πN − 1 N 1 2
Quindi integrando su tutte le variabili si ottiene: Z dy1· · · dyne−Pn(yn−yn−1)2 = πN −1 N 1 2 e−(yN −y0) 2 N
Sostituendolo nella 6.7 otteniamo il propagatore:
U = m 2π~ε 1 2 1 π N −1 2 πN −1 N 1 2 e−(yN −y0) 2 N U = m 2π~(εN ) 1 2 e−(yN −y0) 2 N εN = t
Il prodotto tra ε e N `e convergente a t per definizione, quindi il propagatore `e ben definito! Rifacciamo il cambio di variabili per tornare alle x e scriviamo nuovamente il propagatore: U = m 2π~it 1 2 exp − m 2i~ εN |{z} t (xN − x0)2 U = m 2π~it 1 2 ei~ m 2t(xN−x0)2
Che `e proprio l’espressione del propagatore per la particella libera!
6.5 Il limite classico
Il formalismo di Feynman `e un ottimo punto di partenza per studiare il limite classico. Infatti quando andiamo ad integrare su tutti i cammini l’operazione
U (x, t, x0, 0) = m 2πi~ε
1 2 Z
D[x(t)] e~iS[x(t)]
Se l’azione ha le dimensioni confrontabili con ~ piccole variazioni nel cam-mino portano il rapporto S
~ a variare poco, rendendo non trascurabili tutti i cammini. Se per`o l’azione ha grandezze macroscopiche, (~ ha le dimensioni di 10−27 erg) piccole variazioni macroscopiche di S causano enormi varia-zioni del rapporto S
~. Questo nell’integrale di Feynman per`o `e un fattore di fase, questo vuol dire che tutti i cammini lontani da quello classico differisco-no tra loro di un edifferisco-norme fattore di fase. Questo genera un interferenza tra
i vari integrali, se prendiamo il valor medio sar`a nulla. Quindi per oggetti macroscopici tutti questi integrali si annullano a vicenda, tranne quelli per cui la S `e stazionaria (per cui non varia). Solo quei cammini fanno interfe-renza costruttiva, quindi dall’equazione di Feynman ritroviamo la traiettoria classica, tale che la S non varia!
δS = 0
Questo risultato pu`o essere usato anche in meccanica quantistica, pos-siamo ad esempio immaginare di sviluppare l’azione attorno alla traiettoria classica: S[x(t)] = S[xcl]+1 2 Z dtdt0 δ2S δx(t)δx(t0) xcl x(t) − xcl(t) x(t0) − xcl(t0)
Da cui l’integrando di U `e proporsionale a : e12cijxixj
Dove con cij indico il risultato dell’integrazione della derivata seconda del funzionale lineare. Poich´e questa `e una forma quadratica posso trovare un set di coordinate yi che mi diagonalizzano il problema:
e12λiy2 i
Dove il prodotto dei vari λi `e il determinante della matrice cij (ho di fatto diagonalizzato la matrice cij con questo cambiamento di coordinate, infatti non appaiono pi`u prodotti misti tra coordinate con indice diverso, e i λi
Capitolo 7
Pi`u particelle nello spazio
7.1 Generalizzazione con due particelle
Fino a questo momento ci siamo dedicati all’indagine di sistemi quantistici con un solo grado di liberta. Una singola particella in uno spazio unidimen-sionale. Naturalmente siamo ben lontani dallo studio di sistemi quantistici interessanti per la fisica, come lo studio di atomi o molecole, che prevedono la presenza di molte particelle in uno spazio a tre dimensioni.
In questa sezione ci occuperemo di studiare i problemi che si presentano quando iniziamo a trattare due particelle anzich´e una sola.
Come descriviamo lo stato di un sistema composto da due particelle in una dimensione? Questo vettore |ψi non pi`u vivere nello stesso spazio di Hilbert della singola particella, ma vivr`a in uno spazio che `e il prodotto tensoriale tra gli spazi di partenza.
