3, 5) trovare i punti C tali che il triangolo ABC sia rettangolo ed isoscele. [C1(0, 4); C2(, 2)]
11.7
* Scrivere l’equazione del cammino di un punto che si muove nel piano in modo tale che il quadrato della sua distanza dal punto A(−3, 4)è uguale al doppio del quadrato della sua distanza dall’asse x.
[(x+3)2+ (y−4)2=2y2. . . x2−y2+6x−8y+25=0]
11.2 La retta, esercizi introduttivi
11.8 Verificare che le equazioni x=t y= 1+t 2 ( x=2t−1 y=t rappresentano la stessa retta.
11.9 Scrivere l’equazione dei punti del piano equidistanti da A(2, 4)e B(4, 6)..
[(x−2)2+ (y−42) = (x−4)2+ (y−6)2. . . x+y−8=0 è l’asse del segmento AB]
11.10 Scrivere l’equazione dei punti P del piano tali che il rapporto tra la distanza tra P e A(1, 0)e tra P e la retta x=9 sia λ = 1
3.
11.11 Sia r la retta di equazione 7x−3y+21 = 0. Dire quali dei seguenti punti appartengono alla r : A(3, 14), B(4, 13), C(−3, 0)e D(0, 7).
11.2. La retta, esercizi introduttivi 105
[Sostituendo le coordinate dei punti nell’equazione della retta si osserva che l’unico che non appartiene a r è B.]
11.12 Scrivere l’equazione della retta parallela all’asse x che passa per il punto
A(−2, 2). [ y=2]
11.13 Scrivere l’equazione della retta parallela all’asse x che passa per il punto
A(3,−4). [ y+4=0]
11.14 Scrivere l’equazione della retta parallela all’asse y passante per il punto
A(−6, 0) [ x+6=0]
11.15 Scrivere l’equazione della retta passante per il punto P(3,−5) perpendi-colare al vettore v = [4, 2]. [2x+y−1=0]
11.16 Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto
P(2, 3) [ 3x−2y=0]
11.17 Calcolare la lunghezza del segmento staccato sugli assi dalla retta 3x+
4y−24=0
[La retta si scrive in forma segmentaria come x 8+y
6 =1 quindi interseca gli assi nei punti A(8, 0)e B(0, 6)la cui distanza è√
64+36=10]
11.18 Sulla retta di equazione 2x+y−6=0 trovare un punto M equidistante dai punti A(3, 5)e B(2, 6) [ M(1, 4)]
11.19 In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale un rettanglo ha i lati lunghi 3 e 4. Scrivere le equazioni di tutti i suoi lati sapendo che è nel III quadrante, che i suoi lati stanno sugli assi coordinati e il lato più corto sta sull’asse y. [ x=0, y=0, x+4=0, y+3=0]
11.20 Scrivere le equazioni dei lati di un quadrato situato nel I quadrante due vertici del quale hanno coordinate A(2, 0)e B(5, 0).
[ y=0, y=3, x=2 e x=5]
11.21 Scrivere in forma segmentaria l’equazione della retta 3x−4y+2=0 [ x −2 3 +y1 2 =1]
11.22 Scrivere l’equazione della retta che taglia l’asse x nel punto A(3, 0)e l’asse y nel punto B(0, 5). [ x
3+y
11.23 Calcolare l’angolo formato dalla retta 3x+2y+6=0 con l’asse x.
[Risolvendo l’equazione rispetto a y si ottiene y=−3
2x−3 da cui tan α=−3
2]
11.24 Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e formante un angolo di π
4 con l’asse x. [ x−y=0]
11.25 Trovare le coordinate di un punto A sapendo che la pendenza della retta passante per l’origine e per A è 34 e la distanza tra l’origine ed il punto A è pari a 10 unità.
[Se la pendenza è34significa cheyx =3
4. La distanza dall’origine èp x2+y2 da cui il sistema y x= 3 4 q x2+y2=10
che ammette le soluzioni x1=6 y1=8 e x2=−6 y2=−8. Quindi ci sono le due soluzioni A1(6, 8)ed A2(−6,−8)]
11.26 Un punto P dista 5 unità dall’origine O(0, 0). La pendenza della retta OP è 34. Determinare le coordinate di P. [ P1= (4, 3), P2(−4,−3)]
11.27 La diagonale di un rettangolo i cui lati giacciono sui semiassi positivi di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale è 20 unità di lunghezza; la pendenza della diagonale è43. Trovare i vertici del rettangolo.
