Le soluzioni numeriche dell’equazione della dispersione atmosferica

Le soluzioni analitiche ricavabili dall’equazione della dispersione atmosferica sono di applicabilità limitata, poiché possono essere ricavate esclusivamente ammettendo delle ipotesi fortemente restrittive sulle espressioni delle componenti Kjk del tensore della

diffusività turbolenta e della velocità media del vento v. Questa limitazione può essere superata con l’ausilio degli elaboratori elettronici, le cui potenzialità consentono di ottenere soluzioni numeriche dell’equazione. I metodi per ricavare tali soluzioni possono essere diversi, come a esempio quello delle differenze finite, degli elementi finiti, delle tecniche di divisione, delle tecniche di analisi spettrale, ecc. I maggiori problemi che limitano l’applicabilità delle tecniche numeriche di risoluzione sono

dovuti alle instabilità numeriche che comportano l’amplificazione degli errori introdotti nel procedimento. La trattazione delle tecniche numeriche applicate al problema della dispersione può essere, a esempio, ritrovata in Peyret e Taylor, (1983).

4.3.6. Il modello box

I modelli euleriani a box sono una categoria di modelli di dispersione basati su una scrittura semplificata dell’equazione della conservazione della massa di una sostanza disperdente in atmosfera. Essi sono sviluppati sull’ipotesi che l’area di studio possa essere considerata come una porzione parallelepipeda di atmosfera (box), delimitata superiormente da uno strato di inversione termica e nella quale la generica sostanza inquinante i si disperda istantaneamente, dando luogo a concentrazioni uniformi su tutto il volume considerato. Si suppone, inoltre, che la velocità del vento sia costante in tutto il volume e che l’altezza di quest’ultimo, che per quanto detto coincide con l’altezza di mescolamento, aumenti in funzione del tempo, come generalmente avviene durante il giorno.

Allo scopo di ricavare un’equazione che descriva la dispersione della sostanza i in queste condizioni, si consideri un parallelepipedo di atmosfera con la base di area A e altezza pari all’altezza di mescolamento hmix. Scelto un sistema di riferimento come in

figura 4.3, si indichino con Dx1 e Dx2, le due dimensioni della base del box nelle

direzioni dei due assi coordinati corrispondenti. Si avrà che:

(4.18)

Sia la velocità del vento costante e si assuma per semplicità che essa abbia direzione coincidente con l’asse x1:

(4.19)

Sia inoltre l’altezza di mescolamento funzione del tempo:

(4.20)

e sia presente nel volume considerato un insieme di sorgenti di emissione che produca un contributo di concentrazione per unità di area e per unità di tempo pari a:

Sia infine Rila variazione netta di concentrazione indotta dalle reazioni chi miche che

avvengono nel volume del box, espressa in massa per unità di volume e per unità di tempo. Essa è funzione delle concentrazioni di tutte le N sostanze reagenti presenti nel box:

(4.22)

Fig. 4.3. Schema del modello box

La concentrazione c della sostanza i nel parallelepipedo è indipendente dalle tre coordinate spaziali ma funzione del tempo:

(4.23)

Le condizioni al contorno necessarie per lo sviluppo della descrizione matematica del problema riguardano i valori della concentrazione della sostanza i immediatamente adiacenti al box considerato. Si indichi allora con:

(4.24)

la concentrazione media presente al tempo t immediatamente al di sopra del box, e con:

(4.25)

la concentrazione media presente al tempo t in corrispondenza del piano x1=0, ovvero

immediatamente fuori dal lato sottovento del box. Nelle condizioni ipotizzate, le variazioni di concentrazione della sostanza i nel volume del box in funzione del tempo sono dovute a quattro diverse cause: l’aumento dell’altezza di mescolamento, le emissioni, le reazioni chimiche e il trasporto della sostanza dovuto al vento.

All’istante t il volume d’aria contenuto nel box è uguale ad A*hmix(t), la

concentrazione della sostanza i è ci(t) e la massa presente nel box A*hmix(t)*ci(t).

Si indichi con Dt un intervallo di tempo infinitesimo e si consideri l’istante t+Dt. Si

supponga che a tale istante l’altezza di mescolamento sia aumentata di una quantità

Dhmix.

Il volume contenuto nel box all’istante t+Dt è quindi pari a A*[h(t)+Dhmix].

L’aumento dell’altezza di mescolamento influenza il livello di concentrazione della sostanza i per due ragioni diverse. In primo luogo, l’aumento di volume del box implica che la massa A*hmix(t)* ci(t) della sostanza i presente nel box all’istante t dia luogo, al

successivo istante t+Dt, a una concentrazione media pari a A*hmix(t)* ci(t)/

A*[h(t)+Dhmix].