La funzione d’onda del sistema sar`a quindi una funzione a due variabili nella base delle x in questo modo
hx1, x2|ψi = ψ(x1, x2)
La densit`a di probabilit`a di trovare la particella 1 in x1 e la particella 2 nella posizione x2 si scrive semplicemente come:
p(x1, x2) = |ψ(x1, x2)|2
Gli operatori che vivono in questo spazio sono nuovi operatori ottenuti come i prodotti tensoriali dei vecchi operatori tra i due spazi. Ad esempio l’operatore che mi misura la posizione della particella 1 sar`a il vecchio ope-ratore della posizione X nello spazio della particella 1 prodotto tensore con l’identit`a per lo spazio della particella 2:
X(1)= X(1)⊗ I(2)
Per brevit`a indicheremo questo operatore semplicemente come X(1) sottoin-tendendo l’operazione di prodotto tensore con l’identit`a. Analogamente
l’operatore di posizione della particella 2 pu`o essere scritto come: X(2)= I(1)⊗ X(2)
Anche qui d’ora in avanti sottointenderemo il prodotto tensore con l’identit`a. Con questa definizione si vede che ciascuno operatore agisce sulla parte di stato che `e nel suo spazio, a causa della matrice identit`a vediamo:
[X(1), X(1)] = [X(2), X(2)] = [X(1), X(2)] = 0 [X(1), P(1)] = [X(2), P(2)] = i~ Ma commutano invece
[X(1), P(2)] = [X(2), P(1)] = 0
Questo dipende direttamente da come abbiamo definito questi operatori, infatti P(1) commuta con I(1) mentre X(2) commuta con I(2) e viceversa. Operatori che agiscono su spazi differenti non si parlano!
Anche per pi`u particelle rimane sempre soddisfatta l’equazione di Schroe-dinger
i~d
dt|ψi = H |ψi
Ora per`o pu`o non essere banale da risolvere, possiamo scrivere sempre l’hamiltoniana del sistema come somma dell’energia potenziale con l’energia cinetica: H = K + V K = n X i=1 Pi2 2m
La complessit`a dell’hamiltoniana dipende dalla forma del potenziale. I pro-blemi pi`u semplici da trattare sono quelli senza interazioni tra particelle, il cui potenziale `e semplicemente la somma dei potenziali di singola particel-la. Pi`u complessi sono i casi in cui le particelle interagiscono tra loro, e in genere non sono risolvibili analiticamente (con l’eccezione del problema dei due corpi).
Se supponiamo che non ci siano interazioni tra le particelle possiamo scrivere: H = n X i=1 Hi
Risolviamo il problema degli autovalori per l’hamiltoniana di singola parti-cella:
Hi|ψEi = Ei|ψEii
Dobbiamo per`o ricordare che lo stato vive nello spazio delle due particelle: |ψEi = |ψE1i |ψE2i
Scrivendo in maniera pi`u corretta l’hamiltoniana totale diventa: H = H1⊗ I2+ I1⊗ H2
H |ψEi = (H1⊗ I2) |ψE1i |ψE2i + (I1⊗ H2) |ψE1i |ψE2i
Ora ricordiamo che gli operatori agiscono soltanto sulla parte dei vettori del loro spazio:
(A ⊗ B) |ai |bi = (A |ai)(B |bi) H |ψEi = E1|ψE1i |ψE2i + E2|ψE1i |ψE2i
H |ψEi = (E1+ E2) |ψE1i |ψE2i
Abbiamo risolto il problema degli autovalori dell’hamiltoniana generale, conoscendo la soluzione delle hamiltoniane di singola particella, siamo quindi in grado di scrivere il propagatore:
U =
∞
X
i=1
|ψE1i |ψE2i e−~i(E1+E2)thψE1| hψE2|
Possiamo provare anche ad affrontare un caso semplice in cui l’hamilto-niana non sia semplicemente la somma delle hamiltoniane di singola parti-celle, ma sia possibile, attraverso un artificio matematico, di introdurre due quasi-particelle1 che permettono di disaccoppiare l’hamiltoniana.
H = P 2 1 2m1 + P22 2m2 + V (r1− r2) Posso introdurre le coordinate del centro di massa:
R = m1r1+m2r2 M r = r1− r2 M = m1+ m2 µ = m1m2 m1+ m2
L’hamiltoniana totale del sistema diventa con questo cambiamento di coor-dinate in questa forma:
H = P 2 2M |{z} Hcm +p 2 2µ + V (r) | {z } Hr
Come si vede siamo riusciti a spezzare l’hamiltoniana nella somma di due Hamiltoniane diverse, come se esistessero due quasiparticelle, una posizio-nata in R e con massa M su cui non agisce alcun potenziale, e l’altra situata in r di massa µ, su cui aggisce il campo V . Queste non sono vere particelle, ma possiamo risolvere il problema come se lo fossero, e poi ritrovare il moto delle particelle reali tornando alle coordinate classiche.
1Le quasi-particelle sono particelle fittizzie che si ottengono attraverso un cambiamento di variabili, che per`o si comportano a tutti gli effetti come particelle reali, e rispondono all’equazione di Schroedinger