Nella presa dei fotogrammi i raggi proiettivi partono da ogni punto dello spazio oggetto e, attraversando il punto nodale della camera, arrivano sul piano immagine formando così l’immagine.
Per entrambe le immagini della coppia (immagini omologhe) ci sarà dunque un fascio proiettivo con centro nel punto nodale. L’operazione di orientamento consiste nel ricostruire il luogo delle intersezioni tra le infinite coppie di raggi ottici omologhi dei due fasci in questione, ovvero ricostruire un modello ottico simile al nostro oggetto ed è quel passaggio per il quale vengono messi in relazione l’oggetto reale e il fotogramma, attraverso alcuni parametri.
In sostanza si tratta di trovare l’equazione di collinearità in grado di collegare le coordinate nel sistema immagine a quelle del sistema oggetto.
Si possono distinguere due fasi:
• Orientamento interno: ricostruzione dei fasci proiettivi di ogni immagine
• Orientamento esterno: ricostruzione delle posizioni e dell’assetto della camera per ogni posizione di presa
ORIENTAMENTO INTERNO
Questi parametri, di fatto, sono quelli che consentono di definire la posizione del centro di presa O rispetto al piano immagine.
Il fotogramma è una fotografia per la quale è possibile definire la posizione del centro di presa O rispetto al piano dell’immagine in quanto è noto l’orientamento interno.
Per definire la posizione di O, è necessario che sul piano immagine sia definito un sistema di assi cartesiani x, y che solitamente è materializzato sui punti mediani dei bordi del fotogramma all’atto della presa, e un asse normale al piano immagine.
Teoricamente l’obiettivo della camera dovrebbe essere realizzato in modo che la perpendicolare condotta dal centro di presa O al piano immagine (detta punto principale e indicata con PP) cada esattamente nell’origine del sistema x, y.
Questi tre parametri (x0, y0, c)16 , dunque, sarebbero già sufficienti per effettuare l’orientamento interno se l’obiettivo fosse un sistema ottico privo di aberrazioni. In realtà tutti i sistemi ottici sono affetti da aberrazioni che provocano deformazioni dell’immagine, le cui entità devono essere note per poi poter essere corrette. Le immagini quindi risultano distorte e solitamente l’effetto della distorsione è tanto più forte quanto ci si avvicina ai bordi del fotogramma.
Un primo effetto di distorsione introdotto dall’ottica deriva da: • Spessore e curvatura delle lenti
• Raggi di proiezione non parallassiali17 (per i punti lontani all’asse)
• Spostamento del punto nodale, quindi variazione della distanza principale.
Tuttavia considerando un’ immagine distorta e una senza distorsioni si nota che ogni punto di A è collegato a B tramite una funzione f che esprime di quanto si è spostato uno stesso riferimento da un caso all’altro. E’ possibile eliminare questi effetti in fase di calibrazione della macchina fotografica.
I parametri solitamente vengono espressi nelle caratteristiche dell’ottica, reperibili sul certificato di calibrazione, altrimenti la calibrazione deve essere eseguita con l’utilizzo di specifici software. Utilizzando Adobe Photoshop o Lightroom è possibile selezionare uno tra i profili di obiettivi precaricati e applicarli in modo automatico. Se invece si prediligono software come Agisoft Lens o Photomodeler il processo è più laborioso ma garantisce risultati più precisi: occorre inserire manualmente i dati tecnici di ogni fotografia scattata (ad esempio la focale utilizzata, le caratteristiche dell’obiettivo, etc.) ed ogni volta che un dato viene modificato, occorre risettare i parametri. In programmi come Photoscan la calibrazione può essere automatica, oppure si possono inserire manualmente i parametri derivanti da una calibrazione ad hoc. Il software riconosce i punti che ritiene affini e li relaziona, calcolando le deformazioni da un fotogramma all’altro.
16 x0 indica in valore sull’asse x; y0 indica il valore sull’asse y; c indica il valore sull’asse z e coincide con la focale.
17 La parallasse è il fenomeno per cui un oggetto sembra spostarsi rispetto allo sfondo se si cambia il punto di osservazione. E’ alla base della percezione della tridimensionalità nella vista bioculare e della stereoscopia. La stereoscopia è una tecnica di realizzazione e visione di immagini, disegni, fotografie e filmati, atta a trasmettere una illusione di tridimensionalità.
ORIENTAMENTO ESTERNO
Una volta ricomposti i fasci proiettivi con l’operazione di orientamento interno, occorre ricollocare idealmente i due fotogrammi nella stessa posizione spaziale che avevano nella camera all’atto della presa.
Per effettuare l’orientamento esterno è necessario determinare, per ciascun fotogramma, tanti parametri incogniti quanti sono i movimenti che definiscono la posizione di un corpo rigido nello spazio: 3 traslazioni e 3 rotazioni.
• le 3 coordinate (x0, y0, z0) del centro di proiezione O • i 3 angoli di rotazione di assetto della camera.
Il risultato è un file di calibrazione da applicare alle fotografie prima dell’elaborazione. Dato che per ricostruire ciascun modello stereoscopico sono necessari due fotogrammi consecutivi, per il loro orientamento esterno occorre determinare complessivamente 6 + 6 = 12 parametri incogniti.
I parametri di orientamento esterno vengono determinati nei restitutori in base alle misure delle coordinate x, y di alcuni punti immagine sui fotogrammi e in base a coordinate note di punti di appoggio sul terreno, anch’essi visibili sui due fotogrammi. Dal punto di vista analitico questa fase richiede la risoluzione di sistemi di equazioni di collinearità18.
Per ricreare il modello nello spazio si è detto che è necessaria una coppia di immagini prese da punti diversi, che dovranno essere disposte tra di loro nella stessa posizione che avevano all’atto della presa. Questa operazione è detta “orientamento relativo” dei fotogrammi.
Fissato un sistema di riferimento (sistema relativo) con origine nel punto nodale di una delle due camere, il problema si risolve con la conoscenza della posizione della seconda camera, in particolare di tre parametri di traslazione lungo gli assi coordinati e tre parametri di rotazione intorno agli stessi.
Con il solo orientamento relativo otteniamo un modello simile all’oggetto da cui possiamo conoscere solo le posizioni relative tra i vari punti. Per poter effettuare delle misurazioni, con riferimento ad un sistema assoluto di coordinate spaziali, bisogna dimensionare il modello, rapportandolo in scala all’oggetto, e posizionarlo nello spazio.
Per fare ciò occorrono almeno le coordinate (X, Y, Z misurate sul campo) di due punti e la quota di altri tre non allineati (sette parametri almeno). Infatti per giungere all’orientamento assoluto del modello metrico occorre definire i sei gradi di libertà del modello nello spazio più un settimo che è la scala voluta. Il dimensionamento consiste nell’imporre al modello la scala, dando una correzione alla base di presa.
E’ possibile con alcuni software utilizzare contemporaneamente tutte le immagini, senza bisogno di passare per i modelli generati dalle singole coppie. La procedura, detta “compensazione a stelle proiettive”, consiste nel risolvere contemporaneamente tutte le equazioni di collinearità.
18 Le equazioni di collinearità sono quelle che esprimono le condizioni di allineamento di un punto tra lo spazio oggetto e lo spazio immagine.