[(0, 0),(12, 0),(0, 16)e(12, 16)]
11.28 Date le rette ax+by+c=0 e 3x−8y+6=0 determinare i coefficienti a e b in modo che esse siano:
i) parallele [a=3k, b=−8k, ∀c, k6=0]
ii) perpendicolari [3a=8b∀c, a6=06=b]
iii) coincidenti [a=3k, b=−8k, c=6k, k6=0]
11.29 Scrivere l’equazione della retta parallela alla r : 5x−4y+1 = 0 e passante per il punto comune a s1 : x+2y+3=0 e s2: 2x−3y+2=0
[ La retta cercata è un elemento del fascio individuato da s1ed s2che ha equazione:
F : k(x+2y+3) +2x−3y+2=0
e che si può scrivere come(k+2)x+ (2k−3)y+3k+2=0; basterà allora trovare la retta diF che ha lo stesso coefficiente angolare di r cioè5
4. Dovrà essere−k+2
2k+3 =5
4, cioè k= 1
2; sostituendo questo valore nell’equazione del fascio si ottiene 5x−4y+7=0.
Si poteva anche, considerando l’equazione generale della retta, scrivere
11.2. La retta, esercizi introduttivi 107
Un terzo modo di procedere è quello di partire dal fascio improprio delle rette parallele ad r, che ha equazione 5x−4y+k=0; occorre, in questo caso, cercare l’equazione dell’ elemento del fascio la cui equazione, con quelle di s1ed s2costituisce un sistema lineare di 3 equazioni in 2 incognite avente esattamente una soluzione. Il sistema in questione è:
5x−4y=−k x+2y=−3 2x−3y−2 la sua matrice dei coefficienti è A=
51 −42
2 −3
che ha rango 2. Per avere una ed una sola soluzione occorre e basta che la matrice completa abbia rango due, quindi dovrà essere
5 −4 −k 1 2 −3 2 −3 −2 =0 e cioè k=7. ]
11.30 Trovare il punto P di intersezione delle rette 3x−4y+11= 0 e 4x−
y−7=0.
[Le coordinate di P sono soluzione del sistema (
x−4y+11=0
4x−y−7=0da cui P(3, 5).]
11.31 I lati di un triangolo sono le rette rispettivamente di equazioni x+3y−
3=0, 3x−11y−29=0 e 3x−y+11=0. Trovarne i vertici.
[Intersecando il ati a due a due si hanno tre sistemi lineari, risolvendo i quali si ottiene A(6,−1), b(−5,−4)e C(−3, 2).]
11.32 Scrivere l’equazione della retta passante per il punto di intersezione delle rette x+11y−27 = 04 e 6x−7y−16 = 0 e perpendicolare al vettore~v= [4,−3].
[ Il punto comune è P(5, 2)e dunque la retta cercata è: 4x−3y−14=0]
11.33 Determinare l’angolo acuto tra le rette y =5x e y=2x
[Ricordando che tan α=
1m+2−m1mm12 si ha tan α= 12+−25·5 =113]
11.34 Scrivere l’equazione della retta passante per il punto P(−2, 4)e parallela alla retta di equazione 2x−3y+6=0.
[La retta cercata sarà del tipo 2x−3y+q = 0. Il coefficiente q si può determinare imponendo il passaggio per P, cioè deve valere la relazione
(−2)·2+4· (−3) +q= 0 che diventa−12−4+q =0 da cui q=16 e quindi l’equazione cercata è: 2x−3y+16.]
11.35 Stabilire quali tra le seguenti coppie di equazioni rappresentano rette parallele: i) 2x−3y+4=0 e 10x−15y+7=0; ii) 25x−20y−8=0 e 5x+4y+4=0; iii) y=−2x+8 e y= −2x+1; iv) y=3x+4 e y=−6x−8. [ i)e iii)]
11.36 Per quali valori del parametro a sono parallele le rette di equazioni x−1 2 = y+4 5 e x+6 4 = y+2 a ? [ a=10]
11.37 Scrivere l’equazione della retta passante per il punto M(2, 3)e perpen-dicolare alla retta r di equazione 5x−4y−20=0.
[Ogni retta perpendicolare alla r ha equazione ax+by+c=0 con 5a−
4b = 0. Allora a = 4 b = 5, imponendo il passaggio per M si ottiene 4x+5y−23=0.]
