L’eliminazione della doppia punta nei grafici φx− φc, raccolti a bassi valori di
asimmetria tra le giunzioni, pu`o essere fatta riducendo il rapporto l/L oppure la corrente critica delle due giunzioni Josephson che vanno a formare il dc-SQUID interno ad doppio SQUID; per capire l’importanza dei due parametri dobbiamo tornare all’equazione (2.9) a partire dalla quale sono ricavate le curve teoriche φx− φc. Di quella equazione l’ultimo termine (con la presenza del fattore γ) `e
responsabile della comparsa del doppio picco nelle curve φx− φc, il penultimo
(dipendendo dal fattore di asimmetria tra giunzioni) causa l’inclinazione delle curve, mentre i primi due corrispondono al caso ideale di asimmetria nulla ed l uguale a zero. Ne segue che una riduzione della doppia punta nei grafici φx− φc
pu`o essere fatta riducendo il fattore γ, e quindi il prodotto βlβL= (I02Ll)/(φ2b);
quest’ultimo pu`o quindi essere abbassato riducendo il valore dell’induttanza l o della corrente critica I0delle giunzioni.
Poich´e la diminuzione della corrente critica I0 influisce quadraticamente
mentre la riduzione dell’induttanza solamente linearmente, abbiamo provveduto a sostituire il chip con uno a corrente critica minore, tra tutti quelli disponibili, sul quale abbiamo cercato di ridurre l’area efficace dell’induttanza l effettuando
6.5 Rimozione della terza buca 117
Figura 6.8: Nel caso di caratteristica φx− φcdeformata a causa dell’asimmetria
delle giunzioni, preparare il sistema in (1) e poi muoverlo verso destra lungo la linea orizzontale tratteggia `e diverso che non prepararlo in (2) e muoverlo verso sinistra.
Figura 6.9: Evidenza sperimentale della presenza di una terza buca nel poten- ziale del sistema. (a) La caratteristica Isq− φxprova che il sistema preparato il
down ha un solo cambiamento di stato mentre preparato in up presenta due cam- biamenti. (b) Gli istogrammi dimostrano che in (3) e (4) il potenziale presenta una doppia buca.
6.5 Rimozione della terza buca 119
un ricoprimento superconduttivo tramite litografia a fascio elettronico a scrittu- ra diretta, deposizione e lift-off. La verifica che la corrente critica del nuovo chip fosse effettivamente minore del caso precedente l’abbiamo ottenuta acquisendo una caratteristica I − V del dc-SQUID discriminatore.
Le curve φx− φc raccolte sul nuovo chip (fig 6.10) provano come la corrente
critica e l’induttanza l ridotte abbiano effettivamente rimosso la situazione di doppia punta nel grafico φx− φc, eliminando di fatto la presenza della terza
buca nel caso di bassa barriera di potenziale tra i minimi.
Figura 6.10: Dati sperimentali raccolti nel corso della terza serie di misure. La minore corrente critica e la riduzione dell’induttanza l hanno rimosso la situazione di doppia punta dal grafico φx− φc.
Il risultato ottenuto nel corso della terza serie di misure ci fa comprendere come la pregettazione del chip debba essere fatta con grande attenzione, per evitare gli effetti spuri dovuti alla dinamica del dc-SQUID interno al doppio SQUID che non pu`o essere considerato come una semplice giunzione Josephson a corrente critica variabile.
Conclusioni
In questo lavoro di tesi `e stata studiata la possibilit`a di realizzare un qubit in stati di flusso utilizzando un doppio SQUID.
Abbiamo visto che per tale sistema i due stati computazionali possono essere identificati con il verso della corrente che circola nell’anello superconduttore che definisce il doppio SQUID, e che questi corrispondono a due diversi valori di flusso concatenato. Sono quindi stati descritti i due possibili metodi di lettura del sistema:
• lettura diretta della corrente circolante nell’anello superconduttore per mezzo di una giunzione Josephson integrata su quest’ultimo;
• lettura indiretta dello stato del qubit determinandone il flusso concatenato grazie ad un dc-SQUID isteretico;
e provato che i risultati forniti dai due metodi di lettura sono tra loro compatibili. Il lavoro sperimentale si `e poi concentrato sullo studio delle tecniche di pre- parazione e manipolazione per abbassamento della barriera tra i due minimi del potenziale, approfondendo la dinamica del sistema a bassissima temperatura (10 mK).
