L’equazione di continuità per una sostanza isotropa disperdente atmosfera Il principio di conservazione della massa di una generica sostanza i , contenuta in una

porzione di atmosfera, è espresso dall’equazione di continuità per quella sostanza. Quest’ultima può essere ricavata nella maniera seguente. Si consideri una porzione di fluido atmosferico composto da un numero N di sostanze. Si indichi con t la variabile tempo e con x = (x1, x2, x3) il vettore delle coordinate euleriane di un qualsiasi punto

dello spazio. Sia inoltre:

(4.1)

la concentrazione della sostanza inquinante i nel punto x e all’istante t. Si indichi poi con v = (v1, v2, v3) il vettore della velocità del fluido atmosferico.

Ogni componente vjdi tale velocità è funzione della posizione e del tempo:

(4.2)

Si supponga poi che nel fluido considerato avvengano delle reazioni chimiche, coinvolgenti in generale tutte le sostanze presenti, le quali provochino la variazione nel tempo della concentrazione della sostanza i.

Si indichi con Ri la variazione netta di concentrazione relativa all’unità di tempo, uguale alla somma dei contributi di incremento e di diminuzione determinati dalle reazioni. Questi ultimi avranno segno positivo quando le reazioni producono un aumento di concentrazione e negativo nel caso opposto. Si può assumere che Ri sia

funzione delle concentrazioni delle sostanze reagenti e della temperatura locale assoluta

T del fluido:

(4.3)

Si ipotizzi, infine, che all’interno del fluido siano presenti un certo numero di sorgenti di emissione della sostanza i che provochino, nel punto x e all’istante t, una variazione (positiva) di concentrazione per unità di tempo uguale a:

(4.4)

Si consideri ora un volume arbitrario V di fluido, sia A l’area della sua superficie di contorno ed n il vettore normale a tale superficie in un generico punto. L’equazione di continuità dell’inquinante può essere scritta imponendo che, nel volume considerato, la derivata sostanziale della massa della sostanza i sia uguale alla somma delle variazioni della massa nell’unità di tempo, dovute ai diversi fenomeni che avvengono nel volume stesso. Si assuma ora che la sostanza i sia isotropa.

Una prima causa di variazione della massa è la diffusione molecolare, che implica l’esistenza di un flusso di massa f per unità di area attraverso la superficie A. Il flusso di diffusione molecolare viene generalmente considerato proporzionale al gradiente di concentrazione •ci:

(4.5)

dove il fattore di proporzionalità vm che, nel caso più generale, è rappresentato dal

tensore della diffusività molecolare, mentre quando il fluido è isotropo può essere considerato costante e prende il nome di coefficiente di diffusività molecolare. Le altre due cause di variazione della massa sono date dalla presenza all’interno del volume di fenomeni di reazione chimica e di sorgenti di emissione, che producono come visto delle variazioni di concentrazione per unità di tempo pari rispettivamente a Ried Si.

L’equazione di continuità che si ottiene è la seguente:

(4.6)

Applicando inoltre il teorema del trasporto e quello della divergenza di Gauss si ottiene, sempre nell’ipotesi che il fluido sia isotropo [Marchi et al., 1981]:

(4.7)

Poiché il volume scelto è arbitrario, l’equazione precedente può essere scritta anche per le funzioni integrande. Si ha quindi l’equazione di continuità per la sostanza i

(4.8)

che in componenti si scrive:

(4.9)

Al primo membro dell’equazione compare la somma di due termini. Il primo rappresenta il tasso totale di variazione della concentrazione della sostanza i nel punto x all’istante t riferito a un sistema di coordinate euleriane.

Il secondo termine rappresenta, invece, il tasso di variazione della concentrazione dovuto al movimento del fluido, ovvero al trasporto di materia causato dal vento.

Al secondo membro compaiono le aliquote di variazione della concentrazione, dovute alle diverse cause ipotizzate: il primo termine esprime il contributo dovuto alla diffusione molecolare turbolenta, mentre gli ultimi due, rappresentano le variazioni di concentrazione dovute rispettivamente alle reazioni chimiche e alle sorgenti di emissione presenti nel fluido considerato.

La soluzione dell’equazione di continuità per una data sostanza i dovrebbe essere, dal punto di vista teorico, ricercata tenendo conto che il vettore velocità v e la temperatura T del fluido devono soddisfare anche le equazioni della conservazione della quantità di moto (o di Navier-Stokes) e della conservazione dell’energia del fluido, le quali tengono a loro volta conto anche dell’equazione della conservazione della massa e di quella di stato riferite all’intera porzione di fluido costituita da N sostanze. Nelle teorie della dispersione delle sostanze inquinanti nell’atmosfera si può peraltro ammettere che tali sostanze, essendo presenti nell’aria in concentrazioni molto basse, non influenzino significativamente con la loro presenza, il comportamento termodinamico delle masse d’aria, anche a scala locale. Con questa ipotesi la velocità v e la temperatura T del fluido possono essere considerate indipendenti dalle concentrazioni c delle sostanze inquinanti in esso contenute, e quindi l’equazione di continuità per queste ultime può essere risolta indipendentemente dalle due altre equazioni del moto e dell’energia.

La soluzione dell’equazione di continuità relativa alla generica sostanza i è possibile qualora si conoscano le espressioni delle tre componenti della velocità del fluido v ,oltre che delle variazioni di concentrazione indotte dalle reazioni chimiche (Ri) e dalla

presenza di sorgenti di emissione (Si). Nei fenomeni di dispersione nell’atmosfera reale

la soluzione dell’equazione è però resa difficoltosa da diverse cause.

La più importante è data dalle caratteristiche turbolente del moto dell’aria, che implicano che le componenti della velocità del vento siano da considerarsi funzioni casuali sia del tempo che dello spazio. In secondo luogo, risulta in pratica impossibile conoscere l’esatto andamento della funzione S al variare del tempo e della posizione, cosicché anch’essa deve essere schematizzata come una funzione casuale.

In conseguenza della natura casuale della velocità dell’aria e delle variazioni di concentrazione indotte dalle sorgenti di emissione, anche la concentrazione c risulta essere una funzione casuale del tempo e dello spazio. Proprio a causa di questa natura casuale delle variabili esplicative, il problema della descrizione della dispersione, che è poi quello di determinare l’andamento di c in funzione- dello spazio e del tempo, non risulta risolubile in modo esatto. È necessario allora procedere secondo un approccio semplificato, che consiste nel ricavare l’equazione di continuità per le quantità medie.