Traslazioni

q = ^{∂ ˜H}

∂ ˜p ^{= {˜q, ˜H}q, ˜˜p}

Stessa dimostrazione pu`o essere ripetuta per la variabile ˜p.

In meccanica quantistica chiaramente non ha senso parlare di traiettorie, questa caratteristica della simmetria perci`o si applicher`a ai valori medi degli osservabili.

8.2 Simmetrie nella meccanica quantistica

In meccanica quantistica lo stato del sistema `e rappresentato dai ket dello spazio di Hilbert. Immaginiamo di avere una trasformazione che mi porta lo stato |ψi nel nuovo stato | ˜ψi.

|ψi → | ˜ψi

Quale condizione deve rispettare l’hamiltoniana quantistica (che `e un operatore) per essere definita simmetrica rispetto a questa trasformazione? Analogamente al caso classico:

H(˜x, ˜p) = H(x, p)

Nel caso quantistico la relazione riguarda il valor medio dell’operatore hψ|H|ψi = h ˜ψ|H| ˜ψi

8.2.1 Traslazioni

Analizziamo ora pi`u nel dettaglio la classe di trasformazioni delle traslazioni. Questa classe ammette un corrispettivo infinitesimo:

x

p ^−→

x + ε

p ^(8.8)

Le equazioni 8.8 rappresentano la trasformazione canonica in meccanica classica associata alla traslazione. L’analogo quantistico `e un operatore che applicato allo stato di partenza |ψi me lo porta nello stato trasformato | ˜ψi. Poich´e questa `e una trasformazione infinitesima, chiamiamo lo stato di destinazione |ψ_εi.

|ψi ^Tε

−→ |ψ_εi

Dobbiamo trovare una forma esplicita a Tε, per farlo riscriviamo le equazioni 8.8 in meccanica quantistica, dove le variabili x e p prendono il significato dei valori medi degli operatori X e P :

hψ|P |ψi → hψ_ε|P |ψ_εi

Questo modo di vedere la trasformazione `e detto punto di vista attivo, in cui la trasformazione avviene sullo stato del sistema (che viene mandato da |ψi a |ψ<sub>ε</sub>i). `E possibile usare un altro approccio, del tutto equivalente, in cui lo stato del sistema rimane invariato, quello che si modifica `e l’osservabile:

hψ_ε|X|ψ_εi = hψ|T_ε⁺XT_ε|ψi = hψ|X|ψi + ε (8.9) In questo modo `e l’operatore che viene trasformato:

X → T_ε⁺XTε

Questo approccio `e detto di tipo passivo. Sostanzialmente sono equiva-lenti, si basa tutto sull’interpretazione dell’espressione braketψ|T_ε⁺XTε|ψ, se intepretare come il valor medio sullo stato |ψi dell’operatore trasformato, o il valor medio della X calcolato sui vettori trasformati. Trall’altro dall’in-terpretazione passiva si nota che Tε rappresenta un cambiamento di base, quindi risulta essere un operatore unitario.

Dobbiamo caratterizzare T_ε, per applichiamolo ad un vettore su cui sappiamo come agisce:

Tε|xi = |x + εi |ψ_εi = T_ε|ψi = Z dxT_ε|xi hx|ψi = Z dx |x + εi hx|ψi Facciamo il cambiamento di variabili x⁰ = x + ε

|ψ_εi = Z

dx⁰|xi⁰hx⁰− ε|ψi

Applicando il bra x da ambo i membri otteniamo: hx|ψ_εi = Z dx⁰hx|x⁰i hx⁰− ε|ψi ψ_ε(x) = Z dx⁰δ(x − x⁰) hx⁰− ε|ψi = ψ(x − ε)

