Lettura dello stato tramite JJ

La giunzione Josephson inserita nell’anello del doppio SQUID, di dimensioni maggiori (10 × 10 µm2_{) rispetto le altre due (3 × 3 µm}2_{) che vanno a formare}

il dc-SQUID, `e utilizzata per effettuare una misura “diretta” dello stato del qubit ([52], [53]). La dimensione maggiore della giunzione di lettura fa s`ı che questa abbia una corrente critica (' 100 µA) sensibilmente pi`u grande delle altre due (' 9 µA), di conseguenza quando non viene alimentata influisce molto debolmente sul circuito del qubit.

Supponiamo di trovarci con il sistema in situazione di doppia buca simmetri- ca3, gli stati di qubit corrispondono a due correnti uguali e contrarie nell’anello superconduttore, che identificheremo come +Iq e −Iq (fig 3.5(a)). Alimentando

la giunzione grande con una corrente di accoppiamento I la corrente totale che attraversa la giunzione, somma di quella di accoppiamento e di quella circolante nell’anello, pu`o assumere i valori I ± Iq. La corrente di accoppiamento pu`o

essere scelta in modo che, indicando con I0L la corrente critica della giunzione

grande, siano verificate le condizioni

I + Iq > I0L

I − Iq < I0L

nel primo caso, a differenza del secondo, si osserva una differenza di potenziale ai capi della giunzione, dovuta alla transizione dallo stato superconduttore a quello resistivo.

Il metodo di lettura appena descritto viene detto a soglia perch´e permette di discriminare tra due stati a seconda del superamento o meno di un dato valore di soglia. Il principio di funzionamento `e comunque alla base di un altro metodo di lettura che permette di ricostruire il comportamento della corrente circolante nell’anello del doppio SQUID in funzione dei flussi di controllo esterno φx e φc. Tale metodo di lettura, che `e quello utilizzato per le misure riportate

in questo lavoro di tesi, verr`a descritto in dettaglio nel paragrafo 4.2; qui ci limitiamo a descriverne, per completezza, il suo funzionamento. La giunzione integrata viene alimentata con una corrente di polarizzazione a dente di sega di ampiezza superiore alla corrente critica I0L; quando viene rilevata una differenza

di potenziale ai capi della giunzione stessa si effettua una misura della corrente di polarizzazione, ottenendo in questo modo il valore della corrente che ha indotto il passaggio dello stato della giunzione dal superconduttivo al resistivo. Poich´e il passaggio di stato avviene quando la corrente che attraversa la giunzione, somma di quella di polarizzazione I e di quella circolante nell’anello del doppio SQUID (Iq), `e pari a I0L, vale la relazione I = I0L− Iq. Da quest’ultima si

deduce che l’andamento di Iq in funzione del tempo (o di altre variabili esterne,

come φx e φc) `e uguale all’andamento della corrente di transizione I tra i due

stati della giunzione.

Una stima della sensibilit`a di questo secondo metodo di lettura pu`o essere fatta a partire da una curva di escape della giunzione integrata alla temperatura di lavoro (con il termine curva di escape identifichiamo l’istogramma che si

3_{realizzabile con φ}

ottiene dalle acquisizioni ripetute della corrente di polarizzazione che induce il passaggio di stato della giunzione). A causa degli effetti di attivazione termica e quantistica, il passaggio di stato della giunzione non avviene sempre allo stesso valore I per la corrente di polarizzazione, ma si dispone attorno a questo4_.

Due stati I1

q e Iq2 del doppio SQUID li consideriamo distinguibili dal sistema

di lettura se la loro separazione `e superiore alla larghezza della curva di escape a met`a altezza. Il nostro sistema di lettura, alla temperatura di 10 mK, ci permette di distinguere correnti circolanti che differiscono di 0.1 µA (su una corrente critica di circa 100 µA); la risoluzione ottenuta `e dello stesso ordine di grandezza delle correnti circolanti che definiscono i due stati computazionali.

Figura 3.5: (a) Sistema integrato di doppio SQUID con giunzione Josephson grande per la lettura diretta dello stato. (b) Deformazione del sistema dovuta al processo di lettura. In alto, si vede come un potenziale inizialmente simme- trico venga sbilanciato verso destra di circa φ0/4 dall’applicazione della corrente

per la lettura della giunzione. Se la barriera `e abbastanza alta, come in questo caso, lo stato iniziale resta stabile, sia esso nella buca di destra (pallino nero) o di sinistra (pallino bianco). Al centro, la stessa cosa avviene anche se il poten- ziale era inizialmente sbilanciato verso sinistra. La situazione cambia (in basso) se il potenziale era gi`a inizialmente sbilanciato verso destra. Qui si osserva che lo stato iniziale resta dov’era solo se inizialmente nella buca di destra, men- tre nel caso opposto la barriera viene completamente rimossa e si osserva una transizione di stato da sinistra a destra.

