La polarità si intende sempre definita rispetto a coniche irriducibili. Nelle risoluzioni proposte faremo uso di una delle tante forme dell’equazione della polare, nulla vieta, se il caso, che lo studente provi a risolvere in altro modo l’esercizio. In alcuni casi la risoluzione non si baserà su un procedimento solo analitico, ma farà uso di considerazioni sintetiche legate alla legge di reciprocità: è un invito alla riflessione
17.1 SiaF il fascio di coniche di equazione
y2−xy+λ(2x2−3xy+y2−6x+3y) =0
Verificare che tutte le coniche del fascio sono tangenti nell’origine ad una stessa retta ,di cui si chiede l’equazione. [2x+y=0]
17.2 Determinare la polare dell’origine rispetto alla conica di equazione ax2+bxy+cy2+dx+ey+ f =0
[dx+ey+f =0]
17.3 Si consideri l’iperbole equilatera γ che ha come asintoto la retta di equazione y = 2x ed è tangente in P(3, 0)alla retta di equazione 4x+
3y=12; scrivere l’equazione dell’altro asintoto.
[È la polare di(−2 : 1 : 0). . . x+2y=0]
17.4 Un’iperbole equilatera γ ammette come asintoto la retta di equazione x+2y−4 = 0; determinare l’altro asintoto sapendo che γ interseca l’asse x nei punti P(1, 0)e Q(3, 0).
[. . . 2x2+3xy−2y2−8x+4y+6=0. . . gli asintoti sono ortogonali . . . y−2x=0]
17.5 Determinare gli asintoti dell’iperbole equilatera non degenere che passa per l’origine e per A(1, 0), ha gli asintoti paralleli alle rette x−5y=0 e x−y=0 e taglia l’asse x secondo un segmento lungo 5.
[. . . x2−6xy+5y2−x−25y=0. . . 2x−10y−15=0 e 2x−2y+13=0]
17.6 Considerate le coniche γ1: x2+y2−2= 0 e γ2 : 4xy+3=0, determi-nare i punti P tali che la polare di P rispetto a γ1coincida con la polare di P rispetto a γ2 [(0, 0),(1 :±1 : 0)]
17.7 Date le coniche γ : x2+y2+4x = 0 e γ0 : y2−6x = 0 determinare i punti P∈ γ0 tali che la tangente in P alla γ0sia ortogonale alla polare di
P rispetto a γ. [(2,±√3)]
17.8 Nel fascio di coniche che passano per l’origine, per i punti A(0,−1)e B(−1,−1)e sono tangenti alla retta di equazione x+y+2 =0 deter-minare le coniche rispetto alle quali la polare del punto P(−1, 0)e del punto improprio della retta 2x−2y−5=0 sono tra loro perpendicolari.
[3x2+4xy−y2+7x−y=0; x2+2xy−y2+3x−y=0]
17.9
* Siano:
γ la generica conica che ha fuoco nel punto F(0, 2)e come direttri-ce coniugata ad F la retta di equazione x+y+1=0;
r la polare del punto P(1, 2)rispetto a γ;
Q ed R le intersezioni di r rispettivamente con la retta di equazione x=1 e con l’asse y
Verificare che Q ed R si corrispondono in una proiettività.
[ Si potrebbe scrivere l’equazione di γ ricorrendo alla definizione di conica tramite fuoco e direttrice, tuttavia la teoria della polarità ci permette una soluzione più rapida ed elegante: la direttrice può essere infatti vista come la polare del fuoco, e quindi la congiungente i punti di contatto delle tangenti uscenti dal fuoco che sono le rette isotrope1; γ appartiene allora al fascio generato dalla direttrice “contata due volte” e dal complesso delle rette isotrope passanti per F, cioè la circonferenza di centro F e raggio nullo. In coordinate omogenee l’equazione di tale fascio è: x2+ (y−2u)2+k(x+
y+u)2=0. La polare di P rispetto alla generica conica del fascio è: 1· [2x+2k(x+y+u)]+
+2[2(y−2u) +2k(x+y+u)]+ +1[−4(y−2u) +2k(x+y+u)] =0.
che, semplificando, diventa x+3k(x+y+u) =0. Allora Q=
1,−6k−13k ed R=
−3k 3k+1, 0
(k6=0 in quanto la polarità riguarda solo coniche irriduci-bili), per k=−1 3 si ha R≡X∞(1 : 0 : 0)). Sarà dunque y= −6k−13k =−2− 1 3k ed x0=3k+1−3k cioè x10 = −3k−13k =−1− 1 3k; da y+2= −1 3k = x10+1 si ottiene l’equazione della proiettività yx0+x0−1=0. ]
1Ricordiamo che le rette isotrope sono due rette immaginarie che passano per i punti ciclici del piano e per l’origine e le cui equazioni sono x±iy=0.