Vediamo se abbiamo caratterizzato bene l’operatore, calcoliamo esplici-tamente la 8.9. hψ_ε|X|ψ_εi = Z dxψ_ε^∗(x)xψ_ε(x) = Z dxψ^∗(x − ε)xψ(x − ε) = = Z dx⁰ψ^∗(x⁰)(x⁰+ ε)ψ(x⁰) = Z dx⁰ψ^∗(x⁰)x⁰ψ(x⁰) + ε Z dx⁰|ψ(x)|² = = hψ|X|ψi + ε

In meccanica classica le trasformazioni canoniche regolari erano esprimi-bili in funzione di una particolare funzione g detta generatrice. Anche in meccanica quantistica `e possibile fare la stessa cosa, possiamo scrivere Tε

in funzione di un operatore G, detto il generatore della trasformazione, in questo modo:

T_ε= I − ⁱ

~εG (8.10)

Poich`e Tε rappresenta a tutti gli effetti un cambiamento di variabili, `e un operatore unitario, ossia

T_εT_ε⁺= I

Vediamo questo che conseguenze ha sul generatore: I = TεT_ε⁺=  I − ⁱ ~εG   I + ⁱ ~εG⁺  = I + ⁱ ~ε G⁺− G
+ o(ε2) Questo implica che

G⁺− G = 0 Quindi G deve essere hermitiano.

Calcoliamo G nel caso specifico delle traslazioni: hx|T_ε|ψi = hx|ψ_εi = ψ(x − ε)

Poich´e ε `e piccolo, possiamo sviluppare ψ nell’intorno di x troncando al primo ordine⁵:

hx|T_ε|ψi = ψ(x − ε) = ψ(x) − ε^dψ(x) dx

Posso ripetere lo stesso calcolo sfruttando la 8.10 per trovare l’espressione esplicita per G: hx|T_ε|ψi = Z dx⁰hx|T_ε|x⁰i hx⁰|ψi = Z dx⁰hx|I − ⁱ ~εG|x⁰i hx⁰|ψi = = ψ(x) − ⁱ ~ε Z dx⁰hx|G|x⁰i hx⁰|ψi Uguagliando i risultati ottenuti:

i ~ε

Z

dx⁰hx|G|x⁰i hx|ψi = ε^dψ(x) dx

L’operatore G deve tirare fuori dall’integrale la derivata di ψ rispetto a x e un fattore che elimini ⁱ

~. Non ci vuole molta fantasia per intuire che la forma esplicita della G deve essere:

G(x, x⁰) = −i~δ(x − x⁰) ^d dx

5

Nell’espressione il termine^dψ(x)_dx ovviamente ha il significato di derivata della funzione ψ rispetto alla variabile x, calcolata nel punto x.

Ma `e proprio l’espressione dell’impulso P ! Per la traslazione il generatore `e proprio l’impulso!

G = P

Questo `e vero anche in meccanica classica, infatti ricordiamo che x = ˜x + ε^∂g

∂p

Se g = p risulta immediato verificare che la trasformazione canonica generata `e proprio la traslazione!

Vediamo questo che conseguenze ha quando l’hamiltoniana `e simmetrica rispetto a traslazione.

hψ_ε|H|ψ_εi = hψ|H|ψi

Per vedere questa simmetria usiamo l’approccio passivo: hψ|  I + ⁱ ~εP  H  I − ⁱ ~εP  |ψi = hψ|H|ψi hψ|H + ⁱ

~ε (P H − HP ) + o(ε²)|ψi = hψ|H|ψi Troncando al primo ordine:

i

~hψ| [P, H] |ψi = 0 Per il teorema di Herenfest:

h[P, H]i = h ˙P i i

~

hψ| ˙P |ψi = 0 h ˙P i = 0

Abbiamo appena trovato un integrale primo del moto, la quantit`a con-servata! In linea del tutto generica in meccanica quantistica si conserva il valor medio dell’osservabile G che genera la trasformazione, proprio come in meccanica classica si conserva la funzione g.

Affrontiamo ora lo stesso calcolo dal punto di vista passivo, per po-ter vedere in che modo, con un procedimento completamente diverso, sia possibile arrivare agli stessi risultati.

