21.1 Sfera
21.1 Determinare centro e raggio della sfera di equazione x2+y2+z2−2x+2y−6z−14=0.
[(1,−1, 3); 5]
21.2 Scrivere l’equazione della sfera che ha centro nell’origine e passa per il punto P(1,−1−0). [ la sfera avrà raggio OP=√
2. . . ]
21.3 Scrivere l’equazione della sfera che ha centro in C(0, 1, 1)ed è tangente al piano di equazione x+y+z+1=0.
[Il raggio è la distanza di C dal piano dato, cioè√
3 da cui x2+ (y−1)2+ (z−1)2=3. . . ]
21.4 Scrivere l’equazione dei piani tangenti alla sfera di equazione x2+y2+
z2+2x+4y+2z+5=0 e paralleli al piano di equazione x+2y+2z=
2.
[Il centro della sfera è il punto C(−1,−2,−1), la lunghezza del suo raggio è 1. . . tra i piani di equazione x+2y+2z+d=0 (cioè quelli paralleli al piano dato) dobbiamo scegliere quelli a distanza 1 da C. . . si ottiene d=4 e d=10]
21.5 Trovare per quali valori del parametro reale k il piano di equazione x−2y+3z−k = 0 è tangente alla sfera di equazione x2+y2+z2−
4y+6z−8=0. [ k=±7√
6−13]
21.6 Sia π un piano che passa per il punto P( (0, 0, 2), che è parallelo alla retta x−y+z−1=0
2x+y+2z=0 e tangente alla sfera x
2+y2+z2−1=0. Scrivere l’equazione di π. [ I piani sono due, di equazione x±√2y+z=2]
21.7
* Scrivere l’equazione della sfera che passa per i punti A(1, 0, 0), B(1, 1, 0), C(1, 0,−2)e per l’origine O(0, 0, 0).
[È un classico esempio di esercizio che si può svolgere in diversi modi: ad esempio, partendo dall’equazione della generica sfera nello spazio:
x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0 (21.1) ed imponendo il passaggio per i quattro punti, si ottiene un sistema lineare di quattro equazioni nelle quattro incognite a, b, c e d. Tale sistema, siccome i punti non sono complanari, ammette una ed una sola soluzione (dimo-strarlo per esercizio): soluzione che costituisce l’opportuna quaterna che sostituita nella (21.1) dł’equazione della sfera cercata.
Oppure si può cercare il centro, che sarà l’intersezione dei piani assiali di AO, di BO e di CO: i tre piani, siccome i punti non sono complanari, si incontrano in un unico punto P (dimostrarlo per esercizio) che è proprio il centro della sfera. Il raggio sarà la distanza di P da uno qualsiasi dei quattro punti (il più comodo in questo caso è ovviamente O).
Si può anche considerare il fascio di sfere che passa per tre dei quattro punti, ad esempio O A e B, la cui equazione sarà la combinazione lineare dell’equazione del piano OAB (z=0) che rappresenta la sfera di raggio massimo, e di una qualsiasi sfera passante per i tre punti, ad esempio quella che ha centro sul piano xy è x2+y2+z2−x−y= 0 e poi tra le sfere del fascio, scegliere quella che passa per il punto C: si ha quindi x2+y2+z2−x−y+λz =0. L’equazione dev’essere soddisfatta dalle coordinate di C e quindi si ottiene λ=2 ]
21.8 Data la sferaΓ : x2+y2+z2−2x+3y−z−3=0, scrivere l’equazione del piano tangente aΓ in A(1, 1, 1).
[Il centro è C 1,−3
2,12
. . . il piano sarà quello per A ortogonale alla retta CA. . . 5(y−1) +z−1=0 . . . ]
21.9 Scrivere l’equazione della sfera tangente nell’origine O(0, 0, 0)al piano di equazione x+y+2z =0 che ha raggio r=√
6 e centro di coordinate positive.
[Il centro ha coordinate(t, t, 2t)e dista√
6 dal piano dato. . . x2+y2+z2−
21.1. Sfera 183
21.10 Scrivere le equazioni delle due sfereS1eS2di raggio 2 che hanno il centro sulla retta
x=2t−1 y=−t z=t
e sono tangenti al piano x−2y+2z−4=0.
