Uno sguardo ai principali modelli classici per la gestione di un portafoglio

Nell’ambito dello studio dei mercati finanziari, l’analisi di prezzi, rendimenti e delle loro determinanti rappresenta indubbiamente l’argomento più rilevante.

La teoria economica ha dedicato molta attenzione a questo tema, elaborando alcuni modelli che, sulla base di determinate ipotesi circa il comportamento degli investitori e la struttura dei mercati, forniscono strumenti importanti per l’analisi economica e statistica dei processi di formazione dei prezzi e dei rendimenti nei mercati finanziari.

Il modello media-varianza di Markowitz, il CAPM e il modello APT si pongono come obiettivo la descrizione dell’evoluzione dei prezzi, mettendo in relazione il rendimento e il rischio delle attività finanziarie. Come sarà evidenziato successivamente, si tratta di modelli fortemente vincolati all’informazione "a priori" fornita dalla teoria economica.

Il primo teorizzatore di asset allocation models fu Henry Markowitz. Egli propose l’approccio media-varianza secondo il quale la composizione del portafoglio ottimale dipende dal valore atteso e dalla varianza della variabile casuale rendimenti aleatori. Lo studio di Markowitz ricerca le quantità ottime da investire in attività finanziarie, basandosi sulla combinazione tra rischio e rendimento. Il principio base che governa tale teoria è che, al fine di costruire un portafoglio efficiente, occorre individuare un paniere di titoli tale da minimizzare il rischio e massimizzare il rendimento complessivo, compensando l’asincronia dei singoli strumenti finanziari.

Un approccio alternativo a quello di media-varianza ha suggerito di utilizzare le stime dei beta,(dove il beta è un indicatore di rischio alternativo alla varianza, descritto dal rapporto tra la covarianza fra il rendimento del titolo e quello del portafoglio di mercato e la varianza di quest’ultimo) per ottenere i rendimenti attesi dei titoli. Il CAPM studia la relazione tra redditività e rischiosità dei titoli finanziari, considerando come unico fattore di rischio il portafoglio di mercato, ed utilizzando come misura del rischio il beta (il rischio sistematico o non diversificabile).

Nelle analisi empiriche si nota, tuttavia, che gruppi di azioni (azioni industriali, utilities, azioni tecnologiche, ecc.) hanno andamenti di prezzo simili; da ciò si evince che esistono diversi fattori di rischio che influenzano i prezzi dei singoli titoli. Partendo da queste osservazioni, Ross ha elaborato un modello di asset pricing, definito Arbitrage Pricing

titolo e una molteplicità di fattori di rischio, in un mercato privo di opportunità di arbitraggio.

Dei tre modelli sopraesposti, si darà più ampia illustrazione nei paragrafi che seguono.

6.1. L’approccio di Markowitz

Il criterio “media, varianza” rappresenta, secondo la teoria del portafoglio, il criterio di scelta che guida l’attività di selezione delle attività finanziarie da parte del risparmiatore.

Guardando agli studi fatti in passato riguardo la selezione del portafoglio, uno dei massimi esponenti è indubbiamente Harry M. Markowitz, il quale fornì una propria teoria sulla gestione degli investimenti nella sua “Modern Portfolio Theory”, successivamente approfondita da Sharpe. L’approccio “media, varianza” adottato da Markowitz definisce un criterio razionale e ammissibilmente semplice per effettuare almeno una prima scrematura dei titoli più “interessanti”, combinando la preferenza individuale del soggetto verso la massimizzazione del rendimento con l’avversione dell’investitore al rischio.

Il processo di selezione del portafoglio ottimale P* proposto da Markowitz16 si articola in 3 fasi:

 Separazione dei portafogli efficienti dai portafogli inefficienti in base al criterio del rendimento medio e della varianza, definendo così una frontiera efficiente;

 Individuazione delle curve di isoutilità;

 Determinazione del portafoglio più adeguato a soddisfare la combinazione prescelta dall’investitore, come punto di tangenza tra frontiera efficiente e sistema delle curve di isoutilità.

Il principio base della teoria di Markowitz è che, al fine di costruire un portafoglio efficiente, occorre individuare una combinazione di titoli tale da minimizzare il rischio e massimizzare il rendimento complessivo del portafoglio stesso.

Dato che il rendimento futuro di un qualsiasi titolo è sconosciuto a priori, la preferenza per la massimizzazione del rendimento si può esprimere come massimizzazione del valore

16

Si tengano presente le assunzioni di base del modello: economia uni periodale, agente economico avverso al rischio e massimizzatore di profitto, assenza di costi di transazione e gravami fiscali, attività perfettamente divisibili, investitore price-taker, inammissibilità delle vendite allo scoperto, conoscenza della distribuzione di probabilità dei rendimenti futuri sulla base dei rendimenti passati.

atteso dello stesso. Il rischio viene poi definito come la propensione del rendimento ad allontanarsi dal livello medio probabile, ed identificato pertanto come varianza (o deviazione standard) dell’investimento.

