In questo paragrafo vedremo le curve caratteristiche del doppio SQUID acquisite per mezzo del dc-SQUID lettore (§3.3.2) e della giunzione Josephson integrata (§3.3.1); vedremo che i due metodi di lettura sono tra loro compatibili e che il dc-SQUID essendo meno invasivo della JJ fornisce informazioni anche nella zona cieca di quest’ultima (si veda il problema della deformazione del potenziale descritto in §3.3.1).
dc-SQUID lettore
Per iniziare stimiamo l’accoppiamento tra la bobina φsq e il dc-SQUID lettore.
Inviamo al dc-SQUID una corrente Isq a dente di sega di ampiezza sufficiente
a garantire il superamento della corrente critica I0(φ) per ogni flusso φ, e con
un offset tale che il minimo valore della corrente Isq sia leggermente negativo
per assicurare il completamento del ciclo di isteresi. Ogni volta che il sistema passa dallo stato superconduttivo a quello resistivo (quindi quando osserviamo una differenza di potenziale non nulla ai capi del dc-SQUID) viene effettuata la misura della corrispondente corrente; la procedura viene ripetuta dalle 10 alle 10000 volte per mediare sugli effetti di attivazione. Variando ad intervalli regolari il flusso φsq abbiamo raccolto la curva I − φsq di fig 4.3. Dai dati
ricaviamo un accoppiamento tra la bobina φsq e il dc-SQUID, valutato come la
corrente che deve scorrere nella bobina per accoppiare un quanto di flusso φ0
all’anello del dc-SQUID, pari a 236 µA/φ0, quindi un coefficiente di induzione
M = 8.7 pH.
Le curve caratteristiche del doppio SQUID vengono raccolte fissando il va- lore del flusso φsq in un punto dove la risposta del dc-SQUID discriminatore `e
lineare per piccole variazioni del flusso φ concatenato con l’anello di quest’ultimo (utilizzando il grafico di fig 4.3 un buon punto di lavoro si ha per φsq= 0.2φ0);
acquisendo le correnti medie della Isq le differenze che si riscontrano dal valore
iniziale sono imputabili a variazioni del flusso del doppio SQUID concatenato con il lettore; poich`e il dc-SQUID `e polarizzato nella zona lineare l’andamento di Isqmedia fornisce esattamente l’andamento del flusso concatenato con il doppio
SQUID.
Una curva caratteristica del doppio SQUID, con un valore di isteresi costante, la si ottiene fissando il valore del flusso φc e variando ad intervalli regolari
il flusso di sbilanciamento φx, acquisendo per ogni valore la corrente critica
media di switch. Per evitare che lo stato di partenza del sistema sia puramente casuale, con probabilit`a di stare nella buca di destra o sinistra proporzionale alla profondit`a di ognuna, la lettura deve seguire alla procedura di preparazione (§3.2), dove il flusso φx viene variato con un impulso di forma gaussiana fino a
4.2 Confronto dc-SQUID lettore e JJ integrata 65
Figura 4.3: Curva I − φsq del dc-SQUID lettore. Il flusso alla bobina `e espresso
in quanti di flusso φ0. La caratteristica non `e simmetrica rispetto lo zero in
flusso, con valore massimo della corrente critica per φsq = 0, a causa degli
intrappolamenti di flusso nell’anello superconduttore che definisce il dc-SQUID.
Figura 4.4: Comportamento del doppio SQUID in funzione del flusso φx, per
un valore di φc che garantisce la presenza di isteresi. Le due curve, raccolte con
far sparire completamente una delle due buche, per poi ritornare nella situazione di flusso iniziale. Il flusso di polarizzazione a rampa al dc-SQUID, per la lettura del sistema, deve essere successivo al flusso gaussiano a φxper non sovrapporre
le due procedure; il segnale a dente di sega su Isq deve quindi essere sostituito
con uno fisso a zero durante la procedura di preparazione (e manipolazione), una rampa fino ad un valore in corrente superiore alla corrente critica massima del dc-SQUID, ed un repentino ritorno a zero passando per un piccolo valore di corrente negativa per concludere il ciclo di isteresi. Per garantire la giusta sequenza temporale dei segnali, il flusso gaussiano φxdi preparazione deve essere
sincronizzato, e sfasato di un valore predefinito, con la lettura; per farlo abbiamo utilizzato un impulsatore (mod. DG535) che permette di generare 4 segnali indipendenti con ritardo variabile rispetto ad un segnale di trigger (il trigger era dato dal segnale a rampa al dc-SQUID, mentre una delle uscite andava a comandare il generatore per l’impulso gaussiano).