[ I centri delle due sfere sono C1 8 3,−11 6, 11 6 e C2 −4 3, 1 6,−1 6 ]
21.11 Scrivere l’equazione di una sfera che passa per il punto P di coordinate
(1, 2, 2)è tangente al piano α di equazione z = 0 ed ha il centro sulla retta r di equazioni x=1+t y=2+t z=1+t .
[Il centro sta su r, quindi ha coordinate C(1+t, 2+t, 1+t). La distanza di C dal piano α, che è 1+t, deve essere uguale alla distanza di C da P, cioè
(1+t)2= (1+t−1)2+ (2+t−2)2+ (1+t−2)2da cui t2−2t=0=⇒
t1=0, t2=2. In conclusione una sfera ha centro in C1(1, 2, 1)e raggio 1 e l’altra in C2= (3, 4, 3)e raggio 3. ]
21.12 Scrivere l’equazione di una sfera avente il centro sulla retta x= −2t y= t+1 z= t
e tangente all’asse x ed al piano di equazione 2x+2y−z−8=0.
[Il centro C ha coordinate(−2t, t+1, t)e deve essere equidistante dal piano dato e dall’asse x; la distanza dal piano è|t+2|mentre per determinare la sua distanza dall’asse x basta calcolare quella tra C e la sua proiezione H(−2t, 0, 0)su tale asse. . . ; uguagliando le due distanze si perviene all’e-quazione t2−2t−3=0 e quindi a due sfere, l’una di centro C1(2, 0,−1)e l’altra di centro C2(−6, 4, 3)entrambe di raggio 5.]
21.13 Scrivere l’equazione delle sfere che hanno il centro sull’asse z e sono tangenti alle rette
r : ( x=1 y=2 e s : x=t y=2t z=−2t . [ x2+y2+ (z±2)2=5]
21.14
* Verificare che esiste una sola sfera di raggio non nullo che ha il centro sulla curva L : x=t y=t2 z=t3 ed è tangente nell’origine alla retta di equazioni
(
x+y+z =0 x−z =0.
21.2 Circonferenza nello spazio
21.15 Determinare il centro ed il raggio della circonferenza
γ: (
x2+y2+z2−2y+z−1=0 x−y+z=0.
Figura 21.1: Circonferenza nello spazio
[Anche questo esercizio si può risolvere in molti modi. Osservando la figu-ra 21.1 il centro C0della circonferenza può essere visto come la proiezione ortogonale del centro della sfera sul piano π dato, cioè l’intersezione di π con la perpendicolare ad esso passante per il centro C della sferaΣ data, (che
è C0 0, 1,−1
2
), cioè con la retta x=t y=1−t z=−12+t . Si ha dunque t= 1 2da cui
21.2. Circonferenza nello spazio 185
le coordinate del centro C 1 2,12, 0
. Il raggio si può determinare applicando il Teorema di Pitagora al triangolo che ha come cateti la distanza d dei centri ed il raggio r della circonferenza e come ipotenusa il raggio R della sfera. Si ottiene r=1
2
√
6. È anche interessante osservare come si può applicare in questo caso la teoria dei fasci di sfere: il fascio di sfere che passano per γ ha equazione x2+y2+z2−2y+z−1+k(x−y+z) =0. Cerchiamo, in tale fascio, la sfera che ammette la circonferenza considerata come cerchio massimo, vale a dire quella che ha centro sul piano radicale del fascio e che avrà gli stessi centro e raggio: dovrà essere: −k
2+k+2 2 −k+1
2 =0, da cui k=−1 a cui corrisponde la sfera x2+y2+z2−x−y−1=0.]
21.16 Scrivere le equazioni della circonferenza che passa per i punti O(0, 0, 0), P(2, 0, 0)ed R(0, 1, 0).
[La circonferenza cercata sarà intersezione tra il piano per i tre punti cioè il piano z=0 ed una qualunque sfera passante per i tre punti, ad esempio x2+y2+z2−2x−y=0.]
21.17 Scrivere le equazioni della circonferenza che ha centro nel punto C(1, 1, 1), giace su un piano parallelo ad α : 2x−3y+z+2=0 ed ha raggio 3.
