Maurizio Gentile
3. Compiti matematici assegnati du- du-rante le lezioni
L’obiettivo di questa sezione è presentare e discutere i dati relativi alla gestione da parte
4 La verifica della differenza è stata impostata seguen-do il metoseguen-do del «Modello Lineare Generalizzato» (si vedano le Note 1 e 2). I contrasti tra i tre livelli dell’in-dice MCFL sono stati ripetuti secondo il metodo Tu-key HSD (confronti multipli tra coppie di medie). I tre livelli risultano come tre sotto-insiemi non omogenei.
Tutte le differenze tra le medie, di ogni singola coppia confrontata, risultano statisticamente significative. La variabile dipendente corrisponde al valore medio dei cinque plausible value (BSMMAT01, BSMMAT02, BSMMAT03, BSMMAT04, BSMMAT05).
dei docenti dei compiti matematici assegnati agli alunni durante le lezioni. I dati illustrano le dichiarazioni dei docenti e degli studenti in merito alla frequenza con cui sono svolte varie tipologie di compiti matematici. Nell’ambito di questo lavoro i compiti matematici sono stati classificati in tre grandi gruppi:
a) compiti a contenuto matematico che richie-dono di lavorare su materiali e consegne che riguardano aree di sapere come il calcolo numerico, la rappresentazione dei dati, le figure e le misure geometriche, ecc.;
b) compiti di carattere cognitivo che implica-no lo svolgimento di specifiche operazioni cognitive (spiegare risposte, memorizzare procedure, applicare conoscenze alla vita quotidiana, ecc.);
c) compiti di risoluzione di problemi comples-si, di routine svolti in autonomia o sotto la guida del docente.
Sono state riportate le percentuali di studenti i cui docenti dichiaravano che un dato compito si svolgeva in circa la metà o più delle lezioni. Ol-tre a ciò sono state analizzate le percentuali di studenti che riportavano lo stesso dato in riferi-mento alla tipologia di compito presa in esame.
Nel primo caso la fonte dei dati è il questiona-rio compilato dai docenti; nel secondo caso i dati sono basati sulle risposte del questionario-studente. Tale schema di presentazione verrà utilizzato per discutere i dati sia della scuola primaria sia della secondaria di primo grado.
3.1. Compiti matematici e di soluzione dei problemi nella scuola primaria
La Tabella 8 mostra i valori percentuali in ordine decrescente. Le prime tre categorie di compito matematico che venivano più frequen-temente utilizzate erano rispettivamente lo svol-gimento delle operazioni aritmetiche senza cal-colatrice (63%), lavori che riguardano l’uso di frazioni e di numeri decimali (42%) e lo studio di figure geometriche (22%). In misura ampia-mente minore emergono le percentuali relati-ve a compiti di misurazione di oggetti (6%), la rappresentazione dei dati mediante tabelle,
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Fig. 2 Livello di condizionamento negativo e risultati nella prova di matematica.
livelli dell’indice MCFl
grammi e grafici (6%), lo scrivere equazioni per esprimere problemi (5%). Queste tre tipologie di compito venivano utilizzate molto raramente.
Sia in contesto provinciale che italiano per ol-tre il 50% degli studenti il lavoro più frequente-mente assegnato corrisponde a esercizi di cal-colo numerico. Le risposte dei docenti trentini sembrano in linea con le risposte degli inse-gnanti italiani, ovvero, si osserva una medesima tendenza alla riduzione dei valori percentuali lungo le tipologie di compito prese in esame.
Per quanto riguarda i compiti cognitivi, la pro-porzione maggiore si collocava in riferimento alla prima tipologia: spiegare le risposte date (76%). Questa è la richiesta che i docenti face-vano più sistematicamente nel 2007. In relazio-ne alle ultime due tipologie, invece, l’indagirelazio-ne ha rilevato che i docenti del 59% di alunni uti-lizzavano in circa la metà e oltre delle lezioni compiti di applicazione della matematica alla vita quotidiana. Per quanto riguarda la me-morizzazione di formule e procedure il valore percentuale è pari al 35%. Nel confronto tra i dati provinciali e nazionali si può osservare una tendenza simile a quella discussa prima: ridu-zione delle percentuali, e uso maggioritario di richieste relative alla spiegazione delle risposte.
Tra alunni e docenti emerge una sovrapposi-zione di opinioni in relasovrapposi-zione alla prima catego-ria di compito: svolgimento di operazioni
arit-metiche senza calcolatrice. Le due percentuali sono pressoché identiche: i docenti riportano il 63% mentre gli studenti il 61%. Evidentemente entrambi hanno una percezione comune basa-ta, probabilmente, sull’esperienza quotidiana di matematica che viene proposta e conseguente-mente vissuta dagli alunni.
