La scrittura< ~v1, . . . ,~vn>indica lo spazio vettoriale generato dai vettori~v1, . . . ,~vn cioè l’insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di questi vettori. Indicheremo da qui in avanti conPn(x)lo spazio vettoriale dei polinomi di grado non maggiore di n nella variabile x, e conMm,n(K)quello delle matrici di tipo n×m sul campo
K; dove non esplicitamente precisato si sottintende K=R.
4.1 Sottospazi e basi
4.1 Fornire esempi di leggi di composizione in insiemi numerici che non corrispondano ad operazioni dell’aritmetica elementare.
4.2 Fornire esempi di insiemi non chiusi rispetto ad opportune leggi di composizione.
4.3 Scrivere due differenti combinazioni lineari dei vettori
~v= 1 0 −1 ~ w= −1 0 2 ~u= 0 2 1 ~z= 0 0 3
4.4 Scrivere 3 vettori diR4linearmente indipendenti
4.5 Scrivere tre vettori diR4linearmente dipendenti ma non proporzionali a due a due.
4.6 Riferendosi ai vettori dell’esercizio 4.3 dire:
i) se sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti
[4 vettori inR3sono sempre dipendenti]
ii) dire se~v,~w e~u sono linearmente indipendenti [Si]
iii) dire se~v,~w e~z sono linearmente dipendenti o indipendenti. 25
[Da a[1, 0,−1] +b[−1, 0, 2] +c[0, 0, 3] = 0si ottiene a = b = −3c e quindi~v,~w e~z sono linearmente dipendenti perché esiste una loro combinazione lineare, ad esempio 3~v+3~w−~z, che coincide con il vettore nullo senza che siano nulli tutti i coefficienti.]
4.7 Dati i seguenti 4 vettori diR3:~e1= [1, 0, 0],e~2 = [0, 1, 0],~u= [3, 4, 2]e
~v= [2, 5, 0], quale bisogna eliminare tra~u e~v in modo che i rimanenti 3 formino una base. [~v=2~e1+5~e2. . . ]
4.8 Trovare una base{~e1,~e2}diR2tale che
[1, 0] = ~e1+ ~e2 [0, 1] = ~e1− ~e2. [~e1=h 1 2,12i ,~e2=h 1 2,−1 2 i ] 4.9 Sia V=R2
+l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali strettamente positivi. Definiamo in V le seguenti operazioni come somma e prodotto per uno scalare:
[a, b]⊕ [c, d] = [ac, bd] e α⊗ [a, b] = [aα, bα]
Verificare che:
i) Rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto per uno scalare V non è uno spazio vettoriale.
ii) Rispetto a queste operazioni, V è uno spazio vettoriale su R e
determinare il vettore nullo e l’opposto del vettore[a, b].
[. . . 0= [1, 1],−[a, b] =h 1 a,1bi
; . . . ]
4.10 Sia V uno spazio vettoriale sul campoK e rispettivamente~v e~w due vettori di V e λ e µ due scalari diK; dimostrare che
i) λ~v=λ~w, λ6=0 =⇒ ~v= ~w ii) λ~v=µ~v,~v6=0 =⇒ λ=µ 4.11
* Verificare che l’insieme V ≡ a 2b 3b a : a, b∈R
è un sottospazio dello spazio vettorialeM2 delle matrici quadrate di ordine 2.