Dopo una prima serie di misure alla temperatura dell’elio liquido (4.2 K), do- ve abbiamo provato le tecniche di preparazione del sistema attraverso variazioni del flusso φx concatenato con l’anello principale del doppio SQUID ed i mec-
canismi di evoluzione degli stati computazionali dovuti all’abbassamento della barriera di potenziale tra i due minimi per variazioni del flusso φc, siamo passati
a studiare il comportamento del sistema in regime quantistico, alla temperatura di 10 mK.
Nel corso di quest’ultimo ciclo di misure il sistema ha dimostrato una dina- mica molto pi`u complessa di quella attesa; il comportamento a basse barriere tra i due minimi del potenziale `e caratterizzato dalla presenza di una ulteriore condizione di minimo tra le due buche che definiscono gli stati computazionali |Li e |Ri. La presenza di questa terza buca nel potenziale non permette l’in- staurarsi del processo di oscillazione libera tra gli stati |Li e |Ri, ma uno studio accurato ha permesso di risalire alla causa ed ha indicato la soluzione che pu`o essere adottata nel prossimo disegno del chip.
Si `e verificato che a basse barriere di potenziale entra in gioco la dinamica del dc-SQUID interno al doppio SQUID, il cui comportamento non pu`o pi`u essere considerato analogo a quello di una giunzione Josephson con corrente critica modulabile. In particolare, i parametri che influiscono sul comportamento del sistema a bassa barriera sono il fattore di asimmetria tra le correnti critiche delle due giunzioni Josephson che definiscono il dc-SQUID e l’induttanza l di
quest’ultimo. Tutti i dati sperimentali raccolti hanno mostrato un buon accordo con le curve teoriche ottenute considerando correzioni al secondo ordine per la asimmetria delle giunzioni ed il valore l.
Quest’ultimo fatto ci porta a concludere che la progettazione e lo studio del doppio SQUID come qubit deve tenere conto degli effetti al secondo ordine nella dinamica del sistema. Forti di questo risultato abbiamo provato a ridurre tali effetti utilizzando un chip per cui le correnti critiche delle giunzioni fossero minori e sul quale era stata fatta una operazione litografica per ridurre l’indut- tanza l. I dati sperimentali raccolti su quest’ultimo chip hanno provato che `e effettivamente possibile rimuovere la terza buca di potenziale nella dinamica del sistema e che quindi, sotto opportune condizioni, il doppio SQUID continua a rimanere un ottimo candidato per la realizzazione di un qubit.
Allo stato attuale sta per essere effettuata una quarta serie di misure sull’ul- timo chip studiato sperimentalmente per verificare l’esistenza delle oscillazioni coerenti di libera evoluzione tra gli stati computazionali |Li e |Ri; `e inoltre in corso di progettazione un nuovo chip per evitare i problemi riscontrati con il vecchio disegno.
Appendice A
Diagonalizzazione di matrici
Hermitiane a dimensione 2
Sia data una matrice Hermitiana di dimensione 2 H =
H11 H12
H21 H22
nella base ortonormale {|ϕ1i, |ϕ2i}. Data l’Hermitianit´a ne segue che H11e H22
sono reali, mentre per i termini fuori diagonale vale la relazione H12= H21∗
La matrice H pu`o essere scritta come somma di due termini H = 1 2(H11+ H22) 0 0 12(H11+ H22) + 1 2(H11− H22) H12 H21 −12(H11− H22) =1 2(H11+ H22)I + 1 2(H11− H22)H 0 (A.1)
dove H0 `e definita come
H0= 1 2H12 (H11−H22) 2H21 (H11−H22) −1 !
Gli autovettori della matrice H, che indicheremo |ψ±i, sono gli stessi della
matrice H0. Detti E± gli autovalori della matrice H ed E±0 quelli della matrice
H0 si ha E± = 1 2(H11+ H22) + 1 2(H11− H22)E 0 ±
quindi il problema della diagonalizzazione di H `e ricondotto a quello della diagonalizzazione di H0.
Oss: il termine diagonale nell’equazione (A.1) non gioca nessun ruolo fon- damentale, pu`o infatti essere eliminato scegliendo come origine degli autovalori la quantit`a 12(H11+ H22).
