Rette e piani nello spazio 20.1Piani e rette
20.2 Esercizi vari
20.2 Esercizi vari
20.20 Sia P(1, 0, 1). Calcolare la distanza di P dai piani dell’esercizio 20.3 a pagina 170. [ d(Pπ1) = |1+0+1−1|
√
12+12+12 = √1
3, . . . ]
20.21 Determinare il piano assiale del segmento che ha per estremi i due punti A(1,−2, 3)e B(−1, 0, 1).
[Basta uguagliare le distanze del punto generico P(x, y, z)del piano cercato dal punto A e dal punto B: si ha(x−1)2+ (y+2)2+ (z−3)2= (x+1)2+
y2+ (z−1)2. . . x−y+z−3=0.]
20.22 Nello spazio, in cui indichiamo rispettivamente con #» i , #»
j e #»
k i vettori unitari dei tre assi cartesiani, si determinino i punti P che soddisfano alle seguenti condizioni:
i) P appartiene al piano x−y=0 ii) cos ϑ= √1
3, dove ϑ è l’angolo fra la retta OP ed il vettore#» i +#» j +#» k iii) |OP| =1 [P1(0, 0, 1)e P2 2 3, 2 3,−13 ]
20.23 Scrivere le equazioni dei piani (o del piano) che distano √2
6 dal punto P(1, 1, 1)e contengono (o contiene) la retta di equazioni
(
x−y=1 y+z=1.
[ Ve n’è uno solo di equazione 2−2y−z=0]
20.24 Risolvere l’esercizio precedente considerando come distanza tra i piani ed il punto il valore √1
6.
[I piani sono due, di equazioni rispettivamente 2x−y+z =0 e x+y+
2z−3=0]
20.25 Scrivere le equazioni della retta s che passa per P(0,−1,−1)ed è per-pendicolare ed incidente alla retta r :
(
x=2y−1
x=z+1 . Calcolare inoltre la distanza di P da r.
[Il piano π che passa per P ed è perpendicolare ad r interseca r stessa in un punto H che è la proiezione ortogonale di P su r. La retta cercata è quindi la retta PH e la distanza PH è la distanza Pr. Si ha H
−1 3, 1 3,−4 3 quindi Pr = PH = s 1 9+ 1 3+1 2 + −43+1 2 = √ 2 ed infine s : x=t y=−1−4t z=−1+3t . ]
20.26 Calcolare la distanza di P(1, 0, 1)dalle rette dell’esercizio 20.7 a pagi-na 171
20.27 Calcolare la distanza tra il piano π di equazione 2x+2y−z−2=0 e la retta r di equazioni
(
x+1=0 2y−z=0.
[Piano e retta sono paralleli (verificarlo) quindi la distanza cercata sarà quella tra il piano stesso ed un punto qualsiasi della retta. Ad esempio scegliendo P(−1, 0, 0)si ha d(P, π) = | −√ 2−2|
4+4+1 =4
3. ]
20.28 Siano r e s le due rette parallele dell’esercizio 20.14; calcolare la loro distanza.
[ Basta calcolare la distanza tra un punto qualsiasi di una retta e l’altra. . . ]
20.29 Calcolare la distanza fra le due rette dell’esercizio 20.7.
[ Le rette sono incidenti, quindi. . . ]
20.30 Calcolare la distanza tra le due rette sghembe dell’esercizio 20.19
[Tra i vari modi per risolvere un esercizio di questo tipo indichiamo i due seguenti:
i) Consideriamo il vettore AB che ha come estremi un punto qualsiasi A∈r ed uno B∈ s e calcoliamo la sua proiezione ortogonale sulla direzione perpendicolare ad entrambe le rette, ovvero quella indivi-duata da v×w (v essendo il vettore direzione di r e w quello di s); tale proiezione si ottiene calcolando il prodotto scalare tra AB ed il versore parallelo a v×w, ovvero | hAB, v×wi |
kv×wk . I vettori v e w sono stati
ricavati nella risoluzione dell’esercizio 20.19, quindi, considerando per esempio i punti A(0, 0, 0)e B
1 2, 1 2, 0 , si ha | hAB, v×wi | kv×wk = 1 2, 1 2, 0 ,[2,−1,−1] √ 6 = 1 2·√2 6− 1 2√ 6+0= 1 2√ 6.
20.2. Esercizi vari 177
Figura 20.1: Distanza di due rette sghembe
ii) Consideriamo il fascio di pianiF che ha per sostegno una delle due rette, ad esempio s (che è già scritta in forma cartesiana) e tra tutti que-sti piani scegliamo quello (π) parallelo ad r. La distanza cercata sarà la distanza tra r e π, quella tra un qualunque punto P di r ed il piano π v. Figura 20.1. Il fascio ha equazione λ(x+y+z−1) +µ(x−y−z) =0 quindi π ha equazione 4x−3y−3z−1 = 0; scegliendo P(0, 0, 0)
come punto di r si ha d(r, s) = d(r, π) =d(P, s) = | −1| √ 16+4+4 = 1 √ 24 = 1 2√ 6. ] 20.31 Si considerino le rette r : ( y=0 z=1 ed s : ( x−y+z=0 3x+y+2=0. i) Verificare che r e s sono sghembe;
ii) determinare la retta incidente e perpendicolare ad entrambe; iii) trovare la minima distanza tra r ed s.