4.1. Sottospazi e basi 27
[ Dobbiamo controllare che l’operazione di combinazione lineare sia interna adV . Consideriamo due matrici generiche di I A1 =
a1 2b1 3b1 a1 ed A2= a2 2b2 3b2 a2
e due scalari λ1e λ2; si ha:
λ1A1+λ2A2= = λ1a1+λ2a2 λ1·2b2+λ2·2b2 λ1·3b1+λ2·3b2 λ1a1+λ2a = = λ1a1+λ2a2 2(λ1b1+λ2b2) 3(λ1b1+λ2b2) λ1a1+λ2a2 = = α 2β 3β α ∈V con α=λ1a1+λ2a2e β=λ1b1+λ2b2. ]
4.12 Stabilire se l’insieme R2 delle coppie ordinate di numeri reali è uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni
i) [x, y] + [x0, y0] = [x+x0, y+y0] e α[x, y] = [1, αy]. [No]
ii) [x, y] + [x0, y0] = [xy0.yx0] e α[x, y] = [xα, yα] [Sì]
4.13 Stabilire se l’insiemeR3delle terne ordinate di numeri reali è uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni
i) [x, y, z] + [x0, y0, z0] = [x0, y0, z+z0]e α[x, y, z] = [αx, αy, αz]. ii) [x, y, z] + [x0, y0, z0] = [x0+y0, y0, z+z0]e α[x, y, z] = [αx, y, z]
4.14 Sia R il campo reale e V l’insieme di tutte le funzioni che assumono
valore positivo sull’intervallo[a, b]. Definiamo la somma di due funzioni e la moltiplicazione di una funzione per uno scalare con le seguenti uguaglianze:
f⊕g= f g; α f = fα f , g∈V α∈R.
Verificare se, con le operazioni indicate, V è uno spazio vettoriale suR.
4.15
* Verificare che le progressioni aritmetiche reali, rispetto alla somma ter-mine a terter-mine ed al prodotto per uno scalare definiti in modo naturale, formano uno spazio vettoriale suR.
4.16
* Verificare che l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo di p equazioni in q incognite, rispetto alle usuali operazioni forma uno spazio vettoriale sul campo a cui appartengono i coefficienti.
4.17 Sia W l’insieme{~v1,~v2,~v3,~v4}dove
~v1 = [1, 2, 1] ~v2 = [2, 1, 2] ~v3 = [0, 0, 1] ~v4 = [1, 0, 0]
i) verificare che sono linearmente dipendenti e per ciascuno di essi trovare la combinazione lineare degli altri tre da cui è formato.
[ Ad esempio v1=2v2−3v3−3v4]
ii) elencare tutti i sottoinsiemi di W linearmente indipendenti.
4.18 Delle seguenti terne di vettori diR3, dire quali sono linearmente dipen-denti e quali linearmente indipendipen-denti.
i) ~v1 = [2, 1, 0],~v2= [0,−1, 1]e~v3 = [1, 1, 0]
ii) ~v1 = [1, 1, 1],~v2= [−2,−2,−2]e~v3 = [0, 1, 1]
iii) ~v1 = [0, 1, 0],~v2= [1,−1, 2]e~v3 = [2, 1, 3]
[ Gli unici linearmente dipendenti sono quelli della terna ii).]
4.19 Trovare due sottoinsiemi diR2, uno dei quali sia chiuso rispetto alla somma ma non rispetto al prodotto per uno scalare e l’altro, viceversa, sia chiuso rispetto al prodotto per uno scalare ma non rispetto alla somma.
[Ad esempio[a, b]con a e b interi pari suR è chiuso rispetto alla somma
ma non rispetto al prodotto per uno scalare. . . ]
4.20 Verificare che l’insieme delle matrici quadrate di ordine fissato è uno spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni di somma tra matrici e di prodotto di una matrice per uno scalare.
4.21 Mostrare che l’intersezione insiemistica V =W∩U di due spazi vetto-riali è uno spazio vettoriale.
4.22 Verificare, su esempi, che invece l’unione V=W∪U non è, in generale, uno spazio vettoriale.
4.23 Scrivere 3 basi perR3.
4.24 Trovare 2 basi per lo spazio vettoriale M2 delle matrici quadrate di ordine 2 .
4.25 Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio diM2e determinarne una base.
4.26 Dei seguenti sottoinsiemi diR3, stabilire quali sono sottospazi rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto per uno scalare:
i) S1= {[x, y, z]|x+2y+2z=0}; ii) S2= {[x, y, z]|x= y, z=2};
4.1. Sottospazi e basi 29 iii) S3={[x, y, z]|x=2y, z=0}; iv) S4={[x, y, z]|x2+y2+z2 =1}; v) S5={[x, y, z]|x2+y =0}; vi) S6= [x, y, z]|xy =1, y6=0 .
[i); iii); v) e vi).]