Una curva caratteristica del doppio SQUID preparato in up e down3, ac-
quisita per mezzo del dc-SQUID lettore, `e riportata in fig 4.4. Si noti come il debole accoppiamento induttivo tra il doppio SQUID e il dc-SQUID, garanten- do piccole variazioni della corrente Isq, ci assicura di lavorare nella zona lineare
del lettore anche per salti multipli nella caratteristica del doppio SQUID. Dai dati sperimentali, considerando che due salti consecutivi nel flusso del doppio SQUID sono distanziati di 1 φ0, ricaviamo un accoppiamento induttivo tra il
doppio SQUID e il dc-SQUID lettore pari al 2.8 %. Notiamo infine che la cur- va di caratterizzazione di fig 4.4 `e perfettamente compatibile con l’andamento sperimentale descritto in fig 2.5.
Giunzione Josephson integrata
Partiamo ad acquisire una semplice caratteristica I − V della giunzione Joseph- son grande per verificarne il suo funzionamento (fig 4.5). Notiamo subito come il valore della corrente critica massima, pari a 103 µA, sia sensibilmente maggiore a quello delle altre giunzioni Josephson stimabile dal grafico di fig 4.3 in circa 6.5 µA4. Il valore della corrente critica per la giunzione piccola di soli 6.5 µA rispetto i 9 µA stimati teoricamente va ricercato nel processo di fabbricazione del chip: la densit`a di corrente critica di 100 A/cm2 non `e uniforme su tutto il chip ed inoltre le strutture a dimensione minore (`e il caso delle giunzioni piccole) risentono maggiormente degli errori dovuti alla risoluzione litografica; invece il valore di 103 µA per la giunzione grande, dipendendo dalla corrente circolante nell’anello del doppio SQUID, non pu`o essere confrontato con quello teorico.
La lettura dello stato del doppio SQUID si effettua, esattamente come nel caso del dc-SQUID lettore, inviando alla JJ una corrente di polarizzazione a dente di sega con valore di picco superiore alla corrente critica I0L, per assicurare
il passaggio dallo stato superconduttivo al resistivo e quindi una tensione non nulla ai capi della giunzione. Il valore di corrente al quale si verifica la transizione della giunzione viene registrato ed il processo di lettura ripetuto dalle 10 alle 1000 volte per ottenere il valore medio della corrente di attivazione.
3ricordiamo che con questi termini ci riferiamo ad un impulso di preparazione gaussiano
verso l’alto o il basso, corrispondente ad aver preparato il sistema con certezza nella buca sinistra o destra
4la corrente critica massima del dc-SQUID `e due volte quella della singola giunzione
4.2 Confronto dc-SQUID lettore e JJ integrata 67
Figura 4.5: Caratteristica I − V della giunzione Josephson grande.
Figura 4.6: Caratterizzazione del doppio SQUID tramite la JJ integrata al- l’anello. Confrontando le curve con preparazione up e down si pu`o notare il comportamento isteretico dello SQUID.
L’acquisizione della caratteristica del doppio SQUID, per un valore di isteresi costante, ripercorre la tecnica del dc-SQUID lettore:
• preparazione del sistema mediante impulso gaussiano;
• invio di una corrente di polarizzazione a rampa alla giunzione Josephson integrata;
• lettura della corrente per cui avviene la transizione dallo stato supercon- duttivo al resistivo;
• ripetizione del processo di preparazione e lettura per ricavare la corrente media;
• variazione del flusso φx ripartendo con la procedura dall’inizio.
Il risultato delle acquisizioni I − φx con preparazione up e down del siste-
ma `e riportato in fig 4.6; per comprenderne la forma, sensibilmente diversa da quella ottenuta con il dc-SQUID, dobbiamo fissare l’attenzione sul processo di lettura. Il passaggio della giunzione Josephson dallo stato superconduttivo a quello resistivo si ha quando la corrente di polarizzazione della giunzione supe- ra il valore della corrente critica massima I0L; ma la corrente di polarizzazione
della giunzione `e somma della corrente di polarizzazione esterna (fornita spe- rimentalmente) e di quella circolante nell’anello superconduttore che definisce il doppio SQUID. La corrente circolante nell’anello, che definisce lo stato del nostro qubit, pu`o assumere i soli valori compresi in un intervallo [−i; +i], dove il valore di i `e tale che una corrente circolante nell’anello pari a 2i generi un quanto di flusso φ0; in tal modo il doppio SQUID far`a scorrere al suo interno
una corrente indotta tale da riportare la situazione di quantizazione del flus- soide nello stato energetico pi`u favorevole. Richiamando la curva caratteristica φx− φ del doppio SQUID (fig 2.5) le discontinuit`a nel flusso φ sono dovute a
brusche variazioni nella corrente circolante nell’anello atte a riportare il sistema in una condizione energetica favorevole; ogni salto in quel grafico corrisponde al- l’inversione del senso di circolazione della corrente i nell’anello superconduttore (anzich´e aumentare la corrente circolante per mantenere la quantizzazione del flussone al valore attuale, il sistema preferisce invertirne il verso di circolazione incrementanto di una unit`a il valore di quantizzazione).