La diagonalizzazione di H0 pu`o essere fatta con estrema facilit`a definendo
due angoli ϑ e ϕ come
tan ϑ = 2|H21| H11− H22
H21= |H21|eiϕ 0 ≤ ϕ < 2π
poich´e H12= H21∗ si ha |H12| = |H21| e
H12= |H12|e−iϕ
la matrice H0 pu`o essere riscritta
H0 =
1 tan ϑe−iϕ tan ϑeiϕ −1
i suoi autovalori possono essere calcolati scrivendo l’equazione caratteristica, ed ottenendo E±0 = ± 1 cos ϑ = ± q (H11− H22) 2 + 4|H12| 2 H11− H22
e da questi si risale immediatamente agli autovalori di H:
E±= 12(H11+ H22) ±21p(H11− H22)2+ 4|H12|2
Gli autovettori |ψ±i possono essere calcolati con la stessa facilit`a. Fissiamo
l’attenzione sull’autovalore |ψ+i, la sua scrittura sulla base {|ϕ1i, |ϕ2i} sia
|ψ+i = a|ϕ1i + b|ϕ2i
dall’equazione agli autovettori H0|ψ+i = E+0 |ψ+i si ha
1 tan ϑe−iϕ
tan ϑeiϕ −1
a b = 1 cos ϑ a b
che fornisce (consideriamo solo la prima delle due equazioni perch´e la seconda porta allo stesso risultato)
a + tan ϑe−iϕb = 1 cos ϑa
arrangiando i termini e moltiplicando per cos ϑeiϕ/2si ottiene
(cos ϑ − 1)eiϕ/2a + sin ϑe−iϕ/2b = 0
operando le sostituzioni (cos ϑ−1) = cos ϑ−cos 0, sin ϑ = sin ϑ+sin 0; usando le formule di addizione e sottrazione per le funzioni circolari sin e cos1e dividendo
per sin ϑ/2 si arriva alla − sinϑ 2e iϕ/2 a + cosϑ 2e −iϕ/2b = 0 1
sin x1± sin x2= 2 sin
x1± x2 2 cos x1∓ x2 2 cos x1+ cos x2= 2 cos
x1+ x2 2 cos x1− x2 2 cos x1− cos x2= −2 sin
x1+ x2 2 sin x1− x2 2
125
dove una soluzione si ha per
a = cosϑ 2e −iϕ/2 b = sinϑ 2e iϕ/2
Procedendo in modo analogo per |ψ−i si possono scrivere gli autovettori di H:
|ψ+i = cosϑ2e−iϕ/2|ϕ1i + sinϑ2eiϕ/2|ϕ2i
|ψ−i = − sinϑ2e −iϕ/2|ϕ
Appendice B
Parametri per reti a
radiofrequenza
Nel campo dei segnali a microonde ed alle alte frequenze non esistono strumenti che permettano una misura diretta di tensioni e correnti; per tale motivo sono stati introdotti una serie di parametri che permettono di descrivere in funziona- mento di una linea o componente ad altra frequenza senza perdita di generalit`a o di informazione. In questa appendice vengono introdotti i parametri fonda- mentali per la descrizione di un elemento operante alle alte frequenze (maggiori informazioni si possono trovare in [60]); `e bene notare che i concetti che seguono valgono anche per i segnali a bassa frequenza.
B.1
Parametri di scattering S
Consideriamo l’elemento di rete in fig B.1; V (t) sia la tensione generata ed inviata all’elemento, Z01 e Z02 le impedenze di carico terminali, V1, V2ed I1, I2
le tensioni e correnti sulle due porte.
Figura B.1: Definizione dei simboli per il singolo elemento di rete. Poich´e `e difficile, se non impossibile, misurare tensioni e correnti nel range delle alte frequenze, vengono introdotte le quantit`a a1[2] e b1[2] rappresentanti
l’onda incidente e riflessa nella porta 1 [2]. Le relazioni con le quantit`a sopra sono: Vn= √ Z0n(an+ bn) n = 1, 2 In =√Z1 0n(an− bn)
Si definiscono variabili di scattering S le quantit`a: S11= ba11 a 2=0 S12= ab12 a 1=0 S21= ba21 a 2=0 S22= ab22 a 1=0
dove an = 0 `e il caso di assenza di riflessioni dovute alle impedenze di carico
terminali (adattamento ideale del carico). In forma compatta si pu`o scrivere
b = b1