Dobbiamo solo calcolare il propagatore per aver completamente risolto il problema dell’oscillatore armonico quantistico. Dall’equazione di Schr¨ odin-ger ricaviamo la formula per il propagatore di una hamiltoniana del sistema indipendente dal tempo (3.5)
U (t, t0) =X
n
|ni e−i~Enthn|
Abbiamo tutte le espressioni esplicite per i vari Ene vettori di stato, l’unico problema `e che la serie che viene fuori non `e purtroppo sommabile analiti-camente. In meccanica quantistica sono pochissimi i casi in cui si riesce a trovare una formula esplicita per il propagatore, e l’oscillatore armonico non `e una di quelle.
Capitolo 6
Integrali di Feynman
In questo capitolo vedremo un altra interpretazione della meccanica quanti-stica, del tutto analoga all’equazione di Schredinger, inventata da Feynman negli anni quaranta. Questo approccio `e molto analogo al principio di mini-ma azione della meccanica classica. Mentre infatti l’equazione di Schredinger da una visione locale, l’integrale di Feynman `e una caratteristica globale di tutta la “traiettoria” della particella.
Definizione 6.1 (Azione) Si definisce l’azione il funzionale della traiet-toria x(t) e della posizione iniziale x(t0) e finale x0 in questo modo:
S{x(t)}; x, x0 = Z t
t0
dτ L ( ˙x(τ ), x(τ )) Dove L `e la lagrangiana del sistema
Il metodo di Feynamnn consiste nello scrivere il propagatore in funzione dell’azione: U (x, t, x0, t0) = X cammini possibili e~iS = Z D [x(t)] e~iS
Prima di dimostrare ci`o, riprendiamo qualche concetto di algebra sui funzionali.
6.1 Funzionali
Definizione 6.2 (Funzionale) Si definisce funzionale F di una funzione ϕ come l’operazione che associa alla funzione φ(x) un numero reale:
Il funzionale `e la generalizzazione a infinite dimensioni del concetto di funzione a pi`u variabili. Poissiamo infatti scrivere simbolicamente le variabili che passaimo alla funzione in un unico oggetto, un vettore ~v e passare il vettore alla funzione:
f (x1, x2, · · · , xn) = f (~v) Dove ~v=. x1 x2 .. . xn
Il vettore ~v che passiamo alla funzione pu`o avere una dimensione n arbi-traria. Ha perfettamente senso chiederci cosa succede se questo vettore ha una dimensione infinita. In quel caso si parla di funzionale F , non pi`u di funzione.
Abbiamo visto nel capitolo introduttivo che vettori a infinite dimensioni sono isomorfi alle funzioni dello spazio di Hilbert. Possiamo quindi imma-ginare di passare al funzionale F ansich´e il vettore ~v a infinite dimensioni, direttamente la funzione che questo vettore rappresenta1.
Estendiamo quindi alcuni concetti che ci sono familiari con le funzioni a pi`u variabili anche ai funzionali: Sia v ∈ Vn.
L’integrale in algebra a pi`u variabili `e scritto come: Z dv1dv2· · · dvnf (v) = Z n Y i=1 dvi | {z } Differenziale f (v)
Definiamo l’elemento differenziale nei funzionali semplicemente facendo tendere n all’infinito: Z D [ϕ(x)]= lim. n→∞ Z n Y i=1 dϕi (6.1)
D [ϕ(x)] rappresenta il prodotto delle variazioni della funzione φ in ogni punto x. In altre parole per ogni valore della x posso immaginare di cambiare la funzione ϕ con un altra funzione molto simile, che dista (per quel valore di x) da ϕ(x) il differenziale δϕ; D [ϕ] rappresenta il prodotto di tutti questi differenziali al variare di x. L’integrale quindi che precede il simbolo D non pu`o essere quello sulle x, ma, analogamente alle funzioni, deve essere sugli
1
Per capire meglio questa analogia si pensi ad esempio di rappresentare le funzioni nella base di fourier. Il nostro vettore ~v `e la ennupla con i coefficineti della serie di Fourier, il nostro funzionale F agisce su questa ennupla, proprio come una funzione a pi`u variabi-le. Poich´e questa ennupla e la funzione rappresentata da quei coefficienti sono lo stesso oggetto algebrico, possiamo passare al funzionale direttamente la funzione rappresentata dal vettore ~v.
argomenti del funzionale, le funzioni ϕ(x). Quindi il simbolo Z
D [ϕ(x)]
Rappresenta l’integrale fatto su tutte le possibili funzioni φ(x) del prodotto, al variare di x, delle variazioni infinitesime della funzione δϕ. Per capire meglio questo concetto immaginiamo di rappresentare la funzione ϕ come serie di fourier di esponenziali,x di cui ho i vari coefficienti a0, a1, · · · . L’integrale funzionale sarebbe definibile come:
Z
da0· da1· · · ·
Integrato su tutti i possibili valori di a0, a1, · · · . Ma tutti i possibili valori di a0, a1,cdots rappresentano tutte le possibili funzioni, mentre quei singoli differenziali da1 rappresentano la vairazione del parametro a1nel passare tra due funzioni immediatamente vicine. Se trasmutiamo questo nella base delle x, che `e una base continua, ritroviamo proprio la definizione che abbiamo dato.