Torniamo alla curva di fig 4.6 concentrandoci solamente su una preparazio- ne, diciamo la Up, per chiarire il risultato ottenuto. Nei punti in cui la curva assume il suo valore minimo (' 91 µA) la corrente circolante nell’anello ha il suo massimo valore assoluto e stesso verso di quella di polarizzazione fornita sperimentalmente, in questo modo la corrente di polarizzazione necessaria per far avvenire la transizione della giunzione dallo stato superconduttore al resi- stivo assume il suo valore minimo. Aumentando il flusso φx il modulo della
corrente circolante nell’anello va gradualmente diminuendo, rendendo necessa- ria una maggiore corrente di polarizzazione per la transizione della giunzione. La corrente circolante passa progressivamente dal suo massimo valore in modu- lo, allo zero, tornando nuovamente al sul massimo valore assoluto ma con segno invertito; quest’ultimo punto, nel grafico della caratteristica, `e quello a massima corrente (' 103 µA). Un ulteriore aumento del flusso di sbilanciamento φx fa
avvenire il repentino cambiamento del senso di circolazione della corrente che, riportandosi nella condizione iniziale `e pronta per un nuovo ciclo.
4.2 Confronto dc-SQUID lettore e JJ integrata 69
Dai dati sperimentali `e possibile ricavare l’accoppiamento tra la bobina φxe
il doppio SQUID che risulta pari a 870 µA/φ0, quindi un coefficiente di induzione
M = 2.4 pH.
Confronto dc-SQUID lettore e JJ integrata
Le curve caratteristiche del doppio SQUID precedentemente raccolte con i due metodi di lettura (fig 4.4 e 4.6) sono riferite ad un valore del flusso φc che
permette di avere un comportamento isteretico del sistema. Tali curve di ca- ratterizzazione possono essere raccolte per vari flussi φc, tracciando in questo
modo l’andamento dell’isteresi. La visualizzazione di molte curve in funzione del flusso φc avviene per mezzo di un grafico tridimensionale, dove nelle coordinate
x e y sono posti i due flussi φxe φc e nella coordinata z si trova, a seconda del
sistema di lettura utilizzato, la corrente di transizione del dc-SQUID lettore o della giunzione Josephson integrata. Lungo l’asse z viene adottata la visualiz- zazione a scala di grigi, dove partendo dal colore nero per i valori di corrente pi`u bassi si arriva fino al bianco per quelli pi`u elevati. Infine, la vista del grafico tridimensionale avviene dall’alto, ottenendo cos`ı una rappresentazione di tipo “grafico a contorni”.
I grafici raccolti con i due metodi di lettura, nello stesso intervallo per i flussi φxe φc, sono riportati in fig 4.7 dove le unit`a di misura dei flussi sono arbitrarie,
ma comunque proporzionali alla corrente inviata alle rispettive bobine. `E subito evidente una differenza nei grafici dovuti ai due metodi di misura: ad un valore di φc fissato, nel caso del dc-SQUID lettore la scala di grigi va dal nero per
φx= −2 al bianco per φx= 2 senza mai ripetere la stessa sfumatura, mentre nel
caso della giunzione integrata sono presenti ripetizioni della sfumatura. La cosa non `e sorprendente se ricordiamo il comportamento delle singole caratteristiche (fig 4.4 e 4.6), dove nel caso del dc-SQUID abbiamo un continuo aumento della corrente di transizione, mentre per la giunzione si presenta un “sali e scendi”. Quello che accumuna i due grafici `e il brusco cambiamento nella tonalit`a di grigio, corrispondente ad un cambio di stato nel doppio SQUID. `E facile vedere dal confronto delle curve della fig 4.7 che i due sistemi di lettura forniscono lo stesso risultato comportamentale per il doppio SQUID; si pu`o inoltre osservare, confrontando la punta della parabola a φc ' 0.25, come la lettura del sistema
preparato in down risente della deformazione del potenziale quando viene letto con la giunzione Josephson integrata (cfr §3.3.1).
Determinando, dai grafici raccolti in precedenza, i valori del flusso φc per
cui le curve caratteristiche presentano: • isteresi massima (φM AX
c );
• scomparsa dell’isteresi5 (φunione c );
• minore barriera fra le due buche del potenziale (φmin c );
abbiamo verificato che i valori numerici forniti dai due metodi di lettura sono tra loro compatibili.
Le curve per i tre casi sopra riportati sono in fig 4.8.
Figura 4.7: Confronto tra i due metodi di lettura del doppio SQUID. Si noti come, sebbene i due risultati forniscano lo stesso andamento, la lettura del sistema preparato in down risente della deformazione del potenziale quando viene letto con la JJ integrata.