Se nelle risposte dei docenti sembra emergere una gerarchia di utilizzo dei compiti a contenu-to matematico — si vedano le prime tre percen-tuali riportate nella Tabella 7 (63%, 42% e 27%)
— nelle risposte degli alunni tale gerarchia si annulla, e in base alla loro percezione, la rap-presentazione dei dati, le operazioni numeriche e il lavoro su frazioni e decimali erano sullo stesso piano, rispettivamente 64%, 61% e 60%.
Per i docenti la gerarchia di utilizzo potrebbe riflettere una gerarchia di importanza conosci-tiva: alcuni compiti matematici sembrano più importanti di altri. Per gli alunni, al contrario, l’apprendimento si realizza in un continuo di compiti rispetto ai quali essi non colgono né una maggiore o minore frequenza di utilizzo, né una maggiore o minore importanza.
Il caso più evidente di divergenza di opinioni si ha in relazione ai compiti di memorizzazione.
Il 76% di alunni di quarta primaria dichiarava che la richiesta di imparare a memoria si verifi-cava in circa la metà o più delle lezioni. Al con-trario, solo per il 35% di studenti, gli insegnanti Tabella 7
Percentuali di studenti i cui insegnanti dichiarano che specifici compiti matematici sono svolti in circa la metà o più delle lezioni (IV classe SPs – Fonte: questionario-insegnante)
Compiti a contenuto matematico TrentinoD ItaliaI
esercitarsi con le operazioni senza calcolatrice 63 (5,2)* 78 (2,2)
lavorare su frazioni e numeri decimali 42 (4,8) 44 (3,0)
studiare figure geometriche 22 (4,7) 24 (2,6)
Misurare oggetti presenti in classe e nei dintorni della scuola 6 (2,4) 8 (1,6)
Fare tabelle, diagrammi, grafici 6 (2,7) 16 (2,3)
scrivere equazioni per esprimere problemi 5 (2,1) 12 (1,9)
Compiti cognitivi Trentino Italia
spiegare le risposte date 77 (4,2) 80 (2,2)
applicare quanto appreso alla vita quotidiana 59 (5,1) 72 (2,7)
Memorizzare formule e procedure 35 (4,8) 54 (3,5)
d raggruppamento in ordine decrescente.
i confronto con il dato italiano.
*( ) = errore standard.
ssP = scuola primaria.
dichiaravano che i compiti di memorizzazione erano utilizzati con frequenza.
Vista l’importanza che l’indagine TIMSS pone sui processi di soluzione dei problemi, ci è sembrato importante discutere i dati in merito a questa specifica tipologia di compito. Nella Tabella 8 si riportano le percentuali di studen-ti i quali dichiaravano la frequenza con cui svolgevano compiti di soluzione dei problemi nell’ambito delle lezioni. Per il 76% di alunni trentini i docenti davano una maggiore enfasi alla memorizzazione di procedure di soluzione dei problemi piuttosto che alla ricerca autono-ma di soluzioni (47%). Tale tendenza è confer-mata a livello nazionale (46%). Nella percezione degli alunni prevaleva sia a livello provinciale che nazionale l’assegnazione di compiti di me-morizzazione piuttosto che compiti di ricerca autonoma di soluzioni.
3.2. Compiti matematici e di soluzione dei problemi nella scuola secondaria
Per quanto riguarda i compiti a contenuto ma-tematico, i compiti che venivano più frequente-mente utilizzati nella scuola secondaria erano rispettivamente l’applicare conoscenze geo-metriche per la soluzione di problemi (75%),
lavorare su frazioni e numeri decimali (68%), esercizi con le operazioni senza l’uso della cal-colatrice (63%). In misura minore emergono le percentuali relative allo scrivere equazioni e funzioni per interpretare relazioni (25%) e all’interpretazione di tabelle, diagrammi e gra-fici (16%).
Sia in contesto provinciale che italiano per oltre il 70% di studenti il lavoro più frequente-mente assegnato corrisponde alla soluzione di problemi geometrici. Nelle risposte dei docenti trentini si osserva la medesima tendenza emersa a livello nazionale. Si osserva una riduzione dei valori percentuali lungo le tipologie di compito prese in esame. Detto con altre parole, l’area dei compiti a carattere interpretativo veniva utilizzata con minore frequenza; al contrario, compiti che richiedono l’applicazione esecutiva di conoscenze e abilità occupavano uno spazio maggioritario nella didattica della matematica.
In relazione ai compiti cognitivi emerge il se-guente profilo di dati (Tabella 9). Per il 75% di studenti gli insegnanti dichiaravano che lo spie-gare le risposte date era il compito che veniva svolto in circa la metà o più delle lezioni. Per quanto riguarda le ultime due tipologie, invece, l’indagine ha rilevato che i docenti del 41% di alunni utilizzavano in circa la metà e oltre delle Tabella 8
Percentuali di studenti che dichiarano di svolgere compiti matematici e di soluzione dei problemi in circa la metà o più delle lezioni
(IV classe SPs – Fonte: questionario-studente)
Compiti a contenuto matematico e cognitivi TrentinoD ItaliaI
Fare tabelle, diagrammi, grafici 64 (2,0) 46 (1,3)
esercitarsi con le operazioni senza calcolatrice 61 (1,7) 57 (1,2)
lavorare su frazioni e numeri decimali 60 (2,0) 64 (1.3)
spiegare le risposte datec 58 (1,9) 78 (0,8)
Misurare oggetti presenti in classe e nei dintorni della scuola 37 (2,0 ) 19 (1,0)
studiare figure geometriche 15 (1,2) 69 (1,2)
scrivere equazioni per esprimere problemi d.n.r. d.n.r.