147
17.10 Un’iperbole equilatera ha un fuoco nel punto F(−1, 0) ed ammette come polare di F la retta f di equazione 2x+y+1 =0; determinarne l’equazione. [ f è la direttrice. . . 3x2+8xy−3y2−2x+4y−3=0]
17.11 Una parabola P non degenere ha per direttrice la bisettrice del I e III quadrante e come polare del punto A(−1, 1)la retta di equazione 3x−y+1 = 0. Determinare il fuoco F e l’asse di simmetria r diP.
[F
−3 2,12
, r : x+y+1=0]
17.12 Scrivere l’equazione della conica che passa per il punto A(0, 1), è tan-gente nell’origine alla bisettrice del I I e IV quadrante ed ammette come polare di X∞ la retta di equazione x=2. [x2+4y2−4x−4y=0 ellisse]
17.13 Scrivere l’equazione dell’iperbole passante per i punti O e P(1,−1)per la quale la retta di equazione y=1 è un asintoto e quella di equazione 2y+1=0 è la polare del punto Q(1, 1). [xy−5y2−x−7y=0]
17.14
* Siano γ la circonferenza di equazione x2+y2 =4 ed A il punto(2, 4). Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera tangente a γ nei punti di contatto delle tangenti ad essa uscenti da A.
[ Si tratta dell’iperbole equilatera del fascio generato dalla circonferenza data e dalla polare pAdi A “contata due volte”, che è la congiungente i punti di tangenza. (v. Fig. 17.1)
Figura 17.1
La polare di A è x+2y−2u=0 e dunque il fascio suddetto ha equazione x2+y2−4+k(x−2y−2)2 =0; avremo un’iperbole equilatera se I1 =
a11+a22 =1+1+k+4k = 0 cioè per k = −2
5 da cui l’iperbole 3x2−
17.15 Siano γ la conica di equazione 2xy = 1 ed F il punto (1, 1); scrivere l’equazione dell’involuzione delle rette reciproche uscenti da F.
[F è uno dei fuochi. . . l’involuzione è quella circolare mm0=−1]
17.16 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha gli stesssi asintoti della x2−
xy−2y2−x+2y+1 = 0 ed ammette gli assi cartesiani come rette reciproche.
[Gli asintoti sono x−2y=0 e x+y−1=0. . .(x−2y)(x+y−1) +1=0]
17.17 Una conica γ passa per i punti impropri degli assi cartesiani, per il punto A(1, 1), ed ammette come polare del punto P(0,−1)la retta di equa-zione y=1; scrivere l’equazione dell’involuzione dei punti dell’asse y reciproci rispetto alla γ. [Y∞è unito e P è coniugato con A. . . y+y0=0]
17.18 Sia γ l’iperbole equilatera che passa per i punti A(0, 1), B(2, 0)e C(1, 1)
ed è tangente alla bisettrice del I e III quadrante; scrivere l’equazione dell’involuzione dei punti dell’asse x reciproci rispetto a γ
[2xx0−3(x+x0) +4=0]
17.19
* Si considerino il punto A(0,−1)e la conica γ di equazione 2x2+3xy+
3y2−x−6y−1=0; scrivere l’equazione dell’iperbole che passa per il punto B(2, 0)ed ha come asintoti le tangenti alla γ passanti per A.
Figura 17.2
[ Le due tangenti AT1e AT2sono le rette che congiungono A con i punti in cui la polare di A taglia la γ (v. Fig. 17.2). Il fascio a cui appartiene l’iperbole che cerchiamo sarà il fascio di iperboli avente queste due rette come asintoti, cioè tangenti nei punti impropri. Lavorando in coordinate omogenee, la
149
polare pAdi A ha equazione x+3y−u=0. La conica spezzata nelle due rette AT1AT2appartiene al fascio 2x2+3xy+3y2−xu−6yu−u2+k(x+
3y−u) =0 Ricercando le coniche degeneri, cioè imponendo I3=0 si ha k=∞, a cui corrisponde la retta pAcontata due volte e k=−1
2che è quella che fa a l caso nostro ed ha equazione x2−y2−2yu−u2=0. La conica richiesta sarà dunque tangente a quest’ultima nei suoi punti impropri, sarà quindi una conica del fascio x2−y2−2yu−u2+ku2=0. Imponendo il passaggio per B otteniamo k=−4 da cui l’equazione, in coordinate non omogenee x2−y2−2y−4=0 che è un’iperbole equilatera. ]
17.20 Siano:
γ l’ellisse di equazione x2−xy+y2−3x+2=0; P il punto di coordinate(0,−1)
Q il punto(0, 1).