Il sistema di lettura, comunque venga usato, `e fortemente invasivo e se ne deve considerare l’influenza sullo stato del qubit. Ricordiamo, da quanto visto

4_{la curva di distribuzione che se ne ottiene, detta curva di escape, viene solitamente usata}

per determinare la temperatura effettiva di rumore del sistema; infatti la sua interpolazione con la curva teorica, funzione della temperatura T , permette di risalire a quest’ultima

3.3 Metodi di lettura 57

nel paragrafo 2.5 sul doppio SQUID con JJ grande, che il sistema pu`o venire descritto con l’analogo classico di una particella che si muove in un potenziale della forma U = φ 2 b 2L(ϕ − δ − ϕx) 2

− I0φbcos ϕ − I0Lφbcos δ − Iφbδ

dove, con riferimento alla fig 3.5(a), L identifica l’induttanza dell’anello princi- pale, ϕ e δ le differenze di fase ai capi del dc-SQUID e della giunzione grande, ϕx = φx/φb il flusso di bias rinormalizzato, I0L la corrente critica della JJ

grande ed infine I0= 2io| cos(πφc/φo)|.

Dalle equazioni di Josephson si ricava che la differenza di fase δ ai capi della giunzione grande `e

δ = arcsin I + Iq I0L



`e quindi identificabile il forte accoppiamento della giunzione con la dinamica dello SQUID: la corrente di polarizzazione alla giunzione, variando la differenza di fase lungo l’anello, deforma il potenziale; analogamente, una variazione del potenziale tramite il flusso di controllo φx induce una variazione della corrente

circolante nell’anello e quindi di δ.

Nonostante la dinamica complessa, si possono ricavare alcuni semplici risul- tati per i due punti estremi I ' 0, I0L. Nel caso di correnti di polarizzazione

piccole, poich´e |Iq|  I0L, la differenza di fase δ `e approssimabile a 0; questo

fa s`ı che il comportamento del sistema sia simile a quello del doppio SQUID a meno di termini costanti, o approssimabili come tali, nell’energia potenziale U . Dall’altro lato, il passaggio dallo stato superconduttivo al resistivo per la giun- zione si ottiene a I = I0L, che porta ad una differenza di fase di circa π/2;

ovviamente, per effetti di attivazione termica e quantistica, il passaggio di sta- to per la giunzione avviene prima di I0L. Il comportamento del sistema `e ora

simile, a meno di fattori costanti nell’energia, a quello di un doppio SQUID con il flusso di bias esterno ϕxincrementato di π/2.

Quanto detto fornisce importanti informazioni sul processo di lettura dello stato del sistema. La lettura del doppio SQUID con la giunzione integrata deforma il potenziale di partenza come se agisse un flusso esterno pari a φ0/4,

quindi per mantenere il sistema “congelato” nel suo stato iniziale la lettura deve essere effettuata con una barriera tra i due minimi sufficientemente alta da garantire il non mescolamento degli stati.

In condizioni di asimmetria del potenziale molto elevate l’incremento del flusso φx di φ0/4 dovuto al processo di lettura non permette, nemmeno per

barriere di potenziale alte, una misura esatta di uno dei due stati del sistema. Quanto detto pu`o essere compreso osservando la fig 3.5(b) dove viene riportato l’effetto della misura sulla forma del potenziale; i casi riportati in figura sono, dall’alto verso il basso, quello di potenziale di partenza (grafici a sinistra):

• simmetrico,

• fortemente sbilanciato in una direzione (buca sinistra molto profonda), • fortemente sbilanciato nell’altra direzione (buca destra profonda); la “pallina” bianca o nera identifica il caso di sistema posizionato rispettiva- mente nella buca di sinistra o di destra; i grafici a destra mostrano la forma del

potenziale dopo avere incrementato di φ0/4 il flusso esterno φx. Se il potenziale

di partenza `e simmetrico o fortemente sbilanciato nella direzione con buca di sinistra profonda (primi due casi in figura), l’incremento di φ0/4 mantiene le

due buche di potenziale separate e quindi le particelle “bianche e nere” riman- gono nella loro buca di partenza; se il potenziale di partenza `e invece fortemente sbilanciato con buca di destra profonda, l’incremento di φ0/4 provoca la scom-

parsa della buca di sinistra, spostando la particella bianca nell’unico minimo di potenziale rimasto.