Analogamente a quanto fatto per l’integrale ha perfettamente senso par-lare di derivata funzionale. Definiamo il differenziale funzionale nel modo pi`u ovvio:
dF = F [ϕ + δϕ] − F [ϕ]
Per le funzioni a pi`u variabili la derivata A di una funzione f `e definita come quella funzione che soddisfa l’uguaglianza:
f (v1, v2, · · · , vn) = n X i=1 A(vi)dvi A(vi)=. ∂f ∂vi
Analogamente definiamo la derivata funzionale A[ϕ, x] del funzionale F [ϕ]: F [ϕ] =
Z
dxA[ϕ; x]δϕ(x) A[ϕ; x]=. δF δφ(x)
Ancora una volta la funzione ϕ gioca in ruolo del vettore ~v, mentre l’argo-mento di ϕ, x, gioca il ruolo dell’indice del vettore v.
A[ϕ; x] ⇒ A(vi) δϕ(x) ⇒ dvi δF δφ(x) ⇒
∂f ∂vi
6.1.1 Funzionali lineari
Una classe di funzionali molto importante `e quella dei funzionali lineari. Sono funzioni lineari tutte quelle scrivibili nella forma:
f (v1, v2, · · · , vn) = n X i=1 kivi ki= ∂f ∂vi
Dove ki sono tutte costanti. (Quindi di fatto una funzione lineare di funzioni a pi`u variabili `e rappresentata da un vettore ~k) `E possibile estendere questa rappresentazione anche ai funzionali lineari:
F [ϕ] = Z
dxk(x)ϕ(x) k(y) = δF δϕ(y)
Dove k(x) `e una funzione. Anche in questo caso i funzionali lineari sono rappresentati da delle funzioni ad una variabile! In realt`a questa afferma-zione non `e del tutto vera, poich´e alcune delle forme che pu`o assumere k(x) non sono delle vere funzioni2. L’esempio pi`u noto di questi `e il funzionale lineare delta di Dirac (si `e proprio un funzionale lineare).
La delta di Dirac associa ad una funzione il suo valore in zero: δ[ϕ(x)] = ϕ(0)
δ[ϕ(x)]=. Z
dxδ(x)ϕ(x)
In questo caso la δ a destra rappresenta il funzionale lineare, mentre la δ a sinistra `e solo una scelta di notazione, non `e una vera e propria funzione, ma `e ben definibile come limite di funzioni gaussiane centrate in 0:
δ(x)= lim. ∆→0 1 √ 2π∆e −x2 2∆ 6.1.2 Forme quadratiche
La forma pi`u semplice di funzionali non lineari sono le forme quadratiche, anche in questo caso ragioniamo con le analogie delle funzioni a pi`u varia-bili. Una forma quadratica `e una funzione in cui compaiono solo i prodotti incrociati tra le variabili della funzione
f (v1, v2, · · · , vn) = n X i = 1 j = 1 kijvivj
Le forme quadratiche per le funzioni sono rappresentate adesso da matrici kij. Analogamente avviene per i funzionali quadratici:
F [ϕ] = Z
dx dy k(x, y)ϕ(x)ϕ(y)
Ora `e il nucleo integrale k(x, y) a rappresentare completamente il nostro funzionale quadratico. Anche in questo caso k potrebbe non essere una
2Questo per`o vale anche per le normali funzioni normali, in cui il termine ki pu`o non essere un numero reale ben definito (ad esempio la derivata in zero della funzione arctan(x)), ma esiste sempre almeno una successione di reali che converge a ki
vera e propria funzione a due variabili, ma esiste sempre una successione di funzioni a due variabili che converge a k.
La derivata di una funzione quadratica `e sempre una funzione lineare: ∂f ∂vh = ∂ ∂vh X ij kijvivj = n X i=1 (khi+ kih) vi In maniera analoga: δF δϕ(y) = Z [k(x, y) + k(y, x)]ϕ(x)dx 6.1.3 Sviluppo di Taylor
Analogamente a come abbiamo definito i funzionali `e possibile fare un ul-teriore estensione immaginando che il funzionale, ansich´e agire su un unica funzione, agisce su tante funzioni:
F [ϕ1, · · · , ϕn]
Per come `e definita questa cosa `e del tutto analoga a quella di considerare il funzionale funzione di una unica funzione a pi`u variabili:
F [ϕ(~r)]
Anche il funzionale lineare pu`o essere sviluppato in polinomi di Taylor (a patto che sia sufficientemente regolare):
F [ϕ] = F [ϕ0] + Z dxδF (ϕ0(x)) δϕ(x) (ϕ(x) − ϕ0(x)) + +1 2 Z dx dx0 δF 2(ϕ0(x)) δϕ(x)δϕ(x0)(ϕ(x) − ϕ0(x)) ϕ(x 0) − ϕ0(x0) + · · ·