Per quanto riguarda le competizioni internazionali, i mi- gliori 6 studenti italiani vanno a formare la squadra ita- liana alle IMO (International Mathematical Olympiad), che vengono organizzate ogni anno in una nazione diver- sa e vedono la partecipazione di un notevole numero di nazioni (107 nel 2018). I 6 studenti selezionati non sono necessariamente i primi 6 classificati nella Finale Na- zionale: essi vengono infatti scelti tenendo conto anche della loro precedente esperienza internazionale e in base ai risultati ottenuti negli stage residenziali di approfondi- mento organizzati dalla Commissione Olimpiadi ì a Pisa a settembre, gennaio e maggio. Agli stage di settembre e gennaio partecipano studenti invitati dall’organizzazione e altri volontari, tutti sottoposti a un test di ammissione: in totale si tratta di 70-80 partecipanti. Lo scopo di questi stage è quello di allenare ad affrontare la complessità ti- pica dei problemi di livello internazionale, scrivendo poi dimostrazioni con un linguaggio chiaro e rigoroso. Allo stage di maggio si partecipa invece solo su invito: la for- mazione dei 20-25 partecipanti è mirata in particolare alle IMO che si tengono a distanza di meno di due mesi. Oltre alle IMO, l’Italia partecipa anche ad altre competi- zioni internazionali quali i Romanian Master of Mathema- tics (RMM), le Balkan Mathematical Olympiad (BMO) e le European Girls’ Mathematical Olympiad (EGMO) ogni volta selezionando la rappresentanza italiana all’esito de- gli stage di allenamento e dei test di selezione.
È data una circonferenza di diametro AB e centro O. Sia C un punto sulla circonferenza (diverso da A e da B), e si tracci la retta r parallela ad AC per O. Sia D l’intersezione di r con la circonferenza dalla parte opposta di C rispetto ad AB. I) Dimostrare che DO è bisettrice dell’angolo CDB. II) Dimostrare che il triangolo CDB è simile al triangolo AOD.
(Gara distrettuale 2007)
Nel 2007 il punteggio massimo assegnato ad ogni esercizio dimostrativo era 12 punti. Questo lo schema di valutazione proposto:
Per la prima parte:
• 2 punti per ogni coppia di angoli citata nella soluione uffi- ciale di cui si osserva la congruenza;
• 3 punti a chi osserva che una simmetria assiale rispetto alla retta DO manda C in B, ma senza giustificarlo; • 6 punti in totale per una dimostrazione interamente corret-
ta, anche diversa da quella proposta. Per la seconda parte:
• 4 punti a chi dimostra il fatto che entrambi i triangoli sono isosceli;
• 2 punti per l’osservazione che gli angoli DCB e DAB sono uguali;
• 3 punti per la dimostrazione che gli angoli AOD e CDB sono uguali;
• 6 punti in totale per una dimostrazione interamente corret- ta, anche diversa da quella proposta.
S
tudiLe Gare a squadre
La Gara a squadre delle Olimpiadi di Matematica è una competizione dallo spirito più ludico rispetto alle gare individuali. Le squadre sono composte da 7 studenti della stessa scuola che collaborano a risolvere i pro- blemi proposti, di solito 20 o 24 da risolvere in circa due ore. I problemi che prevedono tutti come risposta un numero intero di quattro cifre. Nelle competizioni a squadre sono del tutto assenti i problemi dimostrativi: si tratta quindi di gare meno tecniche rispetto a quelle individuali, ma non per questo meno interessanti e ap- passionanti. Richiedono affiatamento ed organizzazio- ne e ruoli ben precisi dei singoli componenti all’inter- no della squadra nonché, a volte, l’utilizzo di approcci atipici poco efficaci in altri tipi di gara. La gara fa uso di un software che permette l’aggiornamento in tempo reale della classifica conferendo anche una certa spet- tacolarità alla competizione e permettendo al pubblico presente di seguirne l’andamento; non raramente tra il pubblico si possono notare veri e propri “tifosi” che sostengono i propri beniamini.