La differenza di concentrazione fra l’istante t e l’istante t+Dt dovuto all’aumento di volume è quindi una:

(4.26)

In secondo luogo, si può assumere che, nell’intervallo di tempo considerato, l’aumento dell’altezza di mescolamento causi l’ingresso nel box di una massa pari ad

A*Dhmix(t)* ci,top(t) di sostanza i presente al di sopra di esso. Tale ipotesi è verosimile

durante il mattino, ma è poco consistente se riferita alle ore notturne [Horowitz, 1982]. Il conseguente aumento di concentrazione sarà dato da:

(4.27)

La variazione globale di concentrazione fra l’istante t e l’istante t+Dt dovuta

all’aumento dell’altezza di mescolamento, sarà quindi uguale alla somma dei due contributi causati dall’aumento di volume del box e dall’ingresso in esso di una massa aggiuntiva di sostanza:

La presenza delle sorgenti di emissione nel volume del box causano poi, nel lasso di tempo pari a Dt, un aumento di massa della sostanza i pari aA⋅Qi_A

( )

Il relativo aumento di concentrazione è:

(4.29)

L’esistenza di reazioni chimiche causa anch’essa una variazione della massa di sostanza i presente nei box. Tale variazione è, nell’intervallo Dt, pari a

A*hmix(t)*Ri(t)*D(t) e causa una variazione di concentrazione uguale a:

(4.30)

L’ultima causa di variazione della concentrazione durante l’intervallo Dt è

rappresentata dai fenomeno del trasporto di massa dovuto al vento.

Durante il tempo compreso tra t e t+Dt, un volume d’aria pari a Dx2*hmix(t)*v*Dt

viene trasportato all’interno del box e un volume di pari entità viene da esso estromesso. Di conseguenza, una massa di sostanza i pari a ci,b(t)*Dx2*hmix(t)*v*Dt viene

trasportata all’interno del box, mentre una massa uguale a ci,(t)*Dx2*hmix(t)*v*Dt viene

trasportata al di fuori. La conseguente variazione di concentrazione è quindi uguale a:

(4.31)

La variazione totale Dcidella concentrazione della sostanza i nell’intervallo di tempo

Dt è uguale alla somma dei quattro contributi considerati:

(4.32)

ovvero:

(4.33)

Dividendo l’equazione precedente per Dt e calcolando il limite per ∆t→0 si ottiene, infine, l’equazione differenziale di base del modello a box:

(4.34)

Tale equazione è suscettibile di ulteriori semplificazioni utili alla descrizione di alcuni casi particolari.

In primo luogo, si consideri il caso un cui l’altezza di mescolamento non aumenti ma rimanga invariata o diminuisca durante l’arco di tempo considerato. Poiché questo fenomeno non produce alcun cambiamento delle concentrazioni nel volume considerato, si deve assumere che:

(4.35)

e quindi il modello si trasforma nell’equazione differenziale lineare non omogenea:

(4.36)

di cui una soluzione è ad esempio:

(4.37)

Un altro caso semplificativo, ma utile, in pratica è quello in cui si hanno condizioni stazionarie rispetto al tempo. In tal caso, poiché:

(4.38)

la soluzione dell’equazione differenziale è semplicemente:

(4.39)

ed esprime la concentrazione presente in condizioni stazionarie, ovvero nelle condizioni in cui si sia raggiunta una configurazione di equilibrio rispetto al tempo.

La natura della soluzione di equilibrio ci,eq del modello a box può essere evidenziata

anche in altra maniera. Si supponga, infatti, di trascurare la dipendenza dal tempo dell’altezza di mescolamento e si moltiplichi l’equazione differenziale generale del modello a box per il tempo Dx1/v necessario ad una particella d’aria per attraversare

(4.40)

Si indichi ora con t* la variabile data da tv/Dx1che esprime in forma adimensionale il

tempo t. L’espressione precedente può essere scritta come:

(4.41)

La soluzione di quest’ultima equazione è uguale a:

(4.42)

dove c è la concentrazione all’istante iniziale (t=t*). Come si vede in figura 4.4, a partire dall’istante iniziale la concentrazione c aumenta all’aumentare di t* (e quindi di

t) sempre più lentamente fino a raggiungere il valore di equilibrio cieq.

I modelli a box fin qui descritti richiedono lo stesso tipo di dati in ingresso richiesti dagli altri modelli euleriani, ma non necessitano che essi siano disaggregati spazialmente. Essi infatti possono essere impiegati con la sola conoscenza, per ogni sostanza disperdente, dell’espressione in funzione del tempo dei tassi di emissione medi, della velocità media del vento e delle concentrazioni medie al contorno, tutte riferite all’intera area in esame. Ciò consente ovviamente di operare una notevole semplificazione. Ad aumentare la semplicità del modello a box si aggiunge il fatto che esso non richiede la soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali, ma solo equazioni differenziali ordinarie. Di contro, questo tipo di modelli fornisce risultati medi relativi all’intera area di studio e non può essere utilizzato per stimare le concentrazioni a livello locale. La loro maggiore utilità si dimostra nella valutazione di massima delle concentrazioni di quelle specie di inquinanti che comportano maggiori problemi in determinate aree (screening models) oppure nella stima delle concentrazioni medie di area di quelle sostanze inquinanti persistenti, che sono intrappolate nei bassi strati dell’atmosfera dalla presenza dello strato di inversione termica e che prendono parte a reazioni chimiche significative (ozono, ossidi di azoto).

Una tipica applicazione dei modelli a box consiste nella stima delle concentrazioni medie spaziali di sostanze inquinanti nelle aree urbane, dove le ipotesi relative alla presenza di un volume più o meno omogeneo delimitato verticalmente dallo strato di inversione termica e alla distribuzione delle sorgenti di emissione possono essere

considerate sufficientemente rappresentative. Esempi di applicazioni di questo tipo sono citate in [Horowitz, 1982] e [Zannetti, 1990].

Fig. 4.4. Andamento del rapporto ci/ci,eqin funzione di t nell’ipotesi che sia c0=0