4.27 Per ciascuno dei seguenti insiemi di vettori stabilire se si tratta di un sottospazio di un appropriato spazio vettoriale.
i) Tutti i vettori diRnle cui componenti sono numeri interi.
ii) Tutti i vettori del piano ciascuno dei quali giace su uno degli assi coordinati.
iii) Tutti i vettori del piano il cui secondo estremo giace su una data retta (considerando come primo estremo l’origine).
iv) Tutti i vettori del piano i cui estremi giacciono su una data retta. v) Tutti i vettori dello spazio i cui secondi estremi non giacciono su
una data retta.
vi) Tutti i vettori del piano i cui secondi estremi giacciono nel primo quadrante.
vii) Tutti i vettori diRnle cui componenti xisono tali che
n
∑
1
xi =0.
viii) Tutti i vettori diRnle cui componenti xisono tali che
n
∑
1
xi =1. ix) Tutti i vettori che si ottengono come combinazioni lineari dei vettori
v1, v2, . . . , vkinRn.
4.28 InR3sono dati i seguenti insiemi di vettori: i) S1={[1, 1, 1],[0, 1, 1],[1, 0, 0]};
ii) S2={[2, 1, 0],[0, 1, 0],[−1, 0, 1]};
iii) S3={[1, 1, 2],[−1, 0,−1],[0, 1, 0],[0, 0, 1]}.
Stabilire, per ciascuno di essi, se costituiscono un sistema di generatori e, in particolare, se sono delle basi perR3.
[ S1ed S2sono delle basi, S3è un sistema di generatori.]
4.29 Nello spazio vettorialeR3si consideri la base canonica B={~e1= [1, 0, 0],~e2 = [0, 1, 0],~e3= [0, 0, 1]}
i) W1generato da{~e1+2~e3,~e3,~e1+~e3}, ii) W2generato da{~e1,~e1−~e2,~e1+~e3},
iii) W3generato da{~e2, 2~e2,~e1−e3,~e1+2~e2−~e3}.
Per ciascuno di essi determinare una base e la dimensione.
[W1=< [1, 0, 2],[0, 0, 1],[1, 0, 1] >quindi dimW1=3; W2=< [1, 0, 0][1,−1, 0],[1, 0, 1] >quindi dimW2=3; W3=< [0, 1, 0],[1, 0,−1] >quindi dimW3=2.]
4.30
* Determinare una base e la dimensione del sottospazio V diR4formato dai vettori del tipo[a, a+b, b−a, b]e del sottospazio U diR3costituito da vettori del tipo[a+c, b−a, b+c].
[Sia~v il generico vettore di V, si ha:
~v= [a, a+b, b−a, b] =a[1, 1,−1, 0] +b[0, 1, 1, 1]
questo significa che i vettori~v1 = [1, 1,−1, 0]e~v2 = [0, 1, 1, 1]sono un sistema di generatori per V; non essendo proporzionali sono indipendenti, quindi formano una base per V, che ha dunque dimensione 2.
Analogamente sia~u= [a+c, b−a, b+c]il generico vettore di U sarà:
~
u=a[1,−1, 0] +b[0, 1, 1] +c[1, 0, 1]
cioè i tre vettori~u1 = [1,−1, 0],~u2 = [0, 1, 1]e~u3 = [1, 0, 1] costituisco-no un sistema di generatori. Si osserva però che costituisco-non socostituisco-no linearmente indipendenti perché~u3 = ~u1+ ~u2quindi non formano una base per U. Una qualsiasi coppia di questi tre vettori forma un insieme indipendente e quindi una base, da cui dimU=2.]
OSSERVAZIONE 4.1. La traccia di soluzione della seconda parte di questo esercizio mette in luce come non sempre la dimensione di un sottospazio coincide con il numero dei parametri presenti nell’espressione del generico vettore. La traccia di soluzione della seconda parte di questo esercizio mette in luce come non sempre la dimensione di un sottospazio coincide con il numero dei parametri presenti nell’espressione del generico vettore. 4.31
* In V=P3(x)si considerino i sottoinsiemi
S ≡ {p(x)∈V|p(0) =1 e p(1) =0}
e
T = {p(x)∈V|p(0) =p(1) =0}.
Stabilire se rispetto alle usuali operazioni di somma e di prodotto per uno scalare nello spazio dei polinomiS e T sono sottospazi e, qualora lo siano, determinare una base per ciascuno di essi.