Una volta risolto un problema un membro della squadra prescelto è autorizzato a lasciare il tavolo e consegna il biglietto con la soluzione del problema al tavolo della giuria (in genere correndo). Nel giro di qualche secondo è possibile verificare sul tabellone la correttezza o meno della risposta e il numero di punti guadagnati o persi: la risposta ad un esercizio può essere consegnata più volte e prevede una penalizzazione di 10 punti per ogni rispo- sta errata. Sono previsti bonus di vario tipo, ad esempio per le prime soluzioni esatte di ciascun esercizio, e il valore stesso di ogni esercizio viene stabilito dinami- camente in base all’andamento generale della gara: più tempo passa senza risposte esatte più aumenta il valo- re dell’esercizio. Ogni squadra può anche designare un esercizio “Jolly” che avrà valore doppio.
Le Gare a squadre sono state ideate nella seconda metà degli anni ‘90; dal 2000 la Finale Nazionale di Cesena- tico prevede una Gara Nazionale a squadre che con gli anni è passata da una gara “secca” ad una “Fase finale” strutturata con semifinali, attuamente quattro, una fi- nale vera e propria, e una Finale Nazionale della Gara femminile a squadre.
Alla Gara Nazionale si accede tramite la Fase locale che si disputa all’inizio di marzo in una trentina di sedi spar- se per il territorio nazionale e a cui partecipano, come detto, oltre 900 squadre. Di queste 112 sono ammesse ai quattro gironi di semifinale e le migliori 32 si sfidano nella Finale vera e propria. Ogni anno sono presenti an- che alcune squadre straniere che partecipano alla finale come ospiti fuori classifica.
Per sbloccare la porta della sua futura abitazione, Jensenfer Paerther deve trovare tre naturali a, b, c di rispettivamente tre, due e una cifra con b=a/c. Inoltre le cifre di b sono conte- nute in quelle di a, che è il massimo possibile. Quanto vale a? (Il contenimento delle cifre è inteso con molteplicità, cioè ad esempio 32 è contenuto in 243 ma 33 non lo è.)
(Finale nazionale 2018, Semifinale A)
Tra le varie strategie con cui può essere affrontato l’esercizio la più efficace probabilmente è quella per tentativi. Si intuisce che conviene prendere sia a che c grandi: proviamo con c=9. Quin- di a=bc è sicuramente minore di 9x99=891. Proseguendo per tentativi (9x98, 9x97, …) scopriamo che a=819=9x91 soddisfa la richiesta. Se scegliessimo c≤8 a al massimo potrebbe valere 792=8x99. Quindi 819 è sicuramente il valore più grande per a.
BIBLIOGRAFIA
Barsanti M., Conti F., Franzoni T. (a cura di), Le Olimpiadi
della matematica. Problemi dalle gare italiane, Zanichelli, 1994
Barsanti M. et al. (a cura di), Le Olimpiadi della matematica.
Problemi dalle gare italiane dal 1995 al 2001, Zanichelli, 2002
Gobbino M., Schede olimpiche per la preparazione alle
Olimpiadi della Matematica, Unione Matematica Italiana, 2012
Paolini G., La matematica delle Olimpiadi per le Scuole
superiori, La scuola, 2012
Sitografia:
http://olimpiadi.dm.unibo.it/
Progetto Olimpiadi della matematica. Nella sezione ?Le Gare? sono disponibili testi e soluzioni delle varie fasi delle gare individuali e a squadre e gli elenchi dei convocati alla Finale Nazionale.
http://olimpiadi.dm.unibo.it/le-gare/gara-a-squadre/
Unione Matematica Italiana: testi delle scorse edizioni della finale nazionale a squadre.
http://www.fairmath.it/
Fair Math: iscrizioni e composizione delle sedi della fase locale della Gara a squadre, ammissioni alla finale e classifiche.
http://gauss.dima.unige.it/gauss/2017.php
Coppa Gauss: sul sito sono disponibili testi e soluzioni delle gare di qualificazione a squadre per la finale di Cesenatico.
https://www.youtube.com/user/umi1922
Canale YouTube dell’Unione Matematica Italiana. Conferenze tenutesi in occasione delle finali nazionali, premiazioni delle finali individuali e a squadre.
Anche la Gara femminile a squadre (istituita nel 2017 con l’intento di giungere nel tempo ad equilibrare la rap- presentanza di genere) è articolata in una fase locale e una nazionale. Alla prima edizione hanno partecipato 60 squadre di 7 ragazze, salite a circa 200 nel 2018, anno in cui si è disputata la prima finale nazionale.”
Silvia Ceccarelli Assegnista di ricerca Università di Firenze
e docente di scuola secondaria Francesco Mugelli Università di Firenze