4.4. Il modelli lagrangian
4.4.7. Il modello gaussiano per sorgenti linear
Il modello gaussiano è stato finora sviluppato per il calcolo della concentrazione determinata dalla presenza di una sorgente puntuale continua. Nello studio della dispersione degli inquinanti dovuti al traffico, è però necessario tener conto di sorgenti lineari che rappresentino le strade. L’estensione al caso di sorgente lineare può essere effettuata schematizzando questo tipo di sorgente, come un insieme composto da un certo numero (finito o infinito) di sorgenti puntuali. Poiché la concentrazione dovuta a ogni punto della sorgente può essere calcolata impiegando l’equazione gaussiana della dispersione vista precedentemente, allora la concentrazione dovuta alla sorgente lineare risulta dalla sommatoria o dall’integrazione dei contributi dovuti ai singoli punti emettenti. Ai due diversi casi in cui si ricorre alla somma o all’integrazione, parlando rispettivamente di approccio discreto o continuo.
I modelli ottenuti attraverso questi due approcci possono essere utilizzati per calcolare la dispersione conseguente alla presenza di una singola sorgente lineare.
Qualora poi si voglia estendere il modello al caso di un insieme di più sorgenti lineari, è poi sufficiente sommare i contributi di concentrazione.
Nell’approccio continuo si deve considerare un sistema di riferimento ortogonale (x, y, z) di R3 di centro O (0,0,0), che sarà indicato come sistema di riferimento principale. Una generica sorgente lineare in R3, può essere geometricamente rappresentata da una curva monodimensionale nello spazio a tre dimensioni. Si
supponga che tale curva ammetta una rappresentazione parametrica, ovvero che possa essere specificata attraverso un’applicazione del tipo:
(4.79)
di componenti:
(4.80)
dove t∈ [a, b] è il parametro della curva e a, b ∈ R. In tal caso le coordinate (x, y, z) di tutti i punti di f si ottengono dalle relazioni precedenti facendo variare il parametro ordinatamente da a a b. Si supponga poi che l’applicazione f sia derivabile, ovvero che tutte le sue componenti fj(j=1,2,3), siano funzioni derivabili in [a, b]. Se si indica con
f’j(t) la derivata della j-esima componente di f rispetto al parametro t, la derivata della
curva è:
(4.81)
La lunghezza L(f) della curva f è data, per definizione, dall’integrale
monodimensionale:
(4.82)
dove |f’(t)| indica la norma in R3del vettore f’j(t), data da:
(4.83)
Si assuma che la sorgente lineare emetta la sostanza i ad un tasso costante pari a QL,
espresso in unità di massa per unità di tempo e per unità di lunghezza della linea. Si assuma poi che il vettore della velocità media del vento v giaccia in un piano parallelo al piano z=0. Nel caso generale, esso non è allineato con nessuno degli assi del sistema di riferimento. Sia quindi q l’angolo formato dal vettore v con l’asse x. Si consideri adesso un segmento infinitesimo della sorgente lineare, di lunghezza L(df). Si avrà che:
(4.84)
Siano (X,Y,Z) le coordinate del punto centrale del segmento infinitesimo df rispetto al sistema di riferimento (x, y, z). Si ponga adesso un sistema di riferimento ausiliario ortogonale (x,y,z) di R3
con centro in O’=(X,Y,Z) l’asse parallelo alla direzione della velocità media del vento e l’asse parallelo all’asse z (Fig. 4.12).
Fig. 4.11. Sistemi di riferimento
Un sistema di riferimento siffatto è tale che se il suo centro è posto in corrispondenza del punto df, rispetto ad esso si possa scrivere l’equazione gaussiana per il calcolo
della concentrazione emessa a tasso QL dalla sorgente puntuale df. Si ha allora che il
contributo di concentrazione dci, dovuto al segmento df con centro in (X,Y,Z) ed
espresso nel sistema di coordinate (x,y,z), è dato da:
(4.85)
dove il termine:
(4.86)
rappresenta il contributo di dispersione verticale e tiene anche conto anche delle riflessioni dovute alla superficie terrestre e allo strato di inversione termica.
Nelle due equazioni precedenti, si ha che x,z ≥0. La funzione F , contiene soltanto il termine di innalzamento del pennacchio Dh ,anziché l’altezza effettiva H in quanto si è supposto che, rispetto al sistema (x,y,z) la sorgente si trova a quota zero.
Allo scopo di calcolare la dispersione dovuta all’intera sorgente f(t), è necessario
esprimere la concentrazione in funzione del sistema di riferimento principale. La relazione tra i due sistemi di coordinate (x,y,z) e (x,y,z) è la seguente:
(4.87)
per cui si definisce il l’espressione dcied F.
Per ottenere la concentrazione totale dovuta alla sorgente lineare di andamento f(t) è adesso necessario integrare l’equazione precedente per il punto origine (X,Y,Z) che percorre l’intera linea. Si deve porre quindi:
(4.88) ottenendo: ( ) = ∫( mix rif ) L rif mix i v x y z ST h N Q N h ST z y x c , , | , , , 2 , , , | , , ϑ π ϑ (4.89)
L’espressione della concentrazione totale <ci> dovuta all’intera sorgente lineare può
essere calcolata solo se si è in grado di risolvere l’integrale
∫
. Sfortunatamente, tale integrale non possiede una forma analitica chiusa generale; esso può però essere risolto semplificando la sua espressione attraverso l’adozione di opportune ipotesi.L’approccio discreto al calcolo delle concentrazioni dovute a una sorgente lineare consente di determinare il valore delle concentrazioni cercate impiegando procedimenti di somma anziché di integrazione.
Si consideri un sistema di riferimento ortogonale (x, y, z) di R di centro O=(0,0,0). Una generica sorgente lineare h può essere considerata come la successione di m sorgenti puntuali h
i
p , ognuna di coordinate:
(4.90)
Si scelga un sistema di riferimento ortogonale ausiliario (x,y,z) con centro in O=pih l’asse x coincidente con la direzione della velocità media del vento e l’asse z
coincidente con l’asse z. Il contributo alla concentrazione nel generico punto (x,y,z) derivante dalla sorgente localizzata in pih sarà dato da:
(4.91)
dove h i p
Q , è il tasso di emissione della sorgente in (x,y,z) espresso in massa per
unità di tempo, e x misura la distanza tra i punti (x,y,z) e pihsecondo la direzione del
vento. Poiché la relazione tra i sistemi di riferimento (x,y,z) e (x,y,z) di R3 è la seguente:
(4.92)
A questo punto si calcolano le concentrazioni delle sorgenti lineari i-esime dovute alla sorgente inpih.
A questo punto è semplice calcolare la concentrazione relativa a una intera sorgente lineare h, formata da m punti, sommando i singoli contributi:
(4.93)
Analogamente, la concentrazione dovuta a un insieme Nsdi sorgenti lineari e:
(4.94)
Un esempio di applicazione dell’approccio discreto al calcolo della concentrazione derivante da una o più sorgenti lineari si può trovare nel software APRAC3 dell’U.S. Environmental Protection Agency limitatamente al caso del calcolo dettagliato delle concentrazioni in corrispondenza delle intersezioni stradali [Simmon et al., 1981].
Altri software molto diffusi utilizzano metodi misti che utilizzano in parte l’approccio discreto e in parte l’approccio continuo risolto attraverso l’integrazione numerica.
Tra questi troviamo l’HIWAY [Horowitz, 1982], il modello del Transport and Road Research Laboratory [Hickman e Colwill, 1982; Hickman e Waterfield, 1984] e il CALINE4 [Benson et al., 1986].