4.1. Sottospazi e basi 31
[S è l’insieme dei polinomi p(x) = ax3+bx2+cx+d per cui p(0) =1 e p(1) =0, quindi, dato che p(0) =d e p(1) =a+b+c+d il generico polinomio diS è del tipo ax3+bx2− (a+b+1)x+1; si vede subito che S non è chiuso né rispetto alla somma né rispetto al prodotto per uno scalare infatti, per esempio, x+1∈S ma il suo prodotto 2(x+1) =2x+2 non vi appartiene, in quanto il termine noto è diverso da 1.
Il generico vettore diT è il polinomio ax3+bx2− (a+b)x; valutiamo seT è chiuso rispetto alle operazioni definite in V: per la somma consideriamo due generici elementi diT , ax3+bx2− (a+b)x e a0x3+b0x2− (a0+b0)x sommandoli si ottiene(a+a0)x3+ (b+b0)x2− [(a+a0) + (b+b0)]x che è ancora un elemento diT , inoltre α[x3+bx2− (a+b)] =αax3+αbx2− (αa+αb)x che a sua volta è elemento diT , il quale, quindi è sottospazio di V. Osservando che ax3+bx2− (a+b)x=a(x3−x) +b(x2−x)possiamo affermare che i polinomi x3−x e x2−x generanoT ; essendo poi essi linearmente indipendenti, infatti sono di gradi diversi, formano una base perT quindi possiamo concludere che T ha dimensione 2.]
4.32 Sia Vc={p∈ P7(x)|p(1) =c}. Determinare per quali valori di c∈ R
Vcè sottospazio diP7(x). [ c=0]
4.33 Si considerino i polinomi p1(x) =3, p2(x) = 2+x3, p3(x) = x−x2−
4x3, p4(x) =x2−x3e p5(x) =x+2x2. Dall’insieme{p1, p2, p3, p4, p5}
estrarre, se possibile, una base perP3(x).
[dim(P3(x)) =4, basta estrarre quattro polinomi indipendenti, per esem-pio p1, p2, p3, p4]
4.34 Se{~e1,~e2,~e3}è una base diR3si considerino gli insiemiB1 ={~e1,~e1+ ~e2,~e1+~e3}eB2 ={~e1+~e2,~e1+2~e2+~e3, 2~e1+3~e2+~e3}; dimostrare che
B1è una base diR3, mentreB2non lo è.
[ I vettori diB2non sono indipendenti, infatti. . . ]
4.35 Trovare le componenti del vettore~v=2~e1+~e2+7~e3rispetto alla base B1dell’esercizio 4.34 [[−5, 1, 7]]
4.36 Mostrare che l’insieme{[a, c],[b, d]}è una base diR2se e solo se ad−
bc6=0.
4.37 Per quali valori del parametro t l’insiemeB={[2, t],[t, 2]}è una base
diR2? [∀t6= ±2]
4.38 Si considerino i polinomi p1 = t+1, p2 = t2+2t+1 e p3 = t2−t. Dimostrare che{p1, p2, p3}è una base diP2(t)e trovare le componenti di q1 =t2−t−2 e q2 =t2+3 rispetto a questa base.
[p1, p2, p3sono linearmente indipendenti, infatti α(1+t) +β(t2+2t+1) +
γ(t2−t) =0⇒ (β+γ)t2+ (α+2β−γ)t+α+β=0. . . si perviene ad un sistema lineare omogeneo che ha solo la soluzione banale. . . q1=−3p1+p2; q2=4p1−p2+2p3]
4.39
* Siano, in V = P2(t), p1(t) = t2−2t , p2(t) = 1+2t, p3(t) = 2−t2, q1(t) = −1+t, q2(t) = −1+t−t2, q3(t) = 2t+2t2. Dimostrare che B = {p1, p2, p3} e C = {q1, q2, q3} sono due basi di V. Trovare la matrice di passaggio daB a C .