Soluzione dei problemi Trentino Italia
Memorizzare come risolvere problemi 76 (1,8) 61 (1,4)
risolvere problemi da soli 47 (2,0) 46 (1,1)
d = raggruppamento in ordine decrescente.
i = confronto con il dato italiano.
c = compito cognitivo.
d.n.r. = dato non rilevato.
*( ) = errore standard.
ssP = scuola primaria.
Tabella 9
Percentuali di studenti i cui insegnanti dichiarano che i compiti matematici sono svolti in circa la metà o più delle lezioni (III classe SS1G² – Fonte: questionario-insegnante)
Compiti a contenuto matematico TrentinoD ItaliaI
applicare conoscenze geometriche per la soluzione di problemi 75 (4,4)* 74 (2,9)
lavorare su frazioni e numeri decimali 68 (4,1) 65 (3,4)
esercitarsi con le operazioni senza calcolatrice 63 (4,7) 58 (3,6)
scrivere equazioni e funzioni per interpretare relazioni 25 (4,1) 27 (2,9)
interpretare dati di tabelle, diagrammi o grafici 16 (3,7) 20 (2,5)
Compiti cognitivi TrentinoD ItaliaI
spiegare le risposte date 75 (4,6) 90 (1,9)
applicare la matematica alla vita quotidiana 41 (5,1) 52 (3,4)
Memorizzare formule e procedure 30 (5,3) 33 (3,2)
Soluzione di problemi TrentinoD ItaliaI
applicare fatti, concetti e procedure per la soluzione di problemi di routine 65 (5,0) 75 (2,8) decidere autonomamente procedure per la soluzione di problemi complessi 50 (4,9) 59 (3,2) lavorare su problemi in cui non è immediato trovare una soluzione 24 (4,8) 36 (3,3)
d = raggruppamento in ordine decrescente.
i = confronto con il dato italiano.
*( ) = errore standard.
² ss1g = scuola secondaria di primo grado.
lezioni compiti di applicazione della matema-tica alla vita quotidiana. Per quanto riguarda la memorizzazione di formule e procedure il valore percentuale è pari al 30%. Nel confron-to tra i dati provinciali e nazionali, emerge la medesima tendenza osservata nella scuola pri-maria: riduzione consistente delle percentuali e uso maggioritario di richieste relative alla spiegazione delle risposte.
L’ultimo blocco di analisi è stato dedicato all’area della soluzione dei problemi. In partico-lare si è voluto sapere in che misura gli studenti venissero impegnati nella soluzione di problemi di routine, problemi complessi, problemi in cui non è immediata una soluzione. A ben vedere tre ordini di problemi matematici sono caratterizzati da gradi crescenti di difficoltà. Nel 2007 le rispo-ste dei docenti possono essere riassunte nel modo seguente. In circa la metà o più delle lezioni il 65% di alunni era impegnato nell’applicazione della matematica a problemi di routine; il 50%
nell’esplorazione autonoma di procedure, e sola-mente il 24% lavorava su problemi nei quali non era immediato trovare una soluzione.
La Tabella 10 mostra le risposte degli alunni a un set di domande del tutto speculari a quelle proposte ai docenti. Tra alunni e docenti
sem-bra emergere una sovrapposizione di opinioni in relazione alla prima categoria di compito:
applicare conoscenze geometriche per la so-luzione di problemi. Le due percentuali sono pressoché identiche: i docenti riportano il 77%
mentre gli studenti il 75%. Al contrario, il com-pito nel quale sembra emergere una divergenza di opinione è relativo alla memorizzazione di formule e procedure. Secondo il 68% di alunni tale compito li impegnava in circa la metà o più delle lezioni. I docenti, invece, dichiaravano che solo per il 30% di alunni la memorizzazione era utilizzata con la stessa frequenza.
Sempre in relazione ai compiti cognitivi la ge-rarchia percepita dagli studenti sembra essere in netta divergenza rispetto a quella dichiarata dai docenti. Tale tendenza si riscontra anche a livello nazionale.
Nella Tabella 10 si riportano le percentuali di studenti i quali dichiaravano la frequenza con cui svolgevano compiti di soluzione dei problemi. Per il 72% di alunni trentini i docen-ti davano una maggiore enfasi alla soluzione autonoma di problemi piuttosto che alla ricer-ca autonoma di procedure per la soluzione di problemi complessi (50%). Entrambi i dati sono confermati a livello nazionale: 71% e 55%.