Verificare che i punti P e Q ed i quattro punti di contatto di γ con le tangenti uscenti da P e da Q appartengono ad una medesima conica.
Figura 17.3: Esercizio 17.20
[Nel fascio di coniche generato da γ e dalle due polari, cercare quella che passa per Q ed osservare che passa anche per P (vedi Figura 17.3). ]
P la parabola di equazione(x−y)2−4(x+y+1) =0; P un punto del piano;
T1e T2 i punti di contatto delle tangenti uscenti da P con la parabola. Scrivere l’equazione del luogo dei punti P tali che T1e T2siano allineati con l’origine. [È la polare dell’origine. . . x+y+2=0]
17.22
* Trovare il polo della retta impropria rispetto alla conica di equazione x2−3y2−2x+2=0.
[ Per la legge di reciprocità basterà trovare le polari di due punti impropri qualsiansi: i più comodi sono X∞(1 : 0 : 0)e Y∞(0 : 1 : 0)le due polari sono rispettivamente la derivata rispetto ad x e quella rispetto ad y della conica: in coordinate omogenee si ha il sistema
(
2x−2u=0
−6y=0che ha come soluzione x=u e y=0 da cui il punto P(1, 0). ]
17.23 Trovare il polo della retta x+y+3=0 rispetto alla conica 2x2−3xy+y2+3x=0.
[(1, 2)]
17.24 Siano:
r una retta per l’origine;
P il polo della r rispetto alla circonferenza di equazione x2+y2−2x=
0;
Q il polo della r rispetto all’iperbole di equazione x2−xy−y+1=0 Trovare le rette r per le quali i corrispondenti punti P e Q sono allineati con A(−2, 1). [y= 23x, y=3x]
17.25 Data la circonferenza di equazione x2+y2−2x+3y = 0 ed i punti A(1, 2)e B(2, 0), determinare un punto C che sia reciproco sia di A sia di B. [È il polo della retta AB. . . C
20 7,−4 7 ] 17.26
* Verificare che i punti impropri degli assi x e y sono reciproci rispetto a tutte le coniche che passano per i punti O(0, 0)ed A(2, 0)ed ammettono come polare del punto P(1, 2)l’asse x. [(x−y)2+4x−8=0]
[ La polare di P passa per O ed A che sono quindi i punti di contatto delle tangenti uscenti da P. L’equazione del fascio, in coordinate omogenee, si può scrivere come
151
La polare di X∞(1 : 0 : 0)rispetto alla generica conica del fascio ha equa-zione 2(2x+y−4u) +2(2x−y) =0 e cioè, semplificando, x−u=0 che passa per Y∞(0 : 1 : 0).]
17.27 Data la parabola y= x2, verificare che l’involuzione dei punti reciproci da essa subordinata sull’asse x è la simmetria rispetto all’origine.
[. . . i punti uniti sono le intersezioni con l’asse x: O e X∞. . . ]
17.28
* Una conica taglia l’asse x nei punti A(2, 0)e B(4, 0)e l’asse y in C(0, 2)
e D(0, 4). Determinare la polare dell’origine.
[ Considerare l’involuzione dei punti reciproci sugli assi. . . i corrispondenti di O sono rispettivamente A0(3, 0)e B0(0, 3). . . la retta AB è x+y−3=0 ]
17.29
* Si considerino i punti A(0, 1)e B(2, 0)e la retta r di equazione x+2y =4; sia γ la conica non degenere tangente in A all’asse y, tangente in B all’asse x e tangente anche alla retta r.
Senza determinare l’equazione di γ, trovare le tangenti ad essa uscenti dal punto P∞(2 :−1 : 0)
[ Una delle rette cercate è r che è tangente in T(2, 1), l’altra passa per l’altro punto unito dell’involuzione dei punti reciproci sulla retta OT, che tiene fisso T e manda il punto O nel punto P
1,12 . . . xx0−4(x+x0) +4 = 0. . . T0 2 3,13 . . . 3x+6y−4=0. ] 17.30
* Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ha come asintoto la retta r : x−y+1 = 0 e subordina sull’asse x l’involuzione dei punti reciproci di equazione xx0− (x+x0) =0.
[ La conica ha r come asintoto, passa per il punto improprio in direzio-ne ortogonale ad r e per i punti dell’asse x uniti direzio-nell’involuziodirezio-ne data, quindi. . . x2−y2−2x+4y=0 ]