Stock picking Market timing
6.2. I modelli monofattoriali ed il CAPM
Una differente impostazione per la descrizione dei mercati finanziari è quella proposta dai modelli monofattoriali.
Il modello monofattoriale descrive la relazione tra il rendimento atteso di una generica attività rischiosa e la sua volatilità ricorrendo ad un unico fattore di rischio.
Date N attività rischiose rispettivamente caratterizzate da un rendimento aleatorio Ri, il generico modello monofattoriale può essere così espresso:
dove:
F indica il valore aleatorio del fattore di rischio comune a tutte le attività rischiose ed è caratterizzato da E(F) rF e Var(F)
F;εi, con i=1,…,N, indica il termine d’errore ed è tale che E(εi)=0, Cov(εi,F)=0 per ogni i, Cov(εi ,εj) = 0 con i≠j.
Dato il generico modello monofattoriale si ha
Un particolare modello monofattoriale, il Capital Asset Pricing Model (in acronimo CAPM), propone una metodologia per la descrizione dei rendimenti attesi di equilibrio delle attività rischiose quando tutti gli investitori hanno le stesse aspettative sulla distribuzione delle probabilità delle variabili casuali rendimenti futuri. Questa descrizione è parzialmente alternativa rispetto a quella della teoria della selezione del portafoglio finanziario illustrata nel paragrafo precedente. Mentre il modello di Markowitz richiede la stima di numerosi parametri (in particolare N medie, N varianze e (N-1) covarianze), il CAPM propone un approccio volto a semplificare notevolmente i calcoli. Inoltre, a differenza del modello di Markowitz che si presenta come un modello “individuale” dato che ciascun agente economico può stimare i momenti di primo e secondo ordine dei rendimenti in modo diverso, il CAPM introduce delle ipotesi17 per cui diviene un modello di mercato, di equilibrio generale.
Il CAPM è una versione particolare di modello monofattoriale in cui tutti gli αi con i=1, …, N sono uguali a π, ossia al tasso risk-free.
Il risultato principale del CAPM consiste in una relazione esplicita tra il rischio ed il rendimento atteso di un’attività rischiosa ed il rendimento atteso di un portafoglio di attività rischiose.
Questa relazione è nota come Security Market Line (SML)
e definisce il premio atteso della generica attività rischiosa xi, ovvero
17
Si tengano presente le assunzioni di base del modello: agente economico avverso al rischio e massimizzatore di profitto, assenza di costi di transazione e gravami fiscali, attività infinitamente divisibili, investitore price-taker, ammissibilità delle vendite allo scoperto, stesso tasso di interesse per prendere o dare a prestito denaro di qualsiasi ammontare, decisioni degli investitori basate sui momenti di primo e secondo ordine dei rendimenti, agenti economici aventi aspettative omogenee. E’ quest’ultima ipotesi in particolare a contraddistinguere il modello CAPM da quello di
come il prodotto del prezzo di mercato18 del rischio, ovvero
moltiplicato per
dove è il contributo marginale dell’attività rischiosa xi alla volatilità del portafoglio di mercato; in altre parole misura come varia la volatilità del portafoglio al variare infinitesimale della quantità dell’attività i-esima inserita.
La relazione è comunemente riformulata come segue:
dove il beta è un indicatore congiunto di redditività e di rischio e fornisce una misura del cosiddetto rischio non diversificabile.
Mentre il rischio non diversificabile è connesso alla specifica attività, il rischio diversificabile deriva dall’interazione tra i titoli e può essere pertanto ridotto e addirittura annullato attraverso un’opportuna diversificazione dei titoli presenti in portafoglio.
Il modello CAPM permette, dunque, di trovare il rendimento atteso di un titolo come la somma tra il tasso risk-free (π) e un premio di rischio che esprima il rischio non diversificabile. Il premio dipenderà molto dal coefficiente beta che misura la reattività del rendimento del titolo ai movimenti del mercato. Tanto maggiore è il coefficiente beta, tanto maggiore sarà il rendimento atteso dell’attività, perchè possiede un maggior grado di rischio non diversificabile. Un investitore esigerà, quindi, un rendimento atteso più elevato per detenere un’attività finanziaria più rischiosa, come evidenziato in figura 1.12: tale relazione è rappresentata graficamente attraverso la cosiddetta linea di mercato degli investimenti (Security Market Line19).
18
Per un dato livello del tasso d'interesse privo di rischio, esiste soltanto un portafoglio ottimale che, combinato con liquidità, consente di raggiungere il minimo livello di rischio possibile; quest'ultimo è noto come portafoglio di mercato.
19 Come qualsiasi retta, la SML ha sia una pendenza sia un’intercetta. π, il tasso privo di rischio, è l’intercetta. Poiché il
beta di un titolo è riportato sull’asse delle ascisse, [E(RM)- π] rappresenta la pendenza della SML: ne consegue che la
retta è positivamente inclinata se il rendimento atteso del mercato è maggiore del tasso privo di rischio. A tal riguardo, essendo il portafoglio di mercato un’attività rischiosa (con beta unitario), la teoria, confermata del resto dall’evidenza empirica, suggerisce che il suo rendimento atteso debba essere necessariamente superiore al tasso privo di rischio. Possiamo anzi considerare la differenza tra il rendimento atteso del portafoglio di mercato ed il tasso privo di rischio
Rendimento
Security Market Line
Rendimento privo di rischio π
Rischio
Figura 1.12 Security Market Line Fonte: Elaborazione propria
Riassumendo, il rendimento atteso di un titolo (o portafoglio o progetto di investimento) dipende positivamente e linearmente dal suo beta, che misura il contributo del titolo medesimo al rischio di un portafoglio ampiamente diversificato.
Il concetto di β può essere esteso da quello di una singola attività rischiosa a quello di un generico portafoglio (non necessariamente efficiente).
Si consideri il seguente generico portafoglio composto da N attività rischiose e da una attività non rischiosa:
il cui rendimento medio sarà pari a
Ricordando che per ogni attività rischiosa si ha
come un vero e proprio premio al rischio che gli investitori richiedono per investire le loro risorse in un’attività caratterizzata da un beta diverso da zero. Viceversa, solo per gli investimenti caratterizzati da un beta nullo gli
sostituendo questa relazione nell’espressione del rendimento medio del generico portafoglio si ottiene: da cui
Il β di un generico portafoglio βp è, quindi, una somma pesata dei β dei vari titoli che compongono il portafoglio stesso.