20.32
* Siano r e s due rette non parallele. Dimostrare che esiste un unica retta r0 ortogonale ed incidente ad entrambe, che la distanza d(r, s)è uguale alla distanza d(Hr, Hs)dove Hre Hssono, rispettivamente, i punti di intersezione di r0 con s e r.
20.33 Sono date le rette
r ≡ x=2+t y= −2t z= −1+3t ed s≡ ( x+y+2z=0 x+y+z=0.
Calcolare la distanza tra la retta r e la retta r0 passante per il punto P(2, 1, 3)ortogonale ad r ed incidente a s.
20.34 Scrivere le equazioni del luogo dei punti del piano x = 2 per cui la distanza dal piano π di equazione x=y coincide con quella dalla retta x=2+t y=−t z=2 .
[Sia P(2, y, z)il generico punto del piano x=2,. . . d(P, π) = |2−y| √
2 , mentre d(P, r) =
r y2
2 +z2−4z+4, da cui, uguagliando le distanze, si ottengono le equazioni del luogo
(
x=2 2z2−8z+4y+4=0]
20.35 Trovare tutti i valori del parametro reale h per cui i tre piani x+hy−1=0
hx+y+1=0 x+y+hz=0
appartengono ad un medesimo fascio e scrivere le equazioni della retta sostegno di questo fascio.
[Il fascio individuato dai primi due piani ha equazione
(1+λh)x+ (h+λ)y−1+λ=0 (20.3) affinchè il terzo piano appartenga al fascio (20.3) occorre e basta che sia
λ=1 e h =0. In corrispondenza di questo valore la retta ha equazioni (
x−1=0 y+1=0]
20.36 Verificare che le rette ( x+y=0 z=1 e ( x−z+1=0 y=0
sono complanari e determinare le equazioni delle bisettrici dell’angolo da esse formato.
20.37 Nello spazio, si considerino il piano β : x+y=1 ed il punto P(1, 1, 0). Sia α un generico piano per l’asse x ed s la retta α∩β. Determinare i piani α per i quali la distanza di P da α è uguale alla distanza di P da s.
20.3. Quesiti 179
20.3 Quesiti
20.4 Vero o Falso
Q.20.137 Nello spazio, la retta di equazioni (
x−2y+3z=0
3x−2y−z+1=0 appartiene al piano di equazione 4x+2z+1=0 2 vero 2 falso Q.20.138 Dati comunque un fascioF dei piani ed una retta r esiste sempre un piano diF che contiene la r 2 vero 2 falso Q.20.139 Se la retta a è sghemba con la retta b e la retta b è sghemba con la retta c allora a e c sono sghembe. 2 vero 2 falso Q.20.140 I numeri sin t, cos t e t2−1 sono i coseni di una retta per al più due valori del parametro t. 2 vero 2 falso
Q.20.141 La retta di equazioni (
x=0
y=1 è la proiezione ortogonale sul piano xy della retta
( y =1
y=z. 2 vero 2 falso
Q.20.142 Date due rette sghembe, esiste sempre un piano parallelo ad entrambe. 2 vero 2 falso Q.20.143 Date due rette sghembe, esiste un unico piano parallelo ad entrambe.
2 vero 2 falso Q.20.144 Date due rette sghembe, esiste sempre un piano ortogonale ad entrambe. 2 vero 2 falso Q.20.145 Il piano di equazione x = y è il simmetrico di quello di equazione x−y−2 rispetto al punto P(0, 1, 2). 2 vero 2 falso
20.5 A risposta multipla
Q.20.146 Nello spazio, dati il punto P e la retta r che non si appartengono, quante sono le rette che passano per P e sono parallele ad r? a due b nessuna c infinite d una ed una sola.
Q.20.147 Le rette r : x =2y=3z e s : (
x+y+z=0
2x−y+z=1 sono a complanari b sghembe c parallele d perpendicolari.
Q.20.148 Nello spazio, quanti sono i piani del fascio di equazione x+y+kz=0 che contengono la retta di equazioni x−z = x+y = 0? a tutti;
b nessuno c infiniti ma non tutti d esattamente uno. Q.20.149 La retta di equazioni y−2x=z−3x+1=0 è perpendicolare al piano
a 3x+z = 3; b x−2y+3z = 0; c 3y−2z−5 = 0; d x+2y+3z=1.
Q.20.150 La retta di equazioni y−2x=z−3x+1=0 è parallela al piano a 3x+z = 3; b x−2y+3z = 0; c 3y−2z−5 = 0; d x+2y+3z=1.
Q.20.151 Le rette r ed s di equazioni rispettivamente ( x+2z−6=0 x−y =0 e x=3t y=5+t z=1−t
sono a incidenti; b parallele; c sghembe; d perpendicolari. Q.20.152 La distanza tra il piano α di equazione x−y+z=−1 ed il piano β di
equazione−x+y−z+2= 0 è a√
2; b 3; c √
3 d
0.
Q.20.153 Nello spazio si considerino le rette di equazioni r : x = z = 0 ed s : x= z−y−1=0, allora a r ed s sono incidenti b r ed s sono parallele c r ed s sono sghembe d r ed s formano un angolo di π/4.