[
i) Scriviamo ciascun vettore diB come combinazione lineare dei vettori diC , in seguito costruiremo la matrice che ha per righe i coefficienti di tali combinazioni1. . .
p1 = 3q1−3q2−q3 p2 = −4q1+3q2+3
2q3 p3 = −5q1+3q2+q3 da cui la matrice richiesta
3 −3 −1 −4 3 3 2 −5 3 1 ;
ii) Ricorrendo alle basi canoniche, moltiplichiamo la matrice H di pas-saggio dalla baseB a quella canonica per la matrice che trasforma la base canonica inC ovvero la matrice inversa (Si veda capitolo 6) della matrice K di passaggio dalla baseC a quella canonica. Poiché le coordinate di un vettore rispetto alle basi canoniche coincidono proprio con le sue componenti, è semplice costruire queste matrici:
H= 01 −22 10 2 0 −1 , K= −−11 11 −01 0 2 2 ,
calcolando poi HK−1si perviene al risultato precedente. ]
4.40 Siano~v1 = [0, 2, 0], ~v2 = [1,−1, 0] e~v3 = [3, 1, 5]. Dimostrare che B={~v1,~v2,~v3}è una base diR3e trovare la matrice del cambiamento di base dalla baseB alla base canonica.
[~v1,~v2e~v3sono indipendenti. . . 01 −21 00 3 1 5 .]
1Qualora non sia semplice trovare tale combinazione, basta risolvere il sistema di tre equazioni nelle tre incognite a, b e c che si ottiene uguagliando, componente per componente, i vettori p e aq1+bq2+cq3.
4.1. Sottospazi e basi 33
4.41 Trovare la matrice di passaggio dalla base{1−α, x−α,(x−α)2, . . . ,(x−
α)n}alla base{1, x, x2, . . . , xn}nello spazio vettoriale dei polinomi di grado non maggiore di n.
4.42 Come varia la matrice di passaggio da una base ad un’altra i) se si scambiano due vettori della prima base
ii) se si scambiano due vettori della seconda base
iii) se in entrambe le basi i vettori sono dati in ordine inverso 4.43 Data la matrice A= 1 2 −2 −4 si consideri l’insieme W = {X∈M2(R)|AX =0}.
Dimostrare che W è sottospazio diM2(R), calcolarne la dimensione e determinarne una base. [ dimW=2. . . ]
4.44 Sia V =Mn,mlo spazio vettoriale delle matrici di tipo(n, m). Indichiamo con Eij la matrice di V che ha l’elemento di posto i, j uguale a 1 e tutti gli altri elementi nulli. Dimostrare che{E11. . . Enm}è una base di V e che la dimensione di V è m·n.
4.45 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e sia{~v1, . . . ,~vn}un sistema di n generatori di V. Dimostrare che esso è una base.
[ Occorre e basta mostrare che sono indipendenti...]
4.46
* Siano V e W due sottospazi di uno stesso spazio vettoriale; dimostrare che
i) V∪W ⊆V+W;
ii) V+W è il più piccolo sottospazio contenente V∪W.
[i) Sia~u∈V∪W, ciò significa che~u∈V oppure~u∈W, in entrambi i casi
~
u si può esprimere come elemento di V+W, come~u = ~u+0Wse~u ∈V oppure come~u= ~u+0Vse u∈W.
ii) Supponiamo che esista un sottospazio V0contenente l’unione V∪W, dimostriamo che esso contiene necessariamente anche la somma, cioè che V+W⊆V0: sia~u∈V+W cioè~u= ~v+ ~w con~v∈V e~w∈W;~v e~w sono anche elementi di V∪W e quindi di V0dato che V∪W⊆V0; poiché V0è uno spazio vettoriale, contiene, oltre a~v e~w, anche la loro somma~v+ ~w, cioè~u.]
4.47 Siano U e W due sottospazi dello spazio vettoriale V tali che V=U+W. Indichiamo con B e C , rispettivamente una base di U ed una di W. Mostrare che se la somma è diretta, cioè se U∩W ={0}alloraB∪C è una base di V, e trovare un esempio per cui U∩W 6= {0}eB∪C non è una base di V.
4.48 Indichiamo conSneS0
nrispettivamente l’insieme delle matrici simme-triche ed emisimmesimme-triche di ordine n. Dimostrare che sono entrambi sottospazi diMne calcolarne le rispettive dimensioni.