[La circonferenza giace ovviamente sul piano parallelo ad α che passa per C ed è individuata, per esempio, dall’intersezione di questo piano con la sfera che ha centro in C e raggio 3. . .
(
x2+y2+z2−2x−2y−2z−6=0 2x−3y+z=0]
21.18 Si considerino i punti A(1,−2, 3)e B(−1, 0, 1)e la retta r di equazioni (
x+y−z−1=0 2y−z+2=0.
Scrivere le equazioni della circonferenza che passa per A e B ed ha centro sulla r.
[Il centro, che si può ricavare intersecando r ed il piano assiale di AB, è C(2,−1, 0), il piano è quello per A, B e C. . .
(
x+2y+z=0
(x−2)2+ (y+1)2+z2=11]
21.19 Nello spazio sono dati i punti A(0, 1, 1)e B(−1, 1, 2). Scrivere le equa-zioni della circonferenza che ha centro nel punto C(2, 1, 3)e tangente alla retta per A e per B.
[La circonferenza cercata è intersezione tra il piano per A, B e C e, ad esem-pio, la sfera che la ammette come cerchio massimo, quindi con centro in C e raggio pari alla distanza tra C e la retta AB. . . si
(
(x−2)2+ (y−1)2+ (z−3)2=8 y=1]
21.20 Scrivere l’equazione di una sfera che ha centro sulla retta 2y= x=2z, è tangente al piano xz ed interseca il piano α : 2y−x+2 =0 secondo una circonferenza di raggio 1.
[Il raggio della sfera è uguale alla distanza di C(2t, t, t)dal piano xy ed è ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti la distanza di C dal piano α ed il raggio della circonferenza. . . applicando il Teorema di Pitagora si ha|2t−2t+2|2
5 +1=t2⇐⇒t=±√3
5]
21.21 Consideriamo le due sfere dell’esercizio 21.10 Determinare un piano che passi per l’asse z e che le tagli secondo circonferenze aventi lo stesso raggio.
21.22 Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle sfere che tagliano i piani coordinati xy, xz e yz secondo circonferenze aventi raggi rispettivamente 1, 2, e 3.
21.23 Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle circonferenze che passano per i punti A(1, 0, 0), B(0, q, 0)e(0, 0, r)con la condizione che qr=1
21.3 Quesiti
Q.21.154 Nello spazio il raggio della sfera che ha centro in C(1,−1, 1)ed è tan-gente all’asse y vale 1. 2 vero 2 falso Q.21.155 Il piano x+y−2z=0 è tangente alla sfera di equazione x2+y2+z2−
2x−y=2. 2 vero 2 falso
Q.21.156 Esiste un solo piano passante per un punto P, parallelo ad una retta r e tangente ad una sfera. 2 vero 2 falso Q.21.157 Esiste uno ed un solo piano passante per un punto P, parallelo ad una retta r e tangente ad una sferaΣ. 2 vero 2 falso Q.21.158 Il piano tangente nell’origine alla sfera di equazione x2+y2+z2+ax+
21.3. Quesiti 187
Q.21.159 Nello spazio, quante sono le sfere che hanno centro su una retta data e passano per due punti distinti, non allineati con il centro? a al più una b almeno due c una sola d infinite.
Q.21.160 Nello spazio, la circonferenza di equazioni ( x2+y2+z2−2x=0 2x+y=0 ha raggio uguale a: a √ 3 b √1 2 c √ 2 d √1 5.
Q.21.161 Il piano di equazione x+y+z+1=0 rispetto alla sfera di equazione x2+y2+z2−2x+4z+2 = 0 è a tangente b diametrale c esterno d secante.
Q.21.162 L’intersezione tra la sfera di equazione x2+y2+z2−2x+2y=2 ed il piano x+y−z+1 = 0 a è una circonferenza reale b è una una circonferenza completamente immaginaria c è ridotta ad un unico punto d non esiste nè reale nè immaginaria.
Q.21.163 Rispetto alla sfera di equazione x2+y2+z222x−4y−8=0 la retta di
equazioni (
x =1 z =0