Al fine di individuare la cosiddetta “frontiera efficiente”, Markowitz dimostrò come il rischio connesso all’investimento fosse esprimibile attraverso la deviazione standard così formulata: dove:

= deviazione standard del portafoglio;

= peso dell’asset i-esimo nel portafoglio, determinato dalla proporzione del suo valore all’interno del portafoglio;

= varianza del tasso di rendimento dell’asset i;

= covarianza fra i tassi di rendimento degli assets i e j.

A conferma di quanto già detto in precedenza, è facilmente intuibile dalla formula come, attraverso la diversificazione, la riduzione delle somme delle covarianze ponderate comporti una riduzione del rischio totale del portafoglio.

Nel caso specifico in cui il portafoglio sia costituito da soli due assets rischiosi, la deviazione standard del rendimento del portafoglio sarà pari a

Si noti come, in presenza di correlazione negativa, il terzo addendo risulti negativo e ciò porti, dunque, alla riduzione della rischiosità del portafoglio: tale risultato, noto come principio di contrazione della varianza, afferma come, qualora si investa in titoli i cui rendimenti sono correlati negativamente, il terzo addendo dell’espressione permetta di ridurre il rischio che deriva dai due titoli considerati singolarmente. Markowitz sottolineò, a tal proposito, la possibilità di sfruttare la dipendenza statistica tra le attività finanziarie al fine di ridurre la deviazione standard del portafoglio complessivo tanto da evidenziare

come sia possibile, partendo da due attività rischiose, ottenere un portafoglio con varianza più bassa della minor varianza tra i due titoli.

Rendimento Frontiera efficiente

Regione ammissibile

Rischio

Figura 1.9 La frontiera efficiente: i punti sul piano cartesiano corrispondono ad altrettanti titoli (portafogli); il margine superiore sinistro della regione comprende tutti i portafogli efficienti in base al criterio MV, ed è per questo

definito frontiera efficiente. Fonte: Elaborazione propria

Il primo passo dell’approccio di Markowitz è quello di collocare tutti i titoli offerti dal mercato, nonché tutti i portafogli che si possono costruire a partire da essi, su un medesimo piano cartesiano (Figura 1.9) al fine di individuare la cosiddetta “regione ammissibile” (opportunity set).

Lo step successivo è quello di escludere progressivamente tutti i titoli (e tutti i portafogli) per i quali esista almeno un titolo (o un portafoglio) “superiore” sotto il profilo della “media, varianza”. In altre parole, tra questi titoli (o portafogli), si considerano efficienti quelli che a parità di rendimento sono i meno rischiosi, ovvero quelli che a parità di rischio sono quelli più redditizi. Come illustrato in figura 1.9, i portafogli in viola, cosiddetti portafogli dominanti, costituiscono la frontiera efficiente dell’investitore considerato, coincidente con l’estremo superiore della regione ammissibile. La frontiera efficiente si presenta quindi come un insieme di punti (coincidenti con titoli o portafogli) da cui non è possibile spostarsi per aumentare il valore medio senza aumentare la variabilità, ovvero diminuire la variabilità senza diminuire anche il valore medio (proprietà di ottimo paretiano).

Costruita la frontiera efficiente, si deve fare i conti con la non completezza del criterio “media, varianza” il quale non è in grado di portare autonomamente all’individuazione di un unico portafoglio considerato “migliore” rispetto agli altri. Si apre, così,

necessariamente una fase dall’approccio maggiormente soggettivo nella quale la scelta definitiva del portafoglio da selezionare deve essere compiuta sulla base di criteri personali propri del risparmiatore. L’investitore si posizionerà su un punto da lui scelto della frontiera efficiente in base alla sua minore ovvero maggiore propensione al rischio.

Le preferenze dell’investitore possono essere rappresentate graficamente tramite delle curve di indifferenza, le quali individuano le combinazioni rischio-rendimento ritenute equivalenti in termini di utilità attesa. Obiettivo dell’investitore sarà pertanto cercare di massimizzare la propria utilità, andandosi a posizionare sulla curva di indifferenza collocata il più in alto possibile sul piano.

Utilità U₃ U₂ U1 Titolo (portafoglio)

Figura 1.10 Le curve di indifferenza rappresentano le preferenze dell’investitore. Fonte: Elaborazione propria

Il portafoglio ottimo sarà quello individuato nel punto di tangenza tra la frontiera efficiente e la più alta curva di indifferenza (Figura 1.11).

E(R_P) U4