11.38 Trovare la distanza del punto P(6, 8)dalla retta 4x+3y+2=0.
[ Si ha: d= |4·6√+3·8+2|
42+32 =10]
11.39 Trovare la distanza tra le rette parallele r : 4x+3y−8 = 0 ed s : 4x+3y−33=0.
[Scegliamo un punto “comodo” su una delle due, per esempio r. Sia A(2, 0). La distanza delle due rette sarà allora la distanza di A da s. Dunque d= |4·2√+3·0−33|
42+32 =10 ]
11.40 Stabilire quali delle seguenti coppie di rette sono perpendicolari: i) 3x−4y+12=0 e 4x+3y−5=0; ii) 4x+5y−8=0 e 3x−2y+4; iii) x+x1 2 = y−y1 3 e x−x2 3 = y−y2 −2 ; iv) x+x1 5 = y−y1 −4 e x−x2 4 = y−y2 5 .
11.3. Esercizi vari sulla retta 109
[ i), iii)iv)]
11.41 Per quali valori del parametro k sono perpendicolari le rette: y =5x−4
e y =kx−2? [ k=−15]
11.42 Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e perpendicolare alla retta che taglia l’asse x nel punto A(2, 0)e l’asse y nel punto(0,−6).
[ 2x+6y=0]
11.43
* Scrivere l’equazione dell’asse del segmento di estremi A(1, 2)e B(−1, 0).
[Ci sono vari modi per svolgere questo esercizio, che tengono conto delle possibili definizioni equivalenti di asse di un segmento:
i) L’asse del segmento è la perpendicolare alla retta AB, di equazione x−y+1=0, nel punto medio M(0, 1), quindi ha equazione x+y−
1=0.
ii) L’asse di un segmento è anche il luogo dei punti equidistanti dagli estremi, quindi se P(x, y)è un punto generico dell’asse si dovrà avere
(x−1)2+ (y−2)2= (x+1)2+y2che diventa−2x+1−4y+4=
2x+1 che è appunto l’equazione x+y+1=0 e si perviene, ovviamente, allo stesso risultato ]
OSSERVAZIONE 11.1. Osserviamo esplicitamente che, quando un esercizio si può svolgere in più modi significativamente diversi, ciascuno di essi fornisce un metodo di verifica dello svolgimento dell’altro.
11.3 Esercizi vari sulla retta
11.44 Per quale valore della pendenza m la retta y=mx+9 passa per il punto P di intersezione delle rette x−y+5=0 e x−2y+2=0.
[ P(−8,−3)m= 3
2]
11.45 Una retta r passa per il punto M(2, 5)e forma, con l’asse x, un angolo α tale che arctan α=3. Trovare il punto P ∈r di ascissa−2.
[ La retta ha equazione y=3x−1 il punto ha coordinate(−2,−7)]
11.46 Sulla retta r di equazione 2x+3y−18 = 0, trovare il punto P la cui distanza dall’asse y è tre volte quella dall’asse x.
[Le coordinate del punto soddisfano il sistema (
2x+3y−18=0
x=3ye quin-di P(6, 2).]
i) l’equazione del lato AB;
ii) l’equazione della mediana relativa al vertice A; iii) l’equazione dell’altezza relativa al vertice C iv) le coordinate dell’ortocentro
[i)−2x+3y−4=0, ii)−3x+11y+7=0 iii)−3x+2y+7=0 iv)(5,−4)]
11.48 In un parallelogrammo le equazioni dei lati uscenti da un vertice A sono rispettivamente 5x−3y+28=0 e x−3y−4=0 mentre le coordinate del vertice opposto ad A sono(10, 6). Scrivere le equazioni degli altri due lati e delle diagonali del parallelogrammo.
[Lati: 5x−3y−32, x−3y+8=0; diagonali: 5x−9y+4=0 e y=1 ]
11.49 Discutere e, quando possibile, risolvere i seguenti sistemi, fornendo un’interpretazione geometrica dei risultati ottenuti
x+hy=1 x−2y=h 2(h+1)x+hy=h+2 2x+ (k−4) =1 kx−6y=k+1 −2x+ (2k+1)y=k−2 [ Primo sistema:
h6=0 impossibile: le tre rette non hanno punti in comune.
h=0 esiste una ed una sola soluzione: le rette hanno un punto in comune. Secondo sistema:
h6= 9
2, 1 impossibile: le rette non passano per uno stesso punto; h=9
2 esiste una ed una sola soluzione: le tre rette sono distinte ma appartengono allo stesso fascio.
h=1 ∞1soluzioni: le tre rette coincidono. ]
11.50 Si considerino le rette:
r1 :x+ (h−2)y=3+4h r2 :x=1+2h
r3 :x+y=h−h2
Stabilire se esistono valori del parametro h in corrispondenza dei quali essi appartengono ad un medesimo fascio.
[Il sistema formato dalle tre equazioni deve ammettere una ed una sola soluzione. . . h=2.]