Il punto di vista passivo ci consente di caratterizzare direttamente gli operatori trasformati:



T_ε⁺XT_ε= X + Iε T+

In questo approccio andremo ad usare entrambe le equazioni della 8.11. Tε= I − ⁱ

~εG Sostituiamo questo termine nella prima equazione:

 I + ⁱ ~εG  X  I − ⁱ ~εG  = X + ⁱ ~ε (GX − XG) + o(ε²) = = X + ⁱ ~ε[G, X] + o(ε²) = X + εI Troncando il primo termine all’ordine ε la uguaglianza:

i

~[G, X] = I [G, X] = −i~I

[X, G] = i~I

Questo ci dice che il commutatore tra X e G `e lo stesso che c’`e tra X e P . Posso immaginare di scrivere G quindi come P sommato ad un generico operatore che commuta con X:

G = P + f (X)

Dobbiamo determinare quindi la forma di questo operatore sostituendo l’espressione trovata per G nella seconda equazione del sistema 8.11.

 I + ⁱ ~ε [P + f (X)]  P  I − ⁱ ~ε [P + f (X)]  = P i ~ε {[P + f (X)] P − P [P + f (X)]} + o(ε²) = 0 Troncando all’ordine ε otteniamo la seguente condizione:

[P + f (X), P ] = 0 [P, P ] + [f (X), P ] = 0

[f (X), P ] = 0

Poich´e P e X non commutano mai se non all’ordine zero, la funzione f (X) deve essere all’ordine zero in X, ossia una costante:

f (X) = cI

G rimane definita a meno di una costante c, per comodit`a pu`o essere arbi-trariamente⁶ scelta pari a 0.

6La costante non introduce nessun termine fastidioso in realt`a, poich´e nell’espressione di Tε `e moltiplicata per ε, rappresenta, nel caso della traslazione, soltanto un fattore di scala, che possiamo fissare arbitrariamente noi.

Dire che H `e simmetrico rispetto alla traslazione infinitesima, nell’ap-proccio passivo, significa verificare che H viene lasciato invariato dalla tra-slazione:

T_ε⁺HT_ε= H (8.12)

Ma H `e funzione delle X e delle P :

T_ε⁺H(X, P )T_ε= H(X, P )

Poich´e H `e un operatore che possiamo sempre scrivere sotto forma di serie degli operatori che lo formano. Consideriamo un qualunque elemento della serie di H, saranno presenti termini del tipo XP<sup>2</sup>X o X<sup>n</sup>. Poich´e T<sub>ε</sub> `e unitario possiamo scrivere:

T_ε⁺XP²XTε = T_ε⁺XTεT_ε⁺P TεT_ε⁺P TεT_ε⁺XTε

Oppure

T_ε⁺XⁿT_ε= T_ε⁺XT_εT_ε⁺XT_εT_ε⁺· · ·

| {z }

nvolte

In questo modo scrivendo lo sviluppo in serie di H(X, P ) possiamo intro-durre tutti i termini all’interno di questi prodotti e scrivere:

T_ε⁺H(X, P )Tε= H(T_ε⁺XTε, T_ε⁺P Tε) = H(X, P ) Da cui otteniamo la condizione di simmetria

H(X + Iε, P ) = H(X, P )

Questa struttura `e identica a quella che si presenta in meccanica classica per la traslazione:

H(x + ε, p) = H(x, p)

Possiamo ricavare la grandezza conservata dall’equazione 8.12.  I − ⁱ ~εP  H  I + ⁱ ~εP  = H H + ⁱ ~ε (P H − HP ) + o(ε²) = H Troncando al primo ordine

εⁱ

~[P, H] = 0 Per il teorema di Herenfest

h ˙P i = h^{[P, H]} i~ ⁱ h ˙P i = 0

8.2.2 Variazioni degli operatori sotto trasformazioni

Nel documento Meccanica Quantistica (pagine 139-145)