[Basta verificare la chiusura rispetto alle combinazioni lineari. . . le dimen-sioni sono rispettivamenten(n+1)
2 e
n(n−1)
2 ]
4.49 Dimostrare cheMn = Sn⊕S0
ndoveMn, Sn,S0
n sono quelli definiti nell’esercizio 4.48.
4.50 Dimostra che se P(t) è l’insieme di tutti i polinomi in una variabile (quindi se non si precisa il grado) non esiste un sistema di generatori finito.
4.2 Quesiti
Q.4.1 I vettori[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]e[10, 11, 12]sono linearmente
indipen-denti. 2 vero 2 falso
Q.4.2 Se B = {~u,~v,~w} è una base per lo spazio vettoriale V, alloraB0 = {~u, 3~v, 3~v+ ~w}è un’altra base per V. 2 vero 2 falso Q.4.3 Il sottospazio vettoriale generato da tre vettori linearmente indipendenti
~u,~v,w è uguale al sottospazio generato da~ ~u− ~v,~v− ~w,~w− ~u.
2 vero 2 falso Q.4.4 Il sottospazio vettoriale generato da tre vettori linearmente indipendenti
~u,~v,w è uguale al sottospazio generato da~ ~u+ ~v,~v+ ~w,~w+ ~u.
2 vero 2 falso Q.4.5 Nello spazio vettoriale delle funzioni continue suR la dimensione del
sottospazio generato da{1, cos2x, sin2x}è: a 0; b 1; c 2; d 3. Q.4.6 I vettori[1, 2, 1], [2, a, a+1], [a, 0, 1]sono lineramente indipendenti per
a infiniti valori di a ma non tutti b a6=1 e a6= −4 c ogni valore di a d a=1.
4.2. Quesiti 35
Q.4.7 La dimensione dello spazio vettoriale intersezione tra quello delle matri-ci triangolari alte e quello delle matrimatri-ci triangolari basse è: a 2n;
b n2 c 0 d n.
Q.4.8 Dire quali delle seguenti implicazioni sono vere, dove V è uno spazio vettoriale e~u,~v,w sono vettori di V.~
a {~u,~v,w~}generano V ⇒ {~u,~v} generano V b {~u,~v,~w} sono li-nearmente indipendenti⇒ {~u,~v}sono linearmente indipendenti c
{~u,~v}generano V ⇒ {~u,~v,w~}generano V d {~u,~v,w~}sono linear-mente dipendenti⇒almeno due tra i vettori~u,~v,w sono linearmente~
dipendenti.
Q.4.9 In uno spazio vettoriale V di dimensione n a n+1 vettori sono sem-pre linearmente dipendenti; b n−1 vettori sono sempre linearmente indipendenti; c se n vettori qualsiasi sono linearmente indipendenti, allora essi formano una base; d esistono n−1 vettori che generano V.
Q.4.10 Siano U e W due sottospazi di un medesimo spazio vettoriale V. Quale o quali dei seguenti non è , in generale, sottospazio di V? a U∪W;
b U∩W; c U+W; d (U+W)∪ (U∩W).
Q.4.11 Siano U e V due sottospazi diRn. Indicare le proprietˇere: a dim(U+
V) ≥ dimU+dimV b dim(U∩V) < dimU; c se U∩V = {0}
allora dim(U+V) =dimU+dimV d se U+V =Rnallora U∩V= {0}.
Q.4.12 Sia W il sottospazio diR4generato dai vettori
~
w1 = [0, k, k, 1]e~w2= [1, k, k, 0].
Allora a dimW =1 se k =1; b dimW =0 se e solo se k= 0; c dimW>0 se e solo se k6=0; d dimW =2∀k.
Q.4.13 Sia{~v1,~v2,~v3,~v4}una base dello spazio vettoriale V e si considerino i vettori:
~u1 = ~v1− ~v2
~u2 = ~v1− ~v3
~u1 = ~v1+ ~v3.
Indicare le proprietà vere a ~u1,~u2,~u3sono linearmente indipendenti; b ~u1,~u2,~u3 generano un sottospazio di dimensione 2; c ~u1,~u2,~u3 generano un sottospazio di dimensione 3 d {~u1,~u2